Dieu, le roi, l’ange et les sujets

[kosh75]

Bonjour ! Ce n’est ni un problème ni une énigme, mais la mise en scène d’une curiosité mathématique dont j’aimerais vous faire part. Certains y ont vu une variante de l’hôtel de Hilbert.

DIEU, LE ROI, L’ANGE ET LES SUJETS

Nous sommes dans un univers infini composé de planètes toutes alignées géométriquement. D’une planète, si on parcourt une petite année-lumière, on arrive à la planète suivante, et ainsi de suite. Et tout autour, une infinité d’alignements similaires, dont chacun s’étend à l’infini.

Cet univers est dirigé par un dieu ayant fixé des règles très précises :

• –

Chaque planète compte 100 milliards d’habitants. Parmi lesquels 1 seul roi, pour tout le reste de sujets.

• –

Les sujets ont tous une vie rude, ils connaissent la souffrance de leur naissance à leur dernier souffle. Le roi, lui, vit dans le bonheur et l’abondance toute son existence.

• – L

orsqu’un habitant meurt (qu’il soit sujet ou roi) son âme se réincarne dans le corps d’un nouveau-né d'une autre planète.

De fait, chaque sujet meurt avec un espoir : celui d’avoir une infirme chance (1 sur 100 milliards) d’être réincarné, sur la prochaine planète, dans le corps du nouveau-né qui sera désigné comme le successeur du roi.
Et chaque roi meurt avec une énorme angoisse : n’avoir qu’une chance sur 100 milliards d’être roi de nouveau !!

Jusqu'ici, pour des raisons pratiques, un habitant qui meurt sur la planète P1 se réincarne sur la planète P2, celle qui vient juste après. Pour Dieu, cet élément n'est qu'un détail sans importance.

L’ange a la charge d’assurer le bon fonctionnement de tout cela. Il trouve que Dieu est trop cruel et a souvent tenté de négocier avec lui. Pourquoi pas au moins 50 % de roi sur chaque planète ? Ou au moins, ne serait-ce que 2 rois au lieu d’un seul ? Rien à faire, son supérieur ne veut rien entendre.

Tout ce que l’ange parvient à obtenir : qu’un habitant qui meurt ne se réincarne pas forcément à la planète venant juste après dans l’alignement. Cela, peu lui importe, du moment que les autres règles restent strictement les mêmes.

L’ange décide alors de créer une bijection. Désormais, les chances de se réincarner en roi sont multipliées par 10 pour chaque habitant. Il suffit que le premier élu se réincarne en futur roi dans la planète P + 1, le deuxième dans la planète P + 2, et ainsi de suite.

Sur chaque planète, l’ange décale ainsi le lieu de réincarnation du futur roi sous forme P + x, en faisant en sorte que les règles divines soient respectées à la lettre : 1 planète = 100 milliards d’habitants pour 1 roi.

10 fois plus de chances qu’avant d’être réincarner en roi, l’espoir nait chez les sujets ! Dieu, décidément assez sadique, sens qu’il sait fait avoir… mais ne compte pas revenir sur son autorisation, par orgueil. Pour se venger, il décrète que désormais chaque planète comptera… 10.000 milliards d’habitants parmi lesquels toujours un seul roi !

Mais… qu’importe. L’autorisation étant divine étant donnée et l’univers étant infini, l’ange crée une bijection qui rend tous les sujets fous de joie.

Désormais, chaque sujet, à l’heure de son dernier souffle, n’aura qu’1 seule chance sur 10 puissance 100.000 milliards étant lui-même à la puissance 100.000 milliards… de se réincarner de nouveau en sujet.

Hormis l’autorisation divine, les règles sont toujours les mêmes et pourtant, désormais, les sujets sont heureux…

Au plaisir de votre retour si le coeur vous en dit.

Bonne journée,

Alexis
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[Mazaalai]

Bonjour Kosh !

Heu... Pardon, mais je ne vois pas où est la 'curiosité mathématique' ?

[kosh75]

Hello Mazaalai
ben en fait tout mon texte est rédigé pour démontrer ce qui est pour moi un paradoxe ou une curiosité mathématique. Donc je ne vais pas réécrire les mêmes mots, si pour toi il n'y a aucune curiosité mathématique là-dedans je ne sais pas trop quoi répondre A moins que tu ne me donnes des précisions ?
A mon sens l'hôtel de Hilbert est déjà en soi une forte curiosité mathématique, et son extension m'a donné l'idée de ce texte, afin de démontrer une curiosité supplémentaire. Là tel quel je ne sais pas quoi dire d'autre.

[ann72]

bonjour !
Que deviennent les 90 000 habitants de chaque planètes qui passe de 100 000 a 10 000 ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[kosh75]

Bonjour Ann !
"Que deviennent les 90 000 habitants de chaque planètes qui passe de 100 000 a 10 000 ?"
L'idée n'est pas que chaque planète passe de 100.000 à 10.000.
C'est le contraire : notre dieu mesquin tente de se venger de la manipulation de l'ange, en décidant que d'un coup chaque planète comptera encore beaucoup plus de sujets pour toujours un seul roi, donc un ratio de rois/sujets encore plus faibles.
C'est juste pour démontrer que dans un univers infini, avec le système de bijection de l'ange, il revient au même qu'il y ait sur chaque planète 10 rois et 100 sujets, ou 1 roi pour 1 milliard de sujets puissance 1 milliard.
C'est en tout cas ce que je tente de démontrer dans ce texte, mais c'est ouvert à débat !

[Verdurin]

Bonsoir,
je crois qu'il y a un point oublié dans ton histoire.
Comme chaque individu se réincarne sur une planète de numéro strictement supérieur il faut constamment faire apparaître de nouveaux individus pour que les planètes ne se vident pas.

Sinon, dans la configuration de départ, chaque individu sait ( peut savoir si il sait calculer ) qu'il sera roi une infinité de fois avec une probabilité égale à 1.

[kosh75]

Hello Verdurin !

"Comme chaque individu se réincarne sur une planète de numéro strictement supérieur il faut constamment faire apparaître de nouveaux individus pour que les planètes ne se vident pas."

C'est un élément qui pourrait être possible dans notre expérience de pensée. Elément qui, il me semble ne changerait rien de particulier, et ne contredirait pas l'expérience.

Ceci dit, il me semble que dans un nombre de planète infini, nul besoin de faire apparaître constamment de nouveaux individus. Les nouveaux sujets et nouveaux futurs rois qui naissent sont les réincarnations d'autres planètes, qui eux mêmes viennent d'autres incarnations etc.

Mais ceci dit encore, du coup il y aurait peut-être effectivement un détail de base à changer, à savoir qu'au début de l'histoire l'être qui meurt sur la planète P+1 ne se réincarne pas forcément sur la planète P+2 mais plutôt sur la planète P + X.

[Médiat]

Bonsoir,

Donc la planète P1 va se vider puisque personne ne s'y réincarne, ce qui peut se contourner en indiçant les planètes avec Z.

On peut facilement trouver une stratégie pour que chacun se réincarne en roi (probabilité 100%), mais bien sûr au bout d'un moment "beaucoup" de planètes n'abriteront plus qu'un roi et aucun autre habitant.

[kosh75]

Hello Mediat

"Donc la planète P1 va se vider puisque personne ne s'y réincarne, ce qui peut se contourner en indiçant les planètes avec Z."

En fait quand je dis P1 c'est un raccourci de langage : je n'entend pas que c'est la première planète. Il y a une infinité de planètes, donc il n'y a pas de planète première

Que veux-tu dire, nommer tout les planètes "planète Z" ? Je ne vois pas ce que Zemmour viendrait faire là-dedans.

"On peut facilement trouver une stratégie pour que chacun se réincarne en roi (probabilité 100%)" --> Je ne vois pas quelle stratégie on pourrait trouver, je peux bien que tu me dises.

"mais bien sûr au bout d'un moment "beaucoup" de planètes n'abriteront plus qu'un roi et aucun autre habitant" --> Là par contre ça ne fonctionne plus. L'idée c'est de démontrer la curiosité mathématique (enfin, ce qui du moins pour moi en est une) d'avoir toujours les mêmes règles (infinité de planète, X milliards de sujets par planète pour un seul roi par planète, réincarnation...) tout en ayant malgré tout énormément plus de chances, après l'action de l'ange, de se réincarner en roi qu'en sujet.

[Verdurin]

Disons que l'on indexe les planètes par Z.
Sur chaque planète il y a un roi et deux sujets.

Il y a des instants où tous les habitants de toutes les planètes meurent et se réincarnent sur une planète de numéro strictement supérieur.
Après ceci il y a toujours un roi et deux sujets par planète.
Il est impossible que tout le monde se réincarne en roi car la population des planètes ne respecterait plus la règle « un roi et deux sujets ».

Mais j'aimerais que kosh75 donne une règle explicite assurant que 3/4 des sujets se réincarnent en roi.
C'est un bon exercice pour sortir du vague « il y a une bijection ».

[Médiat]

Il y a une infinité de planètes, donc il n'y a pas de planète première

Il y a une infinité d'entiers et pourtant ily en a un qui est le premier

Que veux-tu dire, nommer tout les planètes "planète Z" ?

Je n'ai pas écrit cela

"On peut facilement trouver une stratégie pour que chacun se réincarne en roi (probabilité 100%)" --> Je ne vois pas quelle stratégie on pourrait trouver, je peux bien que tu me dises.

Pourtant facile, l'habitant n (sur 100 milliards) de la planète m se réincarne en roi sur la planète 100000000000m + n.

On peut aussi se débrouiller pour que tout le monde soit roi une fois sur 2 (ou 99 fois sur 100) : les rois se réincarnent en habitant standard et les habitants standard en roi, de sorte qu'on ait toujours 100 milliards d'habitants par planète.

[Médiat]

Dans le message précédent, j'ai écrit 99 fois sur 100, mais c'est à titre d'exemple, on peut choisir 99999999999999999999 sur 100000000000000000000 si on veut.

[Verdurin]

Je voulais dire 3/4 des individus, mais ce n'est pas si grave.
Une réponse à mon message précédent me comblerais d'aise.

[kosh75]

Merci pour vos nouvelles réponses. Si on se met d'accord sur différents points, j'en prends note et publierai une nouvelle version du texte ici.

"Disons que l'on indexe les planètes par Z.
Sur chaque planète il y a un roi et deux sujets.
Il y a des instants où tous les habitants de toutes les planètes meurent et se réincarnent sur une planète de numéro strictement supérieur.
Après ceci il y a toujours un roi et deux sujets par planète.
Il est impossible que tout le monde se réincarne en roi car la population des planètes ne respecterait plus la règle « un roi et deux sujets »."

Alors, si, je pense que c'est possible. Pour une meilleure compréhension je reprends momentanément la numérotation des planètes.
"Il y a des instants où tous les habitants de toutes les planètes meurent" : dit tel quel on a l'impression qu'il y a des moments où tous les habitants de toutes les planètes meurent en même temps, ce qui est faux.

Disons que les habitants se comportent "normalement" : certains meurent jeunes, d'autres vieux, et ils n'ont pas tendance à naitre en même temps. Si l'être qui meurt en P 1 doit forcément se réincarner en P 2, oui je suis OK ça pose souci, c'est d'ailleurs ce qu'on avait souligné qui clochait dans mon texte. Si par contre celui qui meurt en P 1 se réincarne à la planète supérieure qui enregistre une naissance pile au moment de sa mort, il en trouvera forcément une : dans une infinité d'alignements infinis de planètes, ce point ne peut pas être un problème. Ou alors je n'ai pas compris ton intervention.

"Mais j'aimerais que kosh75 donne une règle explicite assurant que 3/4 des sujets se réincarnent en roi.
C'est un bon exercice pour sortir du vague « il y a une bijection »."

Une règle précisément mathématique je ne saurais te dire ! Je ne suis pas du tout bon en maths.
Qu'est-ce qui pour toi ne fonctionne pas dans l'idée de la bijection ?
Après, si pour toi le mieux serait de le formuler avec précision mathématique, on pourrait peut-être y parvenir en changeant quelques règles, comme le fait que les êtres meurent de façon synchro entre une planète 10 et la planète 1000 ?
Je ne sais pas, là pour le coup c'est un peu en dehors de ma compétence, si vous avez une idée ?

Outre le fait qu'il n'y a pas de formule mathématique dans mon texte (je le répète ce n'est vraiment pas mon fort) pour moi l'idée fonctionne parfaitement. Mais si vous pensez que non je suis prêt à l'entendre of course.

""On peut facilement trouver une stratégie pour que chacun se réincarne en roi (probabilité 100%)" --> Je ne vois pas quelle stratégie on pourrait trouver, je peux bien que tu me dises.
Pourtant facile, l'habitant n (sur 100 milliards) de la planète m se réincarne en roi sur la planète 100000000000m + n.""

A mon sens tu ne donnes qu'une indication pour parvenir à la conclusion de mon texte, à savoir que chaque sujet a une chance énormément supérieur de se réincarner en roi qu'en qu'en sujet. Mais pas que TOUS les sujets de TOUTES les planètes ne puissent que se réincarner en roi, je ne vois comment ce principe pourrait fonctionner.

"On peut aussi se débrouiller pour que tout le monde soit roi une fois sur 2 (ou 99 fois sur 100) : les rois se réincarnent en habitant standard et les habitants standard en roi, de sorte qu'on ait toujours 100 milliards d'habitants par planète."

Oui bien sûr ! Ce que je cherche à démontrer dans mon texte, c'est que une fois qu'on a suivi ce genre de principe, on peut prendre conscience que dans un univers infini on peut du coup créer une bijection (dont je ne suis pas sûr qu'elle soit formulable précisément) permettant que chaque sujet ait par exemple 99,999999999(des milliards de milliards de 9)9999 % de chance de se réincarner en roi, et ce tout en respectant toujours les règles de Dieu, à savoir : 1 seul roi par planète pour des centaines de milliards de sujets.

[Verdurin]

À kosh75.
Si tu cherches à démontrer quelque chose je veux bien jouer le rôle du contradicteur.
Pour l'instant la proportion de rois dans la population est constante.
Tu évoques un argument que je ne comprends pas

L’ange décide alors de créer une bijection. Désormais, les chances de se réincarner en roi sont multipliées par 10 pour chaque habitant. Il suffit que le premier élu se réincarne en futur roi dans la planète P + 1, le deuxième dans la planète P + 2, et ainsi de suite.

Sur chaque planète, l’ange décale ainsi le lieu de réincarnation du futur roi sous forme P + x, en faisant en sorte que les règles divines soient respectées à la lettre : 1 planète = 100 milliards d’habitants pour 1 roi.

Peux tu le préciser ?

À Médiat.
Je repose ma question sous une forme un peu modifié.
On a un roi et deux sujets par planète, une planète est donc de la forme (n,r,s1,s2). L'ensemble des planètes est donc de la forme P=Zx{0,1,2}.
Je n’arrive pas à expliciter, ni même à montrer l'existence, d'une bijection r de P dans P telle que :
r((n,0)=r(m₀,k) avec k=1 ou k=2
r((n,1)=r(m₁,0)
r((n,2))=r(m₂,0)
avec m₀>n et m₁>n et m₂>n.
Peux tu m'aider ?

[Merlin95]

En fait quand je dis P1 c'est un raccourci de langage : je n'entend pas que c'est la première planète. Il y a une infinité de planètes, donc il n'y a pas de planète première

Est-ce que ca changerait quelque chose, si on considérait un nombre fini de P mais qui boucle sur lui-même, genre le successeur du dernier c'est le premier ?

[kosh75]

Oui tu fais bien, j'ai besoin de mettre mon texte à l'épreuve de la contradiction.
Alors, je vais réexpliquer sous une forme plus simple et tu vas me dire ce que tu en penses.

1 - un nombre infini de planètes
2 - sur chaque planète, 1 roi et 2 sujets
3 - à chaque fois qu'un habitant meurt, qu'il soit roi ou sujet, un nouveau apparait
4 - l'habitant qui meurt se réincarne sur une autre planète, là où un sujet s'apprête à mourir et donc à être remplacé

de fait, chaque sujet n'a qu'une chance sur 3 de se réincarner en roi. Schématiquement, c'est comme si tu jetais un dé de 6 faces, et le sujet ne sera roi que si ça tombe sur 1 ou 2.

l'ange crée une bijection sous la forme suivante (sans changer les 4 règles de base précédemment énoncés. Il va juste changer une "modalité", de la même manière que dans l'hôtel de Hilbert personne n'est expulsé du lieu) :

désormais, un sujet qui meurt se réincarnera sur une planète parmi 3 possibles. 1ere et 2eme planètes : il y sera forcément roi. 3ème planète : il y sera forcément sujet.
les choses sont inversés : à présent lorsqu'un sujet meurt, c'est comme si on jetait un dé, et que les résultats 1, 2, 3 et 4 le feront devenir roi.

et pour que ce système fonctionne, il suffit donc d'utiliser une bijection... peut-être qu'une formule mathématique peut en résulter, je ne sais pas laquelle

si ce principe fonctionne et est clair, on peut étendre le principe jusqu'à faire en sorte que tout habitant, au moment de sa mort, ait 99,999999999etc. % de chances de se réincarner en roi.

[Merlin95]

En fait ce que tu sembles prendre conscience, c'est que pour un infini peut toujours être mis en bijection avec l'une de ses parties, c'est tout .

C'est précisément ce que tu dis là :

Il va juste changer une "modalité", de la même manière que dans l'hôtel de Hilbert personne n'est expulsé du lieu

[Médiat]

Peux tu m'aider ?

Je vais essayer : sur la planète n on a un roi et deux habitants (appelé 1 et 2) à l'étape suivante

si n est pair son habitant 1 devient roi de la planète n

si n est de la forme 6k + 1, son roi est l'habitant 2 de la planète 6k
si n est de la forme 6k + 3, son roi est l'habitant 1 de la planète 6k+1
si n est de la forme 6k + 5, son roi est l'habitant 2 de la planète 6k+1

L'habitant 1 de n est l'ancien roi de 2n + 1
L'habitant 2 de n est l'ancien roi de 2n + 2

[kosh75]

Hello Merlin95

"En fait ce que tu sembles prendre conscience, c'est que pour un infini peut toujours être mis en bijection avec l'une de ses parties, c'est tout ."

c'est un peu plus que ça

Ce que je tente de faire à travers ce texte :

en réfléchissant aux différentes versions de l'hôtel de Hilbert, j'ai songé à un autre type d'histoire menant à une bijection qui mène selon moi sur quelque chose de très curieux. A savoir qu'on pourrait être dans un monde avec 1 chance sur 100 milliards d'être réincarné en roi ... ou dans un monde avec 99,99999999 % de chances d'être réincarné en roi.... tout en gardant pourtant les mêmes règles de base.

après, si techniquement pour toi c'est juste que je viens de prendre conscience qu'un infini peut toujours être mis en bijection avec l'une de ses parties, entendu !