Challenge : tu ne seras jamais un palindrome !

[Juzo]

Il y a beaucoup plus simple

Est-ce que 110 peut s'écrire 0110 pour être un palindrome ?
Dans ce cas c(c+1) s'écrit 0110 en base c
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[invite452d5a24]

Est-ce que 110 peut s'écrire 0110 pour être un palindrome ?

Non, dans l'écriture en palindrome traditionnel, on ne prend pas en compte les zéros aprés le dernier chiffre non nul le plus à gauche, car sans cela on n'aurait jamais de palindromes.

[Juzo]

Après, (et c'est sûrement à cela que faisait référence Médiat), si b-c = 1, b est pair ou c est pair donc a est pair.
a = 2*k et s'écrit 22 en base k-1

[invite452d5a24]

(et c'est sûrement à cela que faisait référence Médiat), si b-c = 1, b est pair ou c est pair donc a est pair.
a = 2*k et s'écrit 22 en base k-1

Et moi également.

[invite452d5a24]

Après, (et c'est sûrement à cela que faisait référence Médiat), si b-c = 1, b est pair ou c est pair donc a est pair (R1)
a = 2*k et s'écrit 22 en base k-1 (R2)

Pardon la partie que j'ai mis en gras, est effectivement un raccourci à ce que j'ai fait, mais pour le coup on aurait besoin de 2 petites remarques et non une seule.

[invite82078308]

Je considère un nombre b inférieur à a, les palindromes en base b sont peu nombreux parmi les nombres inférieurs à a.
L'idée serait de démontrer que les palindromes (en général) sont rares.

[invite82078308]

Ou du moins majorer le nombre de palindromes.

[Médiat]

(et c'est sûrement à cela que faisait référence Médiat)

Plus simple encore : à par 2 et 3, la différence de 2 premiers est > 1, et si c'est le produit de plus de 2 premiers, c'est encore plus simple.

[Resartus]

Bonjour,
Petit rappel : on cherche des nombres a qui ne soient palindromes dans aucune base comprise entre 2 et a-2 inclus
(le cas de la base a-1 a été écarté car trivial).
On a déjà vu que de tels nombres sont forcément premiers

Avec un petit programme excel, j'ai testé quelques nombres premiers inférieurs à 10^6 (à noter qu'il est inutile de tester avec les bases supérieures à racine(a) soit 1000 ici)

Pour info le nombre 999983 est apalindrome, mais son prédécesseur 999979 ne l'est pas (il s'écrit (67,22,67) en base 122)

Ces nombres semblent assez fréquents (à peu près un sur trois parmi ceux que j'ai testés),

Je vais lancer un programme plus exhaustif pour faire quelques statistiques...

[invite452d5a24]

Salut,

Merci @Restartus pour le partage (je n'avais pas du tout pensé à ne tester que les racine(a)+1 premières base).

Infos intéressentes :
1/P est un polynôme plaindrôme sur un Anneau A ssi (il suffit de l'écrire pour le constater)
(corollaire de 1/)2/Si P et Q polynômes palindrômes alors P*Q palindrome.

La piste sur laquelle je suis :

3/Je suis entrain de voir si on n'a pas des briques de bases (comme les nombres premier sur (N,*)) sur l'ensemble des polynômes palindrômes (qui est stable par multiplication), en fait ce qui j'aimerais c'est que ces briques soient en nombre fini ou facilement énumérable.

PS : je vous tiens au courant, en cas de nouveau.

Cordialement.