une autre nombre aux chiffres remarquables

[invite75a796c1]

Salut,

un autre nombre de 10 chiffres caché, tel que :

- le 1er chiffre indique combien de 0 sont utilisés pour écrire ce nombre
- le 2nd indique combien de 1
... etc
- le 10e indique combien de 9

J'ai trouvé une solution à la main en tâtonnant sans en avoir montré l'unicité.
Mais il semble aussi qu'on puisse le retrouver par déduction avec la possibilité de savoir le nombre de solutions.

Quelles sont toutes les solutions ?
( spoiler svp )

bon, j'espère que ce n'est pas trop connu ... j'en connais un paquet mais ne suis tombé sur celui ci qu'hier. Sans la solution !
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[Médiat]

Bonjour,

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Comme il y a forcément beaucoup de 0 : 6210001000

[obi76]

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Comme il y a forcément beaucoup de 0 : 6210001000

Et effectivement : avec un bruteforce je n'en trouve qu'un

program t
integer(1), dimension(10) :: nombre
logical :: resultat
integer(8) :: k
nombre = 0
do while (nombre(1) < 10)
if (modulo(k, 10000000) == 0) write(*,*) k/9999999999.
! increment
  nombre(10) = nombre(10) + 1
  do i = 10,2, -1
    if (nombre(i) == 10) then
      nombre(i) = 0
      nombre(i-1) = nombre(i-1) + 1
    endif
  enddo
! test
  resultat = .true.
  j = 0
  do while((j<10) .and.resultat)
    if (nombre(j+1) /= count(nombre == j)) resultat = .false.
    j = j + 1
  enddo
  if (resultat) write(10,*) nombre
  k = k + 1
enddo

end program

[invite75a796c1]

Bonjour,

Bonjour,

j'ai obtenu le même

C'est donc la seule solution ? mais ça reste à démontrer hors programme ( merci @Obi )

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Bonjour,

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Ce n'est pas trop difficile il faut partir de la fin, il y a forcément 0 aux positions 7, 8 et 9, et au plus 1 en position 6, rapidement la suite s'enchaine, ensuite en mettant 0 en position 6 la majorité des cas s'éliminent

[obi76]

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En plus il faut que la somme de tous les chiffres soit strictement égal à 10...

[Médiat]

Oui, c'est ce qui permet d'éliminer rapidement beaucoup de cas

[invite75a796c1]

merci de votre participation mais je ne peux pas encore lire, n'ayant pas encore commencé à chercher !

[invite75a796c1]

Re,

ma proposition de solution unique

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n = "ZUDTQCSSHN"

**** il y a toujours au moins un 0, s'il n'y en avait aucun , ça ferait 0 en position Z donc il y en a forcément au moins 1

**** 0 est le chiffre strictement le plus fréquent. S'il y en avait un autre de fréquence supérieure, ce serait au détriment d'autant d'autres chiffres, ce qui incrémenterait le nombre de "0" à chaque fois. Par ailleurs, 2 chiffres seuls ne peuvent être solution, le troisième chiffre va à minima générer au moins un autre zéro, ce qui fera plus de "0" que de n'importe quoi. D'où 0, 1er seul. ( ## je peux détailler pour les 2 chiffres et le passage de 2 à 3 , c'est un peu lourdingue mais du même style )

**** pas plus d'un nombre > 4 et ce nombre ne peut être que le nombre de zéros.
Si le nombre de "0" <=4, aucun autre chiffre n'est tel que son nombre d'apparitions soit > 4. Donc les nombres de "5" jusqu'à "9" ne peuvent valoir que "0". Ce qui ferait 5 "0" ; ça fait plus des 4 "0" max de l'hypothèse, donc ce n'est pas possible
Donc le nombre de "0" est >=5.

Le nombre finit donc par un "1" et 4 "0" dans le désordre.

Il faut donc au moins un 1 de plus pour noter le "1". Ca en ferait au moins 2 en tout, celui du "1" et celui du " nombre de "0" ".
Solutions à ce stade ( la notation d'ensemble signifie que l'ordre est inconnu )

Z U DTQ {01000}
avec U le nombre de "1" tel que U>=2
Z >=5
et Z+U+D+T+Q+1 = 10.

**** on peut noter que comme U>=2 et qu'il faut au moins un autre "1" pour noter ce nombre qui ne peut être le même que Z.
à minima on peut écrire :
Z + Z*0 + U + U*1 <= 10 , donc Z <= 10 -2 U , donc Z <= 6

Donc Z=5 ou 6 , donc les 3 derniers chiffres sont "0" assurément.

**** Supposons que Z=5 ; il y a donc "10000" à la fin. Partons de la valeur minimale de U et tentons d'équilibrer
5 2 100 10000 , total 9 . Changer un 0 en 1 réduirait les 6 "0" à 5
5 3 010 10000 , pas où mettre le 3e "1" ce qui ferait 11
Toute valeur de U supérieure à 3 empirerait l'équilibre.
Donc, il n'y a pas de valeur de U compatible avec Z=5
Donc Z=6

**** donc la fin s'ajuste pour Z=6 et on en est à
6 U DTQ 01000
et 6 + 2 + 1 + D+T+Q <= 10
donc D+T+Q <= 1
Or, il y a 6 "0" exactement, 4 sont assignés, il en manque 2
donc D+T+Q = 1.

Ce qui fait exactement 2 "1" , celui d'entre D , T et Q et celui de Z le nombre de "0", donc U=2 et donc D le nombre de "2" est = 1
A ce stade, on n'a plus qu'une solution possible
6 2 100 01000
et elle vérifie l'ensemble des conditions , donc c'est la bonne.
6 2 100 01000

S'il faut détailler un point, je ferai de mon mieux ...

ps : je vais maintenant lire les spoilers !

[invite75a796c1]

Bonsoir Mediat et Obi,

oui, c'est ça, ensuite il faut accumuler les contraintes pour atteindre la solution qui s'avère unique.