Magie

[Médiat]

Un mathématicien possède des chaussettes en quantité dénombrable, et des boîtes, en quantité dénombrable, labelisés par des nombres entiers.
Chaque chaussette est dans une boîte (et une seule), chaque boîte contient un nombre fini (pas forcément le même nombre dans chaque boîte) non nul de chaussettes.


Comme il s'ennuie un peu, il décide de prendre les chaussettes de la boîte #0 et de les répartir de la façon suivante (on appellera cela l'étape 0):


une chaussette dans la boîte #1, une dans la boîte #2 etc. jusqu'à épuisement de la boîte #0, ce qui ne pose pas de problème, puisque la boîte #0 ne contient qu'un nombre fini de chaussettes, cette opération est finie, et toutes les boîtes modifiées contiennent toujours un nombre fini de chaussettes.


L'ennui revenant il décide de réitérer avec la boîte #1, puis successivement avec toutes les boîtes :
A l'étape n, il vide la boîte #n, et met une chaussette dans la boîte #n+1, une dans la boîte #n+2, etc. jusqu'à épuisement de la boîte #n, ce qui ne pose pas de problème, puisque la boîte #n ne contient qu'un nombre fini de chaussettes, cette opération est finie, et toutes les boîtes modifiées contiennent toujours un nombre fini de chaussettes.


On remarquera qu'à chaque étape chaque chaussette est dans une (et une seule) boîte, chaque boîte contient un nombre fini (pas forcément le même nombre dans chaque boîte), éventuellement nul, de chaussettes.


Mais qu'en est-il quand ce mathématicien a appliqué cette procédure une infinité de fois ? Où sont les chaussettes ?


Que se passerait-il si notre mathématicien avait possédé une boîte supplémentaire (labelisé ) vide au départ ?
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[Deedee81]

Salut,

Quelques questions.

Mais qu'en est-il quand ce mathématicien a appliqué cette procédure une infinité de fois ? Où sont les chaussettes ?

Comme il n'y a pas de nombre infini que signifie exactement "quand il a appliqué ça une infinité de fois" ? (je connais une astuce permettant d'en parler mais je veux être sûr)
Parle-t-on d'un passage à la limite ?

La question que tu poses a-t-elle vraiment un sens (et une réponse) ?

Que se passerait-il si notre mathématicien avait possédé une boîte supplémentaire (labelisé ) vide au départ ?

Comment est placée cette boite. A la fin de toutes les autres ?
(mais dans ce cas, aucune des opérations ne met jamais de chaussette dans cette boite. Ca me rappelle d'ailleurs un vieux problème avec des nombres cette histoire mais je ne me souviens plus de la formulation exacte)

[Médiat]

Bonjour,

Comme il n'y a pas de nombre infini que signifie exactement "quand il a appliqué ça une infinité de fois" ? (je connais une astuce permettant d'en parler mais je veux être sûr)
Parle-t-on d'un passage à la limite ?

On peut, par exemple, dire qu'il fait la première étape à 12h00, la deuxième à 12h01', la troisième à 12h01'30", chaque étape prenant moitié moins de temps que la précédente (oui, il s'ennuie vite), la question devient : où sont les chaussettes à 12h02 ; pour la limite, oui, on peut évoquer ce point.

La question que tu poses a-t-elle vraiment un sens (et une réponse) ?

oui (et humph, oui)

Comment est placée cette boite. A la fin de toutes les autres ?

Vraiment, le gars a une infinité de boîte et ta question est de savoir où il a bien pu mettre la dernière .Elle pourrait être placée n'importe où, y compris "avant" toutes les autres.

[Superbenji]

Bonjour,

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La description ne nous donne que ce qu'il se passe pour un nombre fini d'étapes, les #n pour chaque entier n, au temps t = (ou à 12h02, au choix) l'état des boites et des chaussettes n'est pas défini ici. Ce qui n'empêche pas de donner des règles pour des étapes et des boites dont l'indexation va au delà des entiers, pour amuser un peu plus longtemps notre mathématicien en ces temps de restrictions.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Superbenji : , mais :

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l'état des boîtes est parfaitement défini : elles sont toutes vides

Suite : trouver un analogue formel (et très simple)

[Superbenji]

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Ah oui, me suis trompé, chaque boite se retrouve bien évidement vide en un nombre fini d'étapes et ne sont plus manipulées ensuite. Ce sont les chaussettes, qui se retrouvent déplacées de boite en boite une infinité de fois, qui sont précisément le problème.

[Superbenji]

Pour la version formelle, c'est lié à quelque chose de connu, où l'on invente une ?

[Médiat]

A inventer ; on peut, soit proposer quelque chose de très proche, soit simplement (et là c'est très simple) proposer une solution juste analogue.

[amineyasmine]

Bonjour
La question est : Où sont les chaussettes ?
La réponse est : chez le mathématicien

Quand j’ai été étudiant j’ai entendu parler de changement de variable.

Le mathématicien répète l’opération à l’infini mais à chaque fois il est près de la boite non vide.

On fait le changement de variable
Le mathématicien est à l’an 2002021, on fait le changement et on met 2021
Le premier tiroir non vide est n, on change est on le rend 1

Notre mathématicien, en allant vers l’infini restera toujours auprès de ces chaussettes et tiroir (comme le berger conduisant son troupeau). lui seul sait où sont les chaussettes, nous on ignore ce qui se passe à l’infini.

Quant à la boite (labélisé oméga) elle ne pourra rien changer à l’histoire du voyage vers l’infini

[Deedee81]

Salut,

On peut, par exemple, dire qu'il fait la première étape à 12h00, la deuxième à 12h01', la troisième à 12h01'30", chaque étape prenant moitié moins de temps que la précédente (oui, il s'ennuie vite), la question devient : où sont les chaussettes à 12h02 ; pour la limite, oui, on peut évoquer ce point.

C'est à ça que pensais

La question est : Où sont les chaussettes ?
La réponse est : chez le mathématicien

Ca dépend, moi c'est mon chien qui fauche mes chaussettes

On fait le changement de variable

C'est plutôt un changement d'ordre mais c'est juste. Et ça montre que là est la difficulté. Ca me rappelle ces histoires de séries non convergentes

Pour voir plus clair, l'idée de formaliser ça comme le propose Médiat est très bonne. Mais c'est pas trivial. Enfin, pour moi en tout cas.

[Liet Kynes]

Bonjour,

j'aime bien les problèmes de chaussettes

Je rencontre une petite difficulté sur l'énoncé.

"Chaque chaussette est dans une boîte (et une seule)" = il n'y a pas deux chaussettes identiques ? = je peux nommer les chaussettes par des nombres tous différents ?


"chaque boîte contient un nombre fini (pas forcément le même nombre dans chaque boîte) non nul de chaussettes." : je comprends que le nombre de boîtes est au moins égal au nombre de chaussettes

[Liet Kynes]

"Que se passerait-il si notre mathématicien avait possédé une boîte supplémentaire (labelisé omega) vide au départ ? "

Cela correspond à l'étape 2 si à la situation initiale il n'y a qu'une chaussette dans la première boîte?

[Deedee81]

"Que se passerait-il si notre mathématicien avait possédé une boîte supplémentaire (labelisé omega) vide au départ ? "

Cela correspond à l'étape 2 si à la situation initiale il n'y a qu'une chaussette dans la première boîte?

Je ne comprend pas comment tu fais le rapprochement entre cette boite supplémentaire et l'étape 2. Tu peux expliquer ?

[Médiat]

Bonjour,

Oui, on peut numéroter les chaussettes (je ne sais pas ce que veut dire "chaussettes identiques" dans un cadre où ce serait pertinent ici)

Le "nombre" de chaussettes et de boîtes sont précisés à la ligne 1 du message 1.

[Liet Kynes]

Si au départ on ne sais pas le nombre total de boîte (quelconque mais dénombrable) , qu'elles contiennent toutes au moins une chaussette, et que la première boîte ne contient qu'une chaussette , quand il commence l'opération il vide la première boîte et donc on a une nouvelle situation avec une boîte vide incluse dans le lot de boîtes.

(faut que j'aille travailler.. )

[Deedee81]

Si au départ on ne sais pas le nombre total de boîte (quelconque mais dénombrable) , qu'elles contiennent toutes au moins une chaussette, et que la première boîte ne contient qu'une chaussette , quand il commence l'opération il vide la première boîte et donc on a une nouvelle situation avec une boîte vide incluse dans le lot de boîtes.

(pas besoin qu'il n'y ait qu'une chaussette, relire le premier message)

Oui mais cette boite vide n'est PAS la boite oméga, c'est juste la boite 1, cétou. La boite oméga est vient tout au bout, après toutes les autres boites.

[Liet Kynes]

Oups,

J'ai mal lu dés le départ dénombrable , j'étais parti sur un nombre fini de boîtes et je les avais déjà disposées en rond autour du mathématicien: cela dit cela faisait de chouettes suites

Alors du coup l'image qui me viens à l'esprit est une avalanche de neige qui ne laisse pas de neige après son passage (neige très très collante) dans une pente sans fin mais tout à fait mesurable (en mètre pourquoi pas d'un instant à l'autre) et lorsque le mathématicien décide à l'étape n, de vider la boîte #n c'est comme si il adoucissait temporairement la pente: faut vraiment de l'imagination. Si tout au bout du trajet de l'avalanche il existe un village sans neige celui ci n'a à mon avis rien à craindre et ne verra jamais ne serait-ce qu'un flocon.

Cela me fait penser à la boîte à chaussette qui devenait une sorte de trou noir à force de recevoir des chaussettes dans ma petite nouvelle postée il y a un moment ici.

Donc à priori si on cherche le double de sa chaussette le matin c'est pas la peine de chercher dans la boîte omega si j'ai bien compris ?

[Merlin95]

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Dans une boite infinie contenant un nombre non dénombrable des chaussettes.

[Liet Kynes]

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Dans une boite infinie contenant un nombre non dénombrable des chaussettes.

N'importe quoi.

[Merlin95]

N'importe quoi.

En effet une boîte à l'infini contenant plutot une quantité dénombrable de chaussettes mais ccomme il est dit que les boites ne peuvent contenir qu'un nombre fini de chaussette alors le passage à l'infini n'est tout simplement possible.

[Superbenji]

Bonsoir,

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Pour la boite , on peut imaginer ceci: L'ami du mathématicien est présent, et le regarde jouer avec ses boites et chaussettes d'un air curieux. Il sort son petit carnet et commence à prendre des notes. Cet ami à la capacité de distinguer les chaussettes les unes des autres et les numérotes @0, @1, @2, @3, etc.

Sur son carnet, il inscrit une liste des chaussettes @m avec à coté de chacune des @m la boite #n où elle se trouve. A toutes étapes n sa liste est finie, il y inscrit une nouvelle chaussette la première fois que celle-ci est sortie d'une boite par le mathématicien. Quand le mathématicien déplace une chaussette déjà vue aux étapes précédentes, il la reconnais et met à jour la ligne correspondante sur sa liste.

Mais l'ami du mathématicien n'a plus de gomme au bout de son crayon, il décide alors de noter la position des chaussettes en numérotation unaire avec des petits traits |. Ainsi pour chaque déplacement, puisque la chaussette @m dans la main du mathématicien est toujours déplacée de sa boite #n vers une boite #n+a (a non nul et différent pour chaque chaussette de la boite #n), il lui suffit de concaténer a petits traits | à l'entier unaire n indiquant la position de la chaussette @m pour le mettre à jour.

On peut se demander, après une infinité d'étapes, que conclu l'ami du mathématicien sur la position des chaussettes en regardant sa liste ?

[Deedee81]

Salut,

Joliiiiiii !!!! , Superbenji
En plus ça donne des idées pour la formalisation.

[Liet Kynes]

Je trouve un au plus et un au moins pour la position d'une chaussette mais je ne suis pas certain de bien construire le raisonnement, j'ai fait une petite simulation sur tableur en prenant un nombre de chaussettes présent dans chaque boîte égal au numéro de la boîte (en violet les boîtes dont le nombre de chaussette a changé dans l'étape);

Casc.jpg

C'est bien cela ?

[Médiat]

Bonsoir,

La première ligne est fausse, donc la suite ...

[Liet Kynes]

Oups, je suis pas réveillé le matin et le soir pas mieux
Casc2.jpg

Cela doit être mieux..

[polo974]

autre façon de voir le pb:

vu que le nombre de chaussettes est fixé, fini, et vu qu'au départ chaque boite contient au moins une chaussette, il y a donc un nombre fini de boites.

ce qu'il se passe quand il faut passer au-delà de la dernière boite n'est pas défini. on peut donc supposer qu'on n'a pas le temps de chercher de nouvelles boites.

la façon la plus "évidente" alors est de boucler sur les boites, donc un modulo le nombre de boites disponibles.

(heureusement dans l'énoncé, il est dit "A l'étape n, il vide la boîte #n, et met une chaussette ...", sinon, risque de bouclage infini dans l'étape si on piochait chaussette par chaussette jusqu'à vidage de la boite)



sinon si on dispose d'une réserve de boites tel qu'on ait (au moins) autant de boites que de chaussettes:

le fait de reboucler ne provoquera pas de chevauchement de la redistribution, le comportement sera similaire à celui où on dispose d'un nombre infini de boites à un modulo près sur l'indice de la boite courante.

bref, dans tous les cas, le mathématicien va s'ennuyer avant que les chaussettes ne soient usées...

[Liet Kynes]

Le nombre de chaussettes ne peut pas s'écrie avec un nombre puisqu'il y a au moins autant de chaussettes que de boîtes. Une boucle n'est pas possible, c'est bien écrit dénombrable au départ et pas fini.
Ce que je trouve de plus analogue au problème décrit c'est le dénombrement des entiers paires par rapport à celui des entiers. Le côté "magique" est bien plus apparent dans cette optique de redistribution . J'ai un peu de mal à réaliser l’opération décrite par Superbenji en#21.
"il lui suffit de concaténer a petits traits | à l'entier unaire n" = additionner ?

[polo974]

ah, zut, j'ai pas pris assez de café...

je me disais bien que c'était trop simple, venant de Médiat...

[Liet Kynes]

Bonsoir,

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On peut se demander, après une infinité d'étapes, que conclu l'ami du mathématicien sur la position des chaussettes en regardant sa liste ?

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Qu'est ce que c'est une infinité d'étape? il s'agirait aussi de stopper à une étape nx pour laquelle il ne serait pas possible de calculer la somme des chaussettes présentent dans les boîtes entre depuis l'étape n0 jusqu'à nx ni , en ce cas il n'est plus possible de donner un intervalle pour la position d'une chaussette déplacée à l'étape nx-1 -> la boîte omega est atteignable?

[Superbenji]

Bonsoir,
Non. Tout ce que cela illustre, c'est la différence entre le fini et l'infini. Et les paradoxes qui découlent de vouloir transposer l'intuition du fini au cas infini (et d'autant plus quand, comme ici, on projettent ça en expérience de pensée amusante dans le monde physique). Si on ne pose pas une définition de ce qu'il advient de nos chaussettes après une infinité d'étapes, ça n'est pas défini, tout simplement.