L'or de 2 3 5 7

**stefjm** · 04/01/2022, 14h20

Parce que c'est joli...

$\text{[math]}$

Avec 3571 premier et [;,] développement en fraction continue

$\text{[math]}$ : nombre d'or

**Deedee81** · 04/01/2022, 15h06

Salut,

Ah tiens marrant ça

Comment tu l'as trouvé ?

**Liet Kynes** · 04/01/2022, 19h03

Envoyé par Deedee81

Salut,

Ah tiens marrant ça

Comment tu l'as trouvé ?

Bonjour,

à mon avis comme (2+3+5+7).(2.3.5.7)= 3570 -> 0r et r pour r le rayon d'un cercle qui est comme d le diamètre, d qui est aussi la lettre de début du nombre 2..

**Deedee81** · 05/01/2022, 07h05

Salut,

Envoyé par Liet Kynes

à mon avis comme (2+3+5+7).(2.3.5.7)= 3570 -> 0

Je n'avais pas vu et en effet ça peut aider à comprendre comment trouver un tel truc. En fait, ce produit je le trouve déjà assez sympa somme 2357 fois produit 2357 donne 357, amusant. manque juste le 2

Tiens en attendant une réponse de StefJM, petit défi (facile à programmer mais je ne garantit pas l'existence d'une solution, je n'ai pas essayé

).
Trouver quatre nombres A, B, C, D (écris sous forme décimale) tel que (A+B+C+D)(A.B.C.D) = ABCD (concaténation)
S'il n'y a pas de solution, alors trois nombres sinon deux (là je parie une carotte que la solution existe)

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**stefjm** · 05/01/2022, 07h33

3571 est le (2+3+5+7) nombre de Lucas.

C'est en partie pour cela que

$\text{[math]}$

Et pour être honnête, ce n'est pas moi qui ait trouvé cette relation.

**Deedee81** · 05/01/2022, 07h58

D'accord, merci des précisions

**stefjm** · 05/01/2022, 08h23

Si quelqu'un comprend pourquoi les nombres de Fibonacci et Lucas font cela au rang 17, j’achète volontiers parce que c'est quand même joli ce

$\text{[math]}$

**Deedee81** · 05/01/2022, 08h33

Envoyé par stefjm

Si quelqu'un comprend pourquoi les nombres de Fibonacci et Lucas font cela au rang 17, j’achète volontiers parce que c'est quand même joli ce

Tout à fait (joli).
Mais trouver la raison (qui existe sûrement sinon ce serait une sacrée coïncidence) n'est sûrement pas facile !!!!

Tiens, peut-être vérifier dans d'autres bases (ces nombres ne dépendent pas de la base, on devrait donc aussi avoir des trucs curieux dans les autres bases)

**stefjm** · 05/01/2022, 17h10

La forme que je trouve la plus aboutie, avec le nombre d'or, son conjugué et le 17ième nombre de Lucas 3571.

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

avec la fraction continue

$\text{[math]}$

https://www.wolframalpha.com/input/?...2*3*5*7%29%2B1

Une idée du pourquoi?

**Brinicle** · 05/01/2022, 18h09

Bonjour,

Tiens en attendant une réponse de StefJM, petit défi (facile à programmer mais je ne garantit pas l'existence d'une solution, je n'ai pas essayé ).
Trouver quatre nombres A, B, C, D (écris sous forme décimale) tel que (A+B+C+D)(A.B.C.D) = ABCD (concaténation)
S'il n'y a pas de solution, alors trois nombres sinon deux (là je parie une carotte que la solution existe)

Je ne trouve pas de solution pour n=4 chiffres, à part le trivial A=B=C=D=0 (petit code python) :

Code:

import numpy as np

def split(num): return np.array(tuple(str(num)),dtype=int)

n = 4
Nmax = 10**n
num = np.sum([10**i for i in range(n)])
sol = []

for i in range(Nmax):
    tabnum = split(num)
    if np.sum(tabnum)*np.prod(tabnum) == num:
        sol.append(num)
    num += 1

if len(sol) != 0:
    print(sol)
else:
    print("Pas de solution trouvée.")

Pour n=3, il y a 135 et 144, il n'y a rien pour n=2,5 ou 6... Et puis bien sûr, 1 pour n=1...

Conjecture : Il n' y a pas de solution pour n différent de 3 ou 1

**SULREN** · 05/01/2022, 18h22

Bonsoir,
Comme j'ai une propension à ne pas comprendre les problèmes posés sur le forum de maths (on l'a vu dans une autre discussion), j'ai toutes les chances de ne pas avoir compris la concaténation.

A 4 chiffres je ne trouve pas.
A 3 chiffres il y aurait,......bien sûr si j'ai bien "capté" la question
(1+3+5) * (1*3*5) = 135 = 9*15
(1+4+4) * (1*4*4) =144 = 9*16

Désolé, j'ai posté trop tard. Il faudrait retirer mon message

**SULREN** · 05/01/2022, 18h38

Pour rattraper mon retard, mais sans me faire griller ce coup-ci, je trouve deux solutions en base 11.

2,1,8,9 et 7,6,3,4

Je vais vérifier

**SULREN** · 05/01/2022, 18h50

On aurait:
(2+1+8+9) * (2*1*8*9) = 2189 qui correspont à 2880 ramené en base 10, tout comme (20) * (144)
(7+6+3+4) * (7*6*3*4) = 7634 qui correspond à 10080 ramené en base 10, tout comme (20) * (504)

**SULREN** · 05/01/2022, 19h18

Re,
Et 1, 2, 3, 8 en base 9.
Ca tombe comme à Gravelotte

**SULREN** · 05/01/2022, 19h23

Non, erreur pour la base 9.
Toutes les excuses.

**SULREN** · 05/01/2022, 19h33

Mais en base 7 les deux solutions ci-dessous semblent bonnes:
1,2,5,4 et 2,3,4,3

**Deedee81** · 06/01/2022, 06h46

Salut,

Joli tous ces résultats

Envoyé par stefjm

Une idée du pourquoi?

A priori non. Mais quand on voit ça j'ai bien du mal à penser qu'il n'y a pas une raison précise. Tu as levé un joli lièvre

Une idée : le nombre d'or en fractions continues a une tête vraiment très particulière (et bien connue) : https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre...ction_continue
Je me demande si ce n'est pas lié. Il serait intéressant de voir comment se comportent les ,puissances de fractions continues :
[a,b,c,d,...]^r = ?
(pas facile de trouvers des infos)
Et appliquer ça au nombre d'or (et je pressens que ce n'est évidemment pas si trivial).

Pur flair : je sens que c'est de cd coté là qu'on trouverait la réponse.

Bon, beaucoup de "je sens" mais c'est mieux que rien

**stefjm** · 06/01/2022, 08h28

Les puissances impaires du nombre d'or sont liées aux nombres de Lucas L(2n+1) et au polynôme minimum.

$\text{[math]}$

https://oeis.org/search?q=1%2C4%2C11...ch&go=Chercher

mais cela ne dit pas pourquoi L(2+3+5+7)=2.3.5.7.(2+3+5+7)+1

Par contre, une foultitude de références et en particulier une factorisation sur les complexes des nombres de Lucas et une formule close bien jolie!

$\text{[math]}$

https://www.wolframalpha.com/input/?...9%2C+k%3D1..17

$\text{[math]}$

https://www.wolframalpha.com/input/?...28-i%2F2%29%29

**jacknicklaus** · 14/01/2022, 11h55

Envoyé par Brinicle

Je ne trouve pas de solution pour n=4 chiffres, à part le trivial A=B=C=D=0

Pourtant, en se limitant à 1 ou 2 chiffres :

18 1 4 40
67 2 1 44

et en acceptant un zéro à gauche:

2 04 28 80
2 61 47 04

**Brinicle** · 14/01/2022, 13h58

Vous n'avez pas bien lu, A, B, C et D doivent être compris entre 0 et 9...

**SULREN** · 14/01/2022, 15h14

Bonjour,
Si on décide que A, B, C, D peuvent varier de 1 à 100 on trouve bien sûr les 2 solutionsindiquées par jacknicklaus au post 19.
Si on décide que A, B, C, D peuvent varier de 1 à 200 on trouve d'autres solutions comme par exemple: 3 - 31 - 1 - 172
Etc

**stefjm** · 22/02/2022, 15h07

Envoyé par stefjm

La forme que je trouve la plus aboutie, avec le nombre d'or, son conjugué et le 17ième nombre de Lucas 3571.

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

avec la fraction continue

$\text{[math]}$

https://www.wolframalpha.com/input/?...2*3*5*7%29%2B1

Une idée du pourquoi?

Un truc de fou!

Un bâton de 1m, planté verticalement sur terre, donne un horizon de rayon 3571m. Cela fait une très belle définition du mètre.

https://www.wolframalpha.com/input?i...%283571%29%5E2

Cela correspond à un rayon terrestre de 6376021+1 mètres.
avec
$\text{[math]}$

et c'est aussi un triplet pythagoricien
$\text{[math]}$

Si ce n'est pas beau!?

L'or de 2 3 5 7

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