Ecriture décimale et nombre de chiffres

[invited927d23c]

Bonjour,

Une question d'une olympiade de mathématique est :

" Combien de chiffres compte l'écriture décimale du nombre "

Est-ce que "écriture décimale" veut bien dire qu'on écrit le chiffre (qui ici n'a pas de chiffre après la virgule) ?

Comme on a pas droit à la calculatrice j'ai essayer de faire comme ça :

5^10 = 125³*5 = (100+25)³*5

Là le plus grand terme sera 100³ = 1000000, qui a 7 chiffres.

Est-ce que ce resonnement est toujours applicable? Ou y a t-il un autre truc pour résoudre ce problème?

Merci pour vos réponses
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[Coincoin]

Salut,
Avec ta méthode, tu peux simplement dire qu'il a plus que 7 chiffres. Il faudrait une autre inégalité.
Le "truc" pour ce genre de question, c'est le log... Si tu prends le logarithme en base 10 (log et pas ln) tu as juste à tronquer et ajouter 1 pour obtenir le nombre de chiffres.
Maintenant, il faut connaître le log de 5... Ca ne fait que reculer le problème.

[invited927d23c]

Je comprend ton truc Coicoin, qui est surement le meilleur, mais sans calculatrice je vois mal comment calculer le log en base 10 de 5.

Je cherche un truc qu'on peut faire de tête ou avec un papier et un crayon.

[Coincoin]

Oui, oui, tu as raison... et pour ça le mieux est ta méthode. Tu peux voir que ça fait (1000/8)^3*5=5/512*10^6. Donc y a 7 chiffres (mais quasiment 8)

[A voir en vidéo sur Futura]

[BioBen]

C'est vraiment pas rigoureux (ta méthode est sans doute la meilleure), mais ce que tu pourrais faire (faisable presque de tête et en quelques secondes sur papier) c'est simplement regarder quand est ce que les deux premiers chiffres sont superieurs à 20 (bah oui puisque après si tu multiplies par 5 tu augmentes d'un chiffre).
C'est mieux de prendre les deux premiers chiffres ca permet d'être sur de aps trop se gourrer.
En clair la sur mon brouillon je viens d'écrire :
5, 25, 12, 60, 30, 15, 75, 37, 18, 90.
Tu vois que 3 fois c'est inferieur à 20 donc 10-3 = 7

Vraiment pas rigoureux mais ca à l'air de fonctionner, quoique je pense que ta methode est la meilleure, et je pense que la mienne doit foirer si la puissance est trop grande (les approximations se compenseront pas indéfiniement). C'est une idée juste pour essayer

Donc y a 7 chiffres (mais quasiment 8)

Ehe moi ca me donne un ordre de grandeur du nombre aussi je sais que c'est du 9 xxx xxx.
En alternant les approximations je peux trouver que c'est environ 9 5xxxxx

[Coincoin]

Faut voir que le résultat commence par un 9 (à la calculette), faut donc mieux éviter les approximations de bûcheron...
Surtout que pour en arriver au résultat de mon message précédent, c'est pas compliqué, il suffit de faire de l'exponentiation rapide (ce qu'a fait Witten dans son premier message)

[BioBen]

Ca devrait pas être un 10^9 dans ton message ? humhum bucheron pas d'accord sinon BioBen pas vouloir considerer 10^3 comme négligeable lol

Oh ma méthode je l'avais jamais utilisée, à vrai dire ca m'a jamais servi de savoir combien de chiffres il y avait, un ordre de graneur me suffit normalement (bah oui c'est de la physique).

Faut voir que le résultat commence par un 9 (à la calculette),

Enplus il a dit qu'il voulais pas utiliser la calculette.
Enfin c'est vrai que 5/512 on voit assez vite que ca va faire du 9 apres la virgule.

[Coincoin]

Vas-y, chipote ! L'important c'est que je retombe (comme c'est curieux) sur le bon résultat !
Le problème de ta méthode,c 'est que tu fais 10 calculs... L'exponentiation rapide, comme son nom l'indique, c'est rapide.
Mais de toute façon, à chacun "sa" méthode.

il a dit qu'il voulais pas utiliser la calculette.

Je l'utilise pas pour répondre à la question... Je m'en sers qu'après pour voir ce que ça donne réellement. Ma méthode est rapide car elle se contente de répondre à la question.

[BioBen]

Non mais bon on est d'accord sur le fond : ma méthode est tres bourrine et peu (tendance pas du tout) rigoureuse.

c 'est que tu fais 10 calculs

Hum ! Multiplier par 5 un nombre à deux chiffres, on fait plus compliqué !

Par contre un petit détail : je crois que si ca avait été (5,1)^10 ca aurait legerement plus subtil.

[Coincoin]

on fait plus compliqué !

Chacun son truc... Personnellement, je préfère calculer 8^3 que de multiplier par 5. C'est une question d'habitude...

(5,1)^10 ca aurait legerement plus subtil

Là, j'aurais tendance à bourriner...

[invited927d23c]

Oui, oui, tu as raison... et pour ça le mieux est ta méthode. Tu peux voir que ça fait (1000/8)^3*5=5/512*10^6. Donc y a 7 chiffres (mais quasiment 8)

Fait attention Coincoin, c'est 10^9 et pas 10^6 .
Mais je crois que ton idée de transformer 125 en 1000/8 et de constater qu'on divise par un peu plus que par 100 le 10^9, on trouve environ 10^6.9, ce qui donne 7 chiffres.

[Coincoin]

Oui, je me suis trompé, je sais... arrêtez où je vais finir par éditer mon message (et oui, les modérateurs ont l'arme absolue pour la mauvaise foi ).

Mon idée est de me ramener à des calculs de puissance que je connais : puissances de 10, puissances de 2. Du coup, j'obtiens le résultat excat bien arrangé et je peux l'évaluer sans problème.

[Evil.Saien]

On sait que 5^3=125 et 2^7=128...

Donc, 10^7=2^7 * 5^7 environ egale a 5^3 * 5^7 = 5^10

Paf, 7 chiffres !