Probabilités bizarres

[harmoniciste]

Bonjour,
J’avais lu autrefois dans une revue le paradoxe suivant :
Vous devez choisir entre deux boites qui vous sont présentées fermées, l’une contenant une certaine somme d’argent et l’autre , seulement la moitié. Vous ignorez laquelle.
Au hasard, vous décidez d’opter pour la boîte A, mais à ce moment votre ami mathématicien vous dit :
« A ta place, je prendrais l’autre, et voici pourquoi :
Supposons que ta boîte contient X Euros, alors l'autre boîte contient soit 2X soit X/2 Euros.
La probabilité de chacune de ces deux possibilités étant de 50%, l’espérance mathématique de la valeur dans l'autre boite est donnée par l’expression : ½ (X/2) + ½ (2X) soit 5/4 X, quantité assurément supérieure au contenu X de ta boîte »

Pourtant si vous aviez initialement choisi l'autre boite le raisonnement de votre ami aurait encore conclu à votre mauvais choix.
Où est le hic ?
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[Médiat]

Bonjour,

Voir http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post2697303 et http://forums.futura-sciences.com/sc...ml#post2575131

[Merlin95]

Bonjour

L'erreur me semble ici :

Bonjour,
La probabilité de chacune de ces deux possibilités étant de 50%, l’espérance mathématique de la valeur dans l'autre boite est donnée par l’expression : ½ (X/2) + ½ (2X) soit 5/4 X, quantité assurément supérieure au contenu X de ta boîte »

Il se peut que l'autre boite 1 contienne X euros, et que ce soit dans la boite choisie 2 qu'on ait X/2 ou 2X.

donc si X la somme tirée dans la première boite, et Xmin la somme minimale, Xmax la somme maximale que l'on puisse tirer (Xmax = 2Xmin) on a :

boite 1 : X = Xmax
boite 2 : => Xmin=Xmax/2

boite 1 : X = Xmin
boite 2 : => Xmax = 2Xmin


donc l'espérance E2 du gain de la boite 2 c'est 1/2 (Xmax/2+2Xmin) = 3/2 Xmin
et l'espérance E1 du gaine de la boite 1 c'est 1/2 (Xmin+Xmax) = 3/2 Xmin
donc E1 = E2

[harmoniciste]

Ce raisonnement me parait plus correct que celui de l'ami mathématicien. Selon le sien, la valeur X de la boite choisie semblait prendre simultanément deux valeurs afin de satisfaire aux valeurs attribuées à la seconde: 2X ou X/2.
Merci pour votre aide

[A voir en vidéo sur Futura]