Quel la force soit avec vous

[ID123]

Maître Yoda convoque Anakin Skywalker (AS) et Obi-Wan Kenobi (OWK) pour le test suprême.
Vous, jeune padawan curieux, avez réussi à vous cacher dans la salle d'examen. Vous ne pouvez rien voir, seulement entendre. Voici ce que vous entendez :

- Maître Yoda : Je pense à 2 nombres, choisis entre 2 et 100, inclusivement. Par la force de mon mental, je te transmet, AS, à toi seul, la valeur de la somme. Et à toi seul, OWK, la valeur de leur produit. Quels sont les nombres auxquels je pense ? Je vous écoute.
- AS : je ne sais pas
- OWK : je ne sais pas
- AS : je savais déjà que OWK ne savait pas
- OWK : je connais maintenant les 2 nombres
- AS : moi aussi.

Vous sortez alors de votre cachette, et vous aussi vous donnez les deux nombres. Yoda est épaté. Bravo.

Pouvez-vous expliquer votre raisonnement et bien sûr, donner ces deux nombres ?
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[ID123]

personne ?

je donnerai un début de la démarche de résolution demain.

[CM63]

Bonjour,

Non, j'avais juste noté qu'il y avait une faute d'orthographe dans le titre : "Que la force soit avec vous".

[ID123]

Pour vous mettre sur la voie (de la force, naturellement).

Le principe de résolution est de réduire, étape par étape, l’espace des valeurs possibles de la somme S et du produit P.

1) "AS : je ne sais pas". Cette 1ère phrase nous apprends seulement que la somme ne peut être 4, 5, 199, 200, seuls cas triviaux compte tenu que les 2 nombres additionnés sont choisis entre 2 et 100.

2) "OWK : je ne sais pas". Cette seconde phrase nous apprends que :
(i) le produit n’est pas un produit de 2 nombres premiers.
(ii) le produit n’est pas tel qu’il n’existe qu’une seule solution avec les contraintes de bornes p et q compris entre 2 et 100. Allons plus loin sur ce thème :

(iia) le produit n’est pas un nombre pair comportant un facteur premier p supérieur ou égal à 53. En effet, lorsque P est décomposé en produit de 2 facteurs P = x * y, l’un des facteurs x ou y (disons x) est alors divisible par p. Seul x = p est permis, car tout autre multiple de p serait >= 2*53 > 100. La décomposition est alors unique, ce qui est exclu.

(iib) le produit n’est pas un nombre premier multiplié par le carré d’un nombre premier plus grand que 10. En effet, si P = x * y² et y >10, les deux seules décompositions sont x * (y²) et (xy) * y. Il est clair que y² > 100 interdit une des 2 décompositions.

3) "AS : je savais déjà que OWK ne savait pas". Cette 3ème phrase très importante nous apprends que la somme S, connue de AS, ne doit jamais pouvoir se décomposer en S = a + b où le produit a*b contrevient à l’une des règles précédentes.... Sinon, OWK aurait pu avoir un produit dont la décomposition est unique. L'affirmation de AS élimine donc une très grande quantité de possibilités...

je vous laisse réfléchir à la suite des opérations...

[A voir en vidéo sur Futura]

[ID123]

la seule réponse possible est le couple de nombres (4, 13).

Saurez vous trouver pourquoi et continuer le raisonnement débuté au message précédent ?

[ID123]

Bon, ben .. solution suite...

"AS : je savais déjà que OWK ne savait pas" nous apprends qu’aucune des sommes possibles ne peut s’écrire sous la forme S = a + b avec le produit a*b contrevenant à l’une des 5 règles précédentes. (i) nous dit que la somme S ne doit jamais pouvoir s’écrire sous forme de somme de 2 nombres premiers. Il est bien connu que cela élimine tous les sommes paires (conjecture de Goldbach). De même, on peut retirer tous les nombres impairs formés de l’addition de 2 et d’un nombre premier.

(iia) nous dit que si la somme S peut s’écrire sous forme de S = 53 + x , avec x pair et x<=100, dès lors le produit 53*x n’admet aucune autre décomposition. Or S devant être impair, x est forcément pair. En conséquence, toute somme supérieure ou égale à 53+2 = 55 et inférieure à 53+100 = 153 est éliminée. Au-delà de 153, le même raisonnement marche*: il suffit d’introduire le nombre premier 97. Si S = 97 + x, le produit 97*x est unique, ce qui élimine toute somme entre 99 et 197. Les sommes à partir de 199 sont éliminées depuis l’étape A). En conséquence, toutes les sommes impaires supérieures à 55 sont exclues.

Bref, pour S, il reste les impairs plus petits que 55, qui ne sont pas des nombres premiers plus 2. Donc S est parmi 11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47, 51, 53.

Grâce à (iib), on peut encore éliminer 51, car 51 = 17 + 34, et que 17*34 = 2 * 17².

Restent 10 sommes possibles à cette étape 11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47, 53



- OWK : je connais maintenant les 2 nombres
OWK devine, et donc n’a qu’un seul choix de somme, prise dans la liste précédente, pour son produit. Bestialement, il suffit d’établir la liste exhaustive de tous les produits possibles pour chacune des 10 sommes restantes. C’est un peu fastidieux… Prenons la somme 11 à titre d’exemple. 11 peut se former avec 2+9, 3+8, 4+7, 5+6. Les produits correspondants sont 18, 24, 28, 30. On établit la liste complète des produits en faisant la même chose avec les 9 autres sommes, et on élimine les produits qui se trouvent dans 2 (ou plus) sommes. Comme par exemple 30 qui se trouve en sommes 11 (5 et 6) et 17 (2 et 15). On retire donc le produit 30 de la liste en regard des sommes qui comportent ce nombre.

On trouve que les seuls produits qui ne se trouvent qu’une et une seule fois en regard des sommes possibles, et qui ont donc permis à OWK de conclure sont*dans le tableau suivant, où chaque valeur de produit n’apparaît qu’une seule fois.

Il ne reste donc que les 86 possibilités suivantes*:
Capture.JPG

Vous voyez venir la solution ?

- AS : moi aussi
AS devine, cela veut dire que pour sa somme, il n'y a qu’une possibilité dans la liste précédente,.

Seul S = 17 n’a qu’un produit P = 52 qui lui correspond.

Les valeurs cherchées sont donc (4,13), somme et produit sont (17,52).