enveloppe "quantique"

[invite35452583]

Un jeu quelconque est organisé et le gagnant gagne une somme d'argent dont le montant exact est déterminé par un procédé un peu spécial :
deux sommes d'argent dont la plus grande est le double de la plus petite sont mises chacune dans une enveloppe.
Le présentateur propose au gagnant de choisir une enveloppe. Ceci fait, il propose à l'heureux candidat s'il veut changer d'enveloppe.

Question : le montant que le candidat va gagner au change, s'il gagne, est-il plus grand que le montant que le candidat va perdre s'il perd, ou, ces deux montants sont-ils égaux ?
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[invite35452583]

Précision : le présentateur propose de changer d'enveloppe avant l'ouverture de celle initialement choisie.

[invite636fa06b]

Bonjour,

Changer son choix initial, c'est reconnaitre que l'on peut faire de mauvais choix. Il y a donc une perte de crédibilté sans commune mesure avec les montants dérisoires que tu as mis dans les enveloppes.
Conclusion, dans tous les cas, le fait de changer est perdant, on ne peux donc pas être gagnant en changeant.
Et cela bien que ça puisse paraître intéressant puis q'un changement gagnant accroit le gain de 100 % alors qu'un changement perdant ne pèse que pour 50 % !

[invitec314d025]

Question : le montant que le candidat va gagner au change, s'il gagne, est-il plus grand que le montant que le candidat va perdre s'il perd, ou, ces deux montants sont-ils égaux ?

Posé comme ça il n'y a pas vraiment de problème.
On suppose qu'une enveloppe contient la somme X et l'autre 2X et que le candidat effectue le changement.
S'il y perd, c'est qu'il avait choisi initialement l'enveloppe avec 2X, donc il perd X.
S'il y gagne, c'est qu'il avait choisi initialement l'enveloppe avec X, donc il gagne X.

Là où ça devient vaseux (c'est généralement comme ça que ce problème est présenté), c'est si on essaie de faire des probas de manière approximative. Du genre :
Le candidat a choisi initialement une enveloppe contenant la somme Y.
L'autre enveloppe contient la somme 2Y avec une proba 1/2, Y/2 avec une proba 1/2, donc espérance de gain au changement : Y/4 + Y = 5Y/4. Il aurait donc intérêt à changer d'enveloppe, ce qui est évidemment absurde.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite35452583]

Posé comme ça il n'y a pas vraiment de problème.
On suppose qu'une enveloppe contient la somme X et l'autre 2X et que le candidat effectue le changement.
S'il y perd, c'est qu'il avait choisi initialement l'enveloppe avec 2X, donc il perd X.
S'il y gagne, c'est qu'il avait choisi initialement l'enveloppe avec X, donc il gagne X.

Pas de pb?

Et cela bien que ça puisse paraître intéressant puis q'un changement gagnant accroit le gain de 100 % alors qu'un changement perdant ne pèse que pour 50 % !

J'ai déjà les deux réponses
OK la réponse de zinia n'a pas eu encore de "démo" (au fait, mon histoire étant fictive les sommes d'argent peuvent être astronomiques )
On verra donc les probas après

[lignux]

Là où ça devient vaseux (c'est généralement comme ça que ce problème est présenté), c'est si on essaie de faire des probas de manière approximative. Du genre :
Le candidat a choisi initialement une enveloppe contenant la somme Y.
L'autre enveloppe contient la somme 2Y avec une proba 1/2, Y/2 avec une proba 1/2, donc espérance de gain au changement : Y/4 + Y = 5Y/4. Il aurait donc intérêt à changer d'enveloppe, ce qui est évidemment absurde.

Je ne suis pas ton raisonnement probabiliste...
Pour moi l'espérance de gain au changement est Y/2 - Y/2 = 0.

[invite636fa06b]

Je ne suis pas ton raisonnement probabiliste...
Pour moi l'espérance de gain au changement est Y/2 - Y/2 = 0.

Oui, le faux raisonnement "probabiliste" de Matthias est rigoureusement équivalent à mon faux argument en %.
On dit bien la même chose.
Il doit y avoir un truc "quantique". Une histoire de chat ?

[invitec314d025]

Le problème c'est qu'avant de faire un quelconque calcul probabiliste, il faut déjà se placer dans un espace probabilisé. Et si on essaye, on commence à comprendre pourquoi le raisonnement que j'ai écrit ne tient pas la route.

[invite9c9b9968]

Même sans se placer dans un espace probabiliste, on voit bien que ce que tu dis ne tient pas la route : tu as fait des probas en te plaçant déjà sur une enveloppe, sans tenir compte de ce choix initial, comme si les deux enveloppes étaient indépendantes. Or si par exemple tu avais choisi l'enveloppe avec la plus grosse somme, tu dis que tu as une chance sur deux en ouvrant l'autre d'avoir une somme deux fois plus grande que la somme qui était déjà la plus grande... ce qui évidemment est délirant

[invitec314d025]

tu as fait des probas en te plaçant déjà sur une enveloppe, sans tenir compte de ce choix initial

Considères ça comme des probabilités conditionnelles sachant que l'enveloppe choisie contient la somme Y si tu préfères.
De toute façon, évoquer même le mot probabilité dans ces conditions n'a pas de sens.

[invite636fa06b]

Est-ce qu'on ne s'éloigne pas du sujet ?
Le problème posé par homotopie semble sans ambiguïté et la solution assez simple.
Le piège évoqué par Matthias est assez grossier et je pense qu'il ne pouvait tromper personne.
Mais alors où est l'astuce ?
L'animal (homotopie) est assez fin et il doit y avoir autre chose

[invite35452583]

Proba ou pas proba, il faut expliquer le fait que l'on peut "montrer" les deux résultats suivants :
1) le montant que le candidat va gagner au change, s'il gagne, est plus grand que le montant que le candidat va perdre s'il perd
2) ces deux montants sont égaux
La "preuve" du 2) a été explicitement donné par Matthias.
La "preuve" du 1 implicitement par Matthias et Zinia. Je l'isole :
le candidat choisit une enveloppe contenat une somme X
si l'autre contient X/2, il perd X-X/2=X/2
si l'autre contient 2X, il gagne 2X-X=X
Et X>X/2 car X>0.

La forme "classique" probabiliste dissimule quelque peu cet aspect. C'est pourquoi je ne l'ai pas présenté ainsi.

[invite636fa06b]

Notons m le plus faible des montants

le candidat choisit une enveloppe contenat une somme X
si l'autre contient X/2, il perd X-X/2=X/2 et X=2m
si l'autre contient 2X, il gagne 2X-X=X et X=m
Et X>X/2 car X>0. mais m = (2m)/2

[invite9c9b9968]

Donc la réponse est bien que ça ne change rien de changer d'enveloppe non ?

[invite636fa06b]

Donc la réponse est bien que ça ne change rien de changer d'enveloppe non ?

Si tu pouvais être gagnant en changeant d'enveloppe, il te suffirait de changer une deuxième fois pour gagner encore.
Avec deux changements, tu aurais une espérance de gain multipliée par 25/16 par rapport à ton choix initial et pourtant ce serait le même choix
PS je crois que c'est comme ça qu'homotopie trouve les sous qu'il met dans des enveloppes

[invite35452583]

Donc la réponse est bien que ça ne change rien de changer d'enveloppe non ?

Pour moi, la réponse à la question posée n'est pas ça.

Si tu pouvais être gagnant en changeant d'enveloppe, il te suffirait de changer une deuxième fois pour gagner encore.

Pourtant les cas où on gagne de l'argent en changeant d'enveloppe existe.

Avec deux changements, tu aurais une espérance de gain multipliée par 25/16 par rapport à ton choix initial et pourtant ce serait le même choix

Donc il est contradictoire que P(somme double dans l'autre enveloppe)=P(somme moitié moindre)=1/2. (Argument implicitement utilisé pour le calcul de l'espérance de gain)
Or, l'affirmation "ces probas égales à 1/2" est basée sur une symétrie entre les deux enveloppes. Argument sur lequel repose la preuve de " ça ne change rien de changer".
Le secret de mes remplissages d'enveloppe n'est pas encore percé.

PS merci Zinia pour la mise en parallèle des deux "preuves".

[invite636fa06b]

Bonne nuit

Ca y est, j'ai enfin compris le qualificatif "quantique" et j'entrevois le chat de Schrödinger :
la variable X utilisée dans les posts 12 et 13 est dans la même situation que le pauvre chat. Elle vaut à la fois m et 2m, dans une sorte de superposition d'états...
Ce sont les hypothèse "gagner" ou "perdre" qui n'ont pas de sens...
J'étais sûr qu'il était caché quelque part

[invitec314d025]

Oui mais ça n'explique pas le gain apparent de la méthode probabiliste. Une des manières de voir à mon avis est que le raisonnement fait l'hypothèse d'une loi uniforme de la variable X (valeur de la plus petite enveloppe) sur un ensemble stable par la multiplication et la division par 2 (par exemple R+ ou Q+). Et une telle loi est difficilement envisageable (sauf sur {0}, mais là il n'y a pas de problème).
Avec une loi digne de ce nom, on va se retrouver avec P(2Y sachant Y) et P(Y/2 sachant Y) différentes de 1/2, avec des cas favorables et des cas défavorables.

[lignux]

J'ai un peu de mal à suivre les élucubrations probabilistes... Déjà je ne comprends pas bien comment vous en arrivez à une espérance de gain de 5/4.

Le lien avec le chat me trottait effectivement dans l'esprit. Je ne sais pas si c'est très rigoureux, mais l'analogie est séduisante.

En effet, si on dit qu'on pose m comme étant la plus petite somme d'argent, et X comme étant le montant contenu dans l'enveloppe choisie en premier lieu. Ne sachant pas si c'est la plus grande ou la plus petite, on peut dire que X se trouve dans un état de superposition quantique: il vaut m et 2m. Ensuite, le gars change d'enveloppe, et l'ouvre. A ce moment, on sait s'il avait choisi la mieux remplie ou pas. Il y a décorrélation quantique:

S'il avait d'abord pris la grande, X valait 2m, et il perd m;
S'il avait d'abord pris la petite, X valait m, et il gagne m.

-> probabilité de gagner = 1/2, et gain = m;
-> probabilité de perdre = 1/2, et perte = m.

Si on répète l'expérience un grand nombre de fois, gain moyen = perte moyenne = 0.

C'est pas très formel, mais je ne vois pas trop quoi dire de plus à ce sujet...

J'attends avec impatience une explication claire et complète d'homotopie.

[invite35452583]

Si on note G la somme pouvant être gagné et P la somme pouvant être perdu, nous avons :
1) une preuve (dont personne n'a vu de défauts) que G=P
2) une preuve (dont personne n'a vu de défauts) que G=2P
Les seules reproches à l'une ou à l'autre sont basées sur l'autre est faux puisque on montre un résultat suivant, supposant donc qu'une seule réponse est possible (on a tendance à vouloir des absolus).
Regardons de plus près chaque preuve, toutes les dernières lignes rien à reprocher. D'où vient la différence ? Décidons de nous placer ouvertement à la place du candidat.
i) Avant que celui-ci prenne une 1ère décision, les deux enveloppes sont symétriques et pour lui G=P. Par symétrie, on a aussi P(petite somme dans l'enveloppe)=1/2 pour chaque enveloppe (si celle-ci est bien définie).
ii) Mais quand il a pris une décision, il est bien confronté à une situation où G=2P. Ceci ne remet pas en cause le i), ces deux potentialités existaient symétriquement dans la 1ère situation mais une a été supprimée cassant notre belle symétrie initiale.
Là où il y a contradiction, c'est quand ne faisant pas attention que selon le point de vue selon lequel on se place, on modifie la mesure. Ainsi si on utilise Proba=1/2 et G=2P on tombe sur la contradiction déjà évoquée. Le candidat n'a, ici, évidemment aucun intérêt à changer (aucun inconvénient d'espérance de gain non plus, reste l'inconvénient évoqué par zinia)

Il n'y a pas de réponse objective à la question posée unique du type "G=P" ou "G=2P" si on se contente de ne considérer que les deux enveloppes.
Pour avoir une réponse unique il faut considérer l'ensemble (2enveloppes+candidat), selon la place de celui-ci l'ensemble sera symétrique ou non.

Le côté "quantique" (entre guillemets car il n'y a là que quelques lointains points de similarité avec la nature quantique de la matière, mais on est dans la section humour) :
i) il y a comme une sorte d'enchevêtrement d'états qui est réduit quand le candidat prend une 1ère décision mais celle-ci est présente dans toute situation de ce type : la bille de la roulette a 37 potentialités au lancer (symétriques donc proba=1/37), 36 seront détruites, une seule sera effective à l'arrivée. C'est le cas de toutes les situations.
ii) il y a comme une sorte de perturbation du système par l'observateur
iii) ce que je trouve le plus "amusant" : il y a comme une sorte d'anticommutativité entre les "observables" (rapport entre les deux sommes des enveloppes) et (G/P).
Le ii) est plus précis en disant que la réponse dépend de la place de l'observateur, bref du relativisme, comme la simultanéité de deux évènements peut dépendre de la situation de l'observateur en relativité restreinte. Mais si j'avais mis "enveloppe relativiste" tout le monde aurait compris tout de suite l'ambiguïté de la question . Il y a des situations où naturellement on voit que la réponse dépend du cadre tel que "résoudre x²+y²=1" (dans N, dans Z, dans Q, dans R, dans C ?) , d'autres moins...

[invite6de5f0ac]

ii) il y a comme une sorte de perturbation du système par l'observateur

Bonjour,

Vu qu'on est dans la section "Sciences Ludiques"...

Une hypothèse rarement mentionnée: il y a perturbation de l'observateur par le système. Ce qui est d'autant plus probable que la somme contenue dans les enveloppes est élevée.
Simple application d'un principe de symétrie. Non?

-- françois

[invite7553e94d]

Dans le même genre :

Imaginons un jeu (stupide, donc télévisé) qui présenterait à un joueur trois portes identiques.
Derrière une des portes se trouve une voiture (qu'il gagne s'il la découvre), derrière les deux autres, une chèvre (pour tondre la pelouse, chouette !).

• Premièrement, le candidat choisi une porte. Alors, le présentateur (qui sait où se trouve la voiture) ouvre une des deux autres portes, derrière laquelle se trouve une chèvre.
• Deuxièmement, le présentateur propose au joueur, s'il le souhaite, de modifier son choix.

Question : Le joueur a-t-il intérêt à conserver son choix, de le modifier, ou cela revient-il au même ?

[invitec314d025]

Vive le changement. Je veux bien jouer à ce jeu moi, j'aurais besoin d'une voiture neuve justement

[lignux]

Cela revient au même.

Au moment ou le présentateur a ouvert une porte, la proba que le participant ait choisi la voiture passe de 1/3 à 1/2.

[invite7553e94d]

Cela revient au même.

Au moment ou le présentateur a ouvert une porte, la proba que le participant ait choisi la voiture passe de 1/3 à 1/2.

N'allons pas trop vite en besogne

Vive le changement.

N'est-ce pas ?

[lignux]

N'allons pas trop vite en besogne

Bon je développe:

Quand le joueur choisi une porte (disons la p1), P(p1=voiture)=1/3.

Lorsque le présentateur a éliminé l'une des portes avec un mouton (notons p2), pour chacune des deux autres portes, P(p1 = voiture) = P(p3=voiture) =1/2. Cela étant-dit, il s'agit maintenant d'une proba conditionnelle: l'équation précédente est incomplète. J'eus-du noter P(p1=voiture | p2=mouton) = P(p3=voiture | p2=mouton) = 1/2.

En Français:

La proba que le joueur choisisse la bonne porte est de 1/3.

Ensuite, avec l'info donnée par le présentateur, la proba que la voiture soit derrière cette porte, SACHANT qu'elle n'est pas derrière une des 2 autres, passe à 1/2. Et cette proba est symétriquement identique à celle que la voiture soit derrière la 3è porte. A ce moment, je joueur a le choix de changer de porte, mais cela ne changera rien à ses chances de gagner qui sont alors de 1 sur 2 (vu l'information rajoutée en cours de jeu).

Mais, vu que sa décision initiale est prise avant l'ajout de cette information, au final, ses chances de gain sont toujours bien de 1/3.


Réflexion complémentaire:

Si le présentateur avait ouvert un des portes avant que le joueur doive choisir, ses chances de gain seraient évidemment de 1/2 car il adapterait son choix avec cette information, en ne choisissant évidemment pas la porte ouverte avec un mouton derrière.

Mais ici, c'est le présentateur qui adapte son choix en fonction de celui du joueur, ce qui rend en fait son information sans intérêt.

[invitec314d025]

Mais ici, c'est le présentateur qui adapte son choix en fonction de celui du joueur, ce qui rend en fait son information sans intérêt.

Au contraire très intéressante cette information !
Si la première fois tu choisis une porte derrière laquelle il n'y a pas la voiture (2 chances sur 3), le présentateur n'a plus le choix de la porte à ouvrir. Si tu changes, tu es sûr de gagner.
Si tu avais choisi la bonne porte la première fois, le présentateur peut ouvrir la porte qu'il veut, et si tu changes tu es sûr de perdre (1 chance sur 3).

[lignux]

Oui clairement, je me suis complètement planté.

Donc voici ma nouvelle version:

Après que le présentateur ait ouvert une porte, la proba que la voiture soit derrière la porte choisie par le joueur est toujours 1/3, par contre il y a une chance sur 2 qu'elle soit derrière la dernière porte. Il a donc intérêt à changer et monte ses chances de gain à 1/2.

Veuillez considérer mon message précédent comme nul et non avenu

[SunnySky]

Pas tout à fait...

Si tel était le cas, on arriverait à une probabilité de 1/3 pour la porte déjà choisie et 1/2 pour le changement. Pour un total de 5/6. Mais comme l'auto n'est certainement pas derrière l'autre porte, on doit conclure qu'il y a une probabilité de 1/6 que l'auto n'existe pas!

La probabilité que l'auto soit derrière la première porte est certainement 1/3. Donc si on change, on a 2/3 d'avoir raison. Preuve: Notons A la porte de l'auto et B et C les deux autres. Évidemment, le présentateur connaît A mais pas le joueur. Examinons donc le jeu du côté du présentateur.

Le joueur aura fait un choix aléatoire au début, A, B ou C avec une probabilité 1/3. Supposons qu'il change son choix. Alors: s'il avait pris A, changer le fait perdre. Cela a une probabilité de 1/3. S'il avait pris B, changer le fait gagner à coup sûr. Cela a une probabilité de 1/3. S'il avait choisi C, changer le fait encore gagner. Encore une probabilité 1/3.

La probabilité de gagner en changeant est égale à la probabilité de s'être trompé du premier coup, c'est-à-dire 2/3.

[invite6fd1603a]

Si la première fois tu choisis une porte derrière laquelle il n'y a pas la voiture (2 chances sur 3), le présentateur n'a plus le choix de la porte à ouvrir.

Désolé, je débarque sur le fil, mais je ne comprends pas trop (j'ai toujours du mal avec les probas ) :
Ca change quoi que le présentateur n'ait plus le choix ?

Si les portes sont A/B/C et que le candidat ouvre A :
Soit il a le choix, soit il ne l'a pas et doit ouvrir B par exemple...
...et ben il ouvre B !
Comment le candidat sait que le présentateur na pas eu le choix ?

(PS : je sors des tartelettes ou il était question d'apprendre aux enfants à s'exprimer sans ambigüité
Un "montant" - pour revenir à la source du fil - désigne une somme d'argent, réelle : le m du X=m ou x=2m.
Un gain, pas un "montant de gain", va lui s'exprimer soit sous forme de montant, soit sous forme probabiliste mais pas les deux mélangées...la forme probabiliste s'exprimant sous forme de rapports (sans unités) éventuellement transcrits en pourcentages.

Pour finir, le "au change" m'a un peu perturbé...
...néanmoins ca donne des débats très amusants !)