Une propriété de la spirale d'Ulam

[Juzo]

Bonjour à tous,

En 1963 le mathématicien Ulam, qui s'ennuyait pendant une présentation de maths, a écrit les nombres entiers consécutifs dans une spirale qui tournait dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, en partant de 1, et a remarqué que les nombres premiers étaient disposés de manière particulière dans cette spirale. Vous connaissez peut-être cette histoire.

M'ennuyant moi-même à une présentation de maths (peut-être pas pour les mêmes raisons que lui ), j'ai tracé la spirale d'Ulam. J'ai remarqué que dans la plupart des cas, quand je choisissais un nombre de la spirale et que je regardais son symétrique par rapport à la position du chiffre 7, l'autre nombre obtenu se terminait par le même chiffre.
Sur l'image ci-dessous, j'ai surligné en jaune les nombres se terminant par le même chiffres et symétriques par rapport au 7. Quasiment tous les nombres semblent concernés, sauf certains situés dans une diagonale passant par 7 (voir image).

Sirale Ulam.jpg

Je vous propose donc de formuler et démontrer mathématiquement cette propriété de la spirale d'Ulam. Merci de mettre des spoilers.
Je n'ai pas encore commencé à chercher une démonstration moi-même

PS : j'ai une autre proposition de propriété à démontrer, que je pourrais mettre dans un autre fil.
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[invite6486d7bd]

Effectivement, c'est amusant.

Et si je ne me trompe pas.
A noter (et ça peut peut-être aider à comprendre la démonstration à effectuer), que ça marche aussi avec 6 (on prend 6 comme nombre de référence pour effectuer la symétrie), sauf que dans ce cas il faut ajouter +2 au dernier chiffre du nombre symétrique pour obtenir le même dernier chiffre que le nombre dont on cherche le nombre symétrique.

[Juzo]

A noter (et ça peut peut-être aider à comprendre la démonstration à effectuer), que ça marche aussi avec 6 (on prend 6 comme nombre de référence pour effectuer la symétrie), sauf que dans ce cas il faut ajouter +2 au dernier chiffre du nombre symétrique pour obtenir le même dernier chiffre que le nombre dont on cherche le nombre symétrique.

J'ai l'impression que ça ne fonctionne que sur une ligne de nombres passant par 6 et que le centre de symétrie se situerait plutôt entre le 20 et le 6.

[Médiat]

Bonjour,

La demi-ligne horizontale vers la droite à partir de 10 vaut 4n² + 13n + 10
La demi-ligne horizontale vers la gauche à partir de 70 vaut 4n² + 33n + 70

4n² + 13n + 10 et 4n² + 33n + 70 sont congrus modulo 10

Un certain nombre de cas s'en déduisent facilement (pas tous, donc il faudrait regarder avec soin)

[A voir en vidéo sur Futura]

[Juzo]

Bonjour,
désolé pour le délai de réponse, j'ai enfin un peu de temps pour revenir sur la discussion.

La demi-ligne horizontale vers la droite à partir de 10 vaut 4n² + 13n + 10
La demi-ligne horizontale vers la gauche à partir de 70 vaut 4n² + 33n + 70

On trouve aussi aussi :
la demi-droite vers le haut en partant de 1 vaut 4n² + 7n + 4, avec n qui commence à -1
la demi-droite vers le bas en partant de 21 vaut 4n² + 27n + 44, avec n qui commence à -1

- C'est formules sont-elles facilement démontrables ?

- Ne peut-on pas trouver une démonstration générale à partir de la forme de la spirale, plutôt que "morceau par morceau" ? La symétrie apparente le suggère.

Je suis surpris que personne n'ait tenté une démonstration sur cette conjecture

Merci