GOEDEL a démontré quoi ?

[iharmed]

Bonjour
Il faut connaitre GOEDEL avant de continuer.

C’est dans ludique car mon raisonnement est naturel, il se passe dans N et celui de GOEDEL est mathématique, il se passe dans un ensemble indénombrable. Le dénombrable n’atteindra jamais l’indénombrable. Il restera toujours des transcendants inconnus.

En faisant des recherches sur la démonstration je constate qu’il commence par la codification des théories. C.à.d. que toute théorie est décomposable en éléments dont l’ensemble est dénombrable. Je ne comprends pas pourquoi, mais puisque tout le monde est d’accord je l’admets mois aussi. On cite l’arithmétique de Peano et les théories du premier ordre sans dire pourquoi.

Bref, toute théorie est dénombrable. Si je prends l’ensemble des propositions comme étant indénombrable il serait évident que la théorie ne pourra jamais définir toutes les propositions dans un temps fini. Mais à l’infini c’est différent, si la théorie s’attarde sur une proposition elle finira par la définir puis autre indéfinie apparaîtra qui se finira par être définie. et rebelote.
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[PlaneteF]

Bonsoir,

C’est dans ludique car (…)

Disons que cela donne à ton fil une espérance de vie un peu supérieure à ce qu'elle aurait été dans l'un des forums des maths, où ça n'aurait pas tenu 5 minutes

[iharmed]

Bonsoir,



Disons que cela donne à ton fil une espérance de vie un peu supérieure à ce qu'elle aurait été dans l'un des forums des maths, où ça n'aurait pas tenu 5 minutes

bonsoir
exact
j'aimerais avoir au-moins un avis
dans les forums des maths ils manquent de patience

[PlaneteF]

j'aimerais avoir au-moins un avis

Mon avis, qui par défaut n'engage que moi, … et bien quand j'ai lu ta prose, ça m'a instantanément fait penser au principe du pipotron, à savoir on a des ensembles de mots prédéfinis, on appuie sur un bouton, et l'algorithme du pipotron génère au hasard un texte.

Mais ce n'est que ma perception ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[PlaneteF]

dans les forums des maths ils manquent de patience

Non, ils ne manquent pas de patience, ils font juste des maths, des vraies

[pm42]

dans les forums des maths ils manquent de patience

Je pense qu'on te l'a déjà dit plusieurs fois mais tu sais que ce que tu as écrit n'a absolument rien à voir avec des maths ?
Il y a juste des mots pris au vocabulaire des maths mais assemblés aléatoirement.

Le manque de patience de tes interlocuteurs vient peut-être du fait que tu fais cela tout le temps, balancer du gloubi-boulga en prétendant que c'est de la vraie cuisine ?

[iharmed]

Non, ils ne manquent pas de patience, ils font juste des maths, des vraies

Ou peut-on poster des sujets mal compris ?
Ne faut-il pas créer un poste « sujets ouverts »

[PlaneteF]

Ou peut-on poster des sujets mal compris ?

De mon point de vue, tu peux poster dans le forum des maths, mais a minima sous les 2 conditions suivantes :

1) Tu as vraiment étudié le sujet au préalable, et quand je dis "étudié", ce n'est pas des vidéos sur Utube, ou du blabla sur les blogs, où 95% de ce qui ce dit sur Gödel est complétement délirant, … non moi je te parle de cours académiques sur les logiques mathématiques, la théorie de la démonstration, la théorie des modèles, ... et tout ce qui gravite autour ... Alors certes, le ticket d'entrée est élevé, mais cela me semble indispensable

2) Prendre en considération avec grande attention ce que disent les sachants de ces forums

Cordialement

[iharmed]

De mon point de vue, tu peux poster dans le forum des maths, mais a minima sous les 2 conditions suivantes :

1) Tu as vraiment étudié le sujet au préalable, et quand je dis "étudié", ce n'est pas des vidéos sur Utube, ou du blabla sur les blogs, où 95% de ce qui ce dit sur Gödel est complétement délirant, … non moi je te parle de cours académiques sur les logiques mathématiques, la théorie de la démonstration, la théorie des modèles, ... et tout ce qui gravite autour ... Alors certes, le ticket d'entrée est élevé, mais cela me semble indispensable

2) Prendre en considération avec grande attention ce que disent les sachants de ces forums

Cordialement

C’est bien. Mais ça demande beaucoup d’énergie
A suivre

[PlaneteF]

C’est bien. Mais ça demande beaucoup d’énergie

Si tu es profondément passionné, tu ne ressentiras que de la satisfaction, et l'énergie à déployer sera anécdotique

[JPL]

Autre manière de dire les choses, pose simplement des questions au lieu d’avancer tes hypothèses ou ce que tu crois avoir compris.

[pm42]

Autre manière de dire les choses, pose simplement des questions au lieu d’avancer tes hypothèses ou ce que tu crois avoir compris.

En effet et on peut aussi dire qu'en maths, comprendre des domaines où on n'a pas eu une formation est très difficile.

Vouloir comprendre Gödel quand on ne maitrise pas pour commencer le concept d'infini dénombrable est impossible.

[Deedee81]

Salut,

Donnons quelques infos.

En faisant des recherches sur la démonstration je constate qu’il commence par la codification des théories. C.à.d. que toute théorie est décomposable en éléments dont l’ensemble est dénombrable. Je ne comprends pas pourquoi, mais puisque tout le monde est d’accord je l’admets mois aussi.

Essaie de décrire une théorie mathématique sur papier. Tu vas l'écrire avec des symboles, des lettres, des axiomes.... Et ton alphabet sera forcément dénombrable ainsi que tes règles. Et même fini en fait. Et tout assemblage syntaxique d'un nombre fini de symbole est dénombrable car tout texte écrit est de taille finie.
(il est possible de définir formellement des théories avec des ensembles infinis de symboles mais j'ignore si elles ont une utilité)

On cite l’arithmétique de Peano et les théories du premier ordre sans dire pourquoi.

Pour deux raisons : parce que c'est avec ZF et Peano que s'est posé à l'époque de Gödel la question de la complétude.
En particulier Hilbert espérait qu'on trouve une méthode algorithmique "automatique" permettant de démontrer toute proposition.
De plus, l'essentiel des mathématiques est construit sur Peano.

Je crois (mais ça, c'est à confirmer par un mathématicien) que toute théorie du second ordre peut se ramener à une théorie du premier ordre.
(EDIT wikipedia semble dire le contraire, donc à creuser par un spécialiste )

il serait évident que la théorie ne pourra jamais définir toutes les propositions dans un temps fini

Ce n'est pas le but. Le but est de savoir si n'importe quelle proposition peut-être démontrée (ou sa négation). Une seule suffit. Pas besoin de parcourir tout en un temps fini, infini, transfini ou fantasmafini.

On peut alors mettre en correspondance, au moins formellement, l'ensemble des démonstrations (qui est dénombrable) avec l'ensemble des propositions. Et on montre (merci Gödel) que ce dernier ensemble est non dénombrable et donc qu'il n'existe pas de correspondance bijective et donc.... il existe des propositions pour lesquelles il n'y a pas de démonstration (dans cette théorie).
(attention avec des théories plus simples que Peano, il n'y a pas nécessairement ce problème !)

Notons que le reste de ton raisonnement est faux. Non, ce n'est pas parce qu'on prendrait un temps infini qu'on finirait par démontrer toutes les propositions, tout comme avoir l'infini des nombres entiers ne permet pas d'avoir une bijection avec les nombres réels (merci Cantor, sa démonstration est beaucoup plus simple que Gödel, voir https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%...3%A9n%C3%A9ral ).

[Médiat]

Bonjour Deedee

Essaie de décrire une théorie mathématique sur papier. Tu vas l'écrire avec des symboles, des lettres, des axiomes.... Et ton alphabet sera forcément dénombrable ainsi que tes règles. Et même fini en fait. Et tout assemblage syntaxique d'un nombre fini de symbole est dénombrable car tout texte écrit est de taille finie.

Il existe des logiques infinitaires (voir les travaux de Barwise et de Keisler par exemple)

(il est possible de définir formellement des théories avec des ensembles infinis de symboles mais j'ignore si elles ont une utilité)

Oui, cf. Barwise et Keisler

De plus, l'essentiel des mathématiques est construit sur Peano.

Non, pas vraiment

Je crois (mais ça, c'est à confirmer par un mathématicien) que toute théorie du second ordre peut se ramener à une théorie du premier ordre.

Je ne comprends pas ce que cela veut dire, mais si cela veut dire que toute théorie du second ordre est équivalente à une théorie du premier ordre, je ne vois pas comment c'est possible, la logique du premier ordre étant complète (merci Gödel) et robuste, et qu'aucune interprétation de la logique du second ordre ne peut être à la fois complète et robuste (sound en anglais)

On peut alors mettre en correspondance, au moins formellement, l'ensemble des démonstrations (qui est dénombrable) avec l'ensemble des propositions. Et on montre (merci Gödel) que ce dernier ensemble est non dénombrable

Désolé mais ceci est complètement faux, l'ensemble des propositions (de Peano du premier ordre) est dénombrables

[Deedee81]

Oui, cf. Barwise et Keisler

Ok, merci de l'info.

Je ne comprends pas ce que cela veut dire, mais si cela veut dire que toute théorie du second ordre est équivalente à une théorie du premier ordre, je ne vois pas comment c'est possible, la logique du premier ordre étant complète (merci Gödel) et robuste, et qu'aucune interprétation de la logique du second ordre ne peut être à la fois complète et robuste (sound en anglais)

D'accord, je me doutais bien que je me trompais (après avoir vu Wikipedia).

Désolé mais ceci est complètement faux, l'ensemble des propositions (de Peano du premier ordre) est dénombrables

ARG désolé, j'ai dit une ânerie. Ca m'arrive une fois par semaine, heureusement on est vendredi

[mach3]

Science4all a fait une série de vidéo sur l'infini dont l'épisode 18 parle de l'incomplétude de Gödel. Ca reste de la vulgarisation, mais lui il sait de quoi il parle, c'est un mathématicien :

https://www.youtube.com/playlist?lis..._ykuGQK-vCJ_0t

m@ch3

[Superbenji]

Bonjour,

On cite l’arithmétique de Peano et les théories du premier ordre sans dire pourquoi.

On cite l'arithmétique de Peano parce que les théorèmes de Gödel concerne les théories qui sont au moins aussi forte que l'arithmétique de Peano, c'est à dire que l'on peut la formaliser à l'intérieur de celles-ci.
Les théorèmes de Gödel sont quelque chose d'assez technique, pas facile à comprendre parce que nécessite d'avoir déjà des bases en logique, et comme dit plus haut il y'a beaucoup de mauvaise vulgarisation sur le net.

Informellement, il faut comprendre pourquoi il existe des indécidables dans des systèmes "suffisamment fort", et ça n'a rien à voir avec ce que tu décris. Pour voir pourquoi, il faudrait peut être commencer par regarder les choses du point de vue de l'informatique théorique, c'est moins difficile d'accès.
- Comprendre le concept de Machine de Turing, et de façon plus générale de modèle de calcul.
- Comprendre ce qu'est un problème de décision, et leurs différents type, décidable, semi-décidable, et indécidable.
- Comprendre pourquoi, certain problèmes, comme le célèbre problème de l'arrêt, ne sont pas décidable dans un modèle de calcul équivalent à la Machine de Turing, sans conduire à une contradiction.

Attention, tout cela n'est pas les théorèmes de Gödel, mais c'est une base qui permet de comprendre les phénomènes d'indécidabilité dans certain systèmes, pourquoi il y en a, etc. Moi c'est par cette porte là que j'avais commencé à aborder les choses. Ensuite il faut encore un long chemin et assimiler d'autres notions pour approcher Gödel.

[iharmed]

Salut,
On peut alors mettre en correspondance, au moins formellement, l'ensemble des démonstrations (qui est dénombrable) avec l'ensemble des propositions. Et on montre (merci Gödel) que ce dernier ensemble est non dénombrable et donc qu'il n'existe pas de correspondance bijective et donc.... il existe des propositions pour lesquelles il n'y a pas de démonstration (dans cette théorie).
(attention avec des théories plus simples que Peano, il n'y a pas nécessairement ce problème !)

Bonjour
C’est justement là ma question.
Toute théorie est dénombrable, on peut la codifier par un ensemble dénombrable (N).
L’ensemble des propositions est indénombrable.
Il est évident qu’un ensemble dénombrable ne peut pas décrire un ensemble indénombrable. J’ai appris des maths qu’on ne cherche pas à démontrer les évidences.

En analogie avec l’ensemble des réels, il est indénombrable et notre savoir est dénombrable. On ne formalisera jamais tous les nombres réels.
Nous avons pu formaliser les nombres rationnels a/b
Nous avons pu aussi formaliser les nombres irrationnels grâce aux polynômes (racine de 2 est la solution de X^2 – 2 = 0)
Mais il restera un ensemble indénombrable non formalisé (l’ensemble des nombres transcendants). Nous avons pu on formaliser quelques-uns (pi, e, log, ….) et il restera toujours un ensemble indénombrable non formalisé

La question est : Puisque c’est évident, GOEDEL a démontré quoi ?

[ansset]

Bonjour
C’est justement là ma question.
Toute théorie est dénombrable, on peut la codifier par un ensemble dénombrable (N).
L’ensemble des propositions est indénombrable.
Il est évident qu’un ensemble dénombrable ne peut pas décrire un ensemble indénombrable.

Il me semble que tu n'as pas lu la réponse de Médiat.
Par ailleurs, tu sembles mélanger les logiques du premier et second ordre.

[Verdurin]

[. . . ]
L’ensemble des propositions est indénombrable.
[. . . ]

Là j'ai un doute : une proposition s'écrit avec un nombre fini de signes.
Et, sauf erreur de ma part, ceci entraîne que « l'ensemble des propositions », si il existe, est au plus dénombrable.

[iharmed]

Il me semble que tu n'as pas lu la réponse de Médiat.
Par ailleurs, tu sembles mélanger les logiques du premier et second ordre.

J’’ai lu mais je n’ai pas saisi les déférences et les nuances
Que ça soit une théorie ou logique c’est un arsenal à utiliser pour démontrer une proposition
Cette arsenal est dénombrable et l’ensemble est propositions est indénombrable. L’évidence est là. Le dénombrable ne contiendra jamais l’indénombrable.

[iharmed]

Là j'ai un doute : une proposition s'écrit avec un nombre fini de signes.
Et, sauf erreur de ma part, ceci entraîne que « l'ensemble des propositions », si il existe, est au plus dénombrable.

C’est un doute légitime
Moi aussi j’ai ce doute.
Ce que je connais des indénombrable est l’ensemble des suites. Il est indénombrable cet ensemble. Sauf erreur de ma part on peut prendre comme proposition une suite

[Médiat]

Bonjour la modération : il est temps de clore ce paquet d'imbécilités !

[JPL]

Dont acte.