Billy the Kid, Lucky Luke et stratégie

[non bwana]

1 ) un qui lui assure 40% chance de ne pas être rattrapé, l'autre 60%. Billy et Lucky savent quel chemin assure quelle probabilité, mais le choix de Billy est impossible à connaître par Lucky (autrement que par la réflexion).

Existe-t-il un meilleur choix que l'autre ? Si oui, lequel et pourquoi ?

2 )

Non 40% et 60% c'est SI Lukky Luke prend le même chemin... et ça change tout.
Si Lukky Luke ne prend pas le bon chemin Billy a 100% de chance de s'échapper.

3 )

Très bon résumé

Ce problème est extrêmement difficile pour moi, car plusieurs points me sont complètement obscurs. Sont-ils accessibles seulement si on a fait des études, ou bien c'est moi qui me complais dans le pâté ?

Voilà :

En premier lieu, la précision "(autrement que par la réflexion)" laisse penser qu'en réfléchissant, il n'est plus impossible à Lucky de connaitre le choix de Billy. C'est une difficulté, que de comprendre cela. En effet, le problème traite de probabilité, et "connaître" traite de certitude, donc de probabilité égale à 100 %. Ce qui signifierait que Lucky peut être sûr à 100 % du choix de Billy en réfléchissant. Ok, pourquoi pas, mais ici, je coince.


Une autre difficulté émerge du mot "assure", qui signifie "quoi qu'il arrive", ce qui inclut le résultat de la réflexion de Lucky, qui n'a alors absolument aucune importance, car déjà prise en compte dans l'hypothèse. Exactement comme si au début du chemin, il était proposé à chacun des deux aventuriers de prendre un pistolet pour l'éventuel duel final. Le premier qui choisit le pistolet impose le choix pour les deux, ceci est donné par "assure". Chaque barillet comporte 10 logements pour les balles, un des deux pistolets contient 6 balles, et l'autre 4. Ici, il n'existe qu'un chemin, le choix entre les deux chemins est remplacé par l'incertitude totale concernant la vitesse ou la précision de tir de chacun. Résultat, c'est comme un jeu de roulette russe pour lequel avant d'appuyer chacun choisit un pistolet plus ou moins chargé.
Pour choisir "plus chargé" avant de se le mettre sur sa propre tempe, ce ne serait pas complètement inadapté ?

C'est qui qui a cette tronche de débile : , celui qui choisit la situation la plus défavorable, ou moi, tout simplement ?

Pour résumer, les mots "assure" et "connaitre" sont difficiles d'interprétation dans le contexte.
-----

[Resartus]

Bonjour,
Que de bla bla autour du pot!
Sous réserve d'avoir compris la question, c'est un équilibre de Nash qu'on recherche. Les joueurs jouent simultanément et, comme l'a rappelé Deedee, c'est une stratégie mixte qui est la meilleure stratégie pour chacun des joueurs.
Sauf erreur de calcul*, Billy doit choisir le chemin à 0,6 avec une probabilité de 0,6 et l'autre avec 0,4.
Et lucky luke doit faire la même chose. Avec ces choix, Billy aura une probabilité de 76% d'échapper à Lucky Luke

*Si a est la probabilité de choix du chemin à 0,6 par billy, et b la probabilité de choix par Lucky Luke de ce chemin, la probabilité d'échapper pour Billy vaut : 0,6ab+a(1-b)+b(1-a)+0,4(1-a)(1-b) soit 0,4+0,6 (a+b) -ab=0,76-(a-0,6)(b-0,6)
Pour rendre cette probabilité indifférente à la stratégie de l'adversaire, il faut que a vaille 0,6 et b aussi.

[Deedee81]

Merci Resartus, c'est exactement comme ça que je voyais la résolution.

Je suppose que Médiat va confirmer.

(hé oui, qué bazard, que de blabla, ouf, c'est bientôt l'hiver, certains s'ennuient )

[Médiat]

La question était "existe-t-il un meilleur choix de chemin", la réponse est Non, et je répète l'argument que j'adore : s'il existait un meilleur choix, il faudrait choisir l'autre. N'oublions pas que nous sommes en science ludique.

Les solutions à base de hasard laissent le choix à ce dernier et suppriment toute réflexion (supposent que Lucky joue aussi le jeu et ne réfléchis pas).

[agitateur]

Pour une fois, je préfère l'approche façon philo, trés courte et trés brêve.

Choisir c'est renoncer.

Terminé, fin de la copie.

Comment ça j'ai 01/20 ?

[stefjm]

La question était "existe-t-il un meilleur choix de chemin", la réponse est Non, et je répète l'argument que j'adore : s'il existait un meilleur choix, il faudrait choisir l'autre.

Ça me rappelle le coup des deux enveloppes qu'on échange perpétuellement (ou pas).
https://fr.wikipedia.org/wiki/Parado...eux_enveloppes
https://hal.science/hal-00974031/fil...enveloppes.pdf

[Deedee81]

La question était "existe-t-il un meilleur choix de chemin", la réponse est Non, et je répète l'argument que j'adore : s'il existait un meilleur choix, il faudrait choisir l'autre

Ha bé là c'est moi qui ait déformé la question, j'ai l'air bête après mes remarques

Note que j'avais esquissé la méthode et Resartus a donné la soluce mais de tête j'ai pensé "mais la solution ne peut pas être 0 ou 1" exactement pour la raison que tu indiques. Et je ne l'ai même pas dit.

N'oublions pas que nous sommes en science ludique.

Ouais bon, mais bon, ce n'est pas synonyme de "science simple", hein

En tout cas, joli problème piégeux.

Merci,

[Deedee81]

On s'est croisé.

Ça me rappelle le coup des deux enveloppes qu'on échange perpétuellement (ou pas).

En effet. J'avais fait référence plus haut au problème de deux prix. Mais c'est celui-là en fait, je ne me souvenais vraiment plus bien
Il avait été discuté dans PLS.
Merci pour les deux liens qui réparent ma mémoire défaillante.

Une chose aussi générale que j'ai constaté. Ce sont souvent les problèmes de probabilités qui font couler le plus d'encre et pas qu'ici (Monty Hall fut presque un record !)
(à quelques autres cas près, pensons à Syracuse)
EDIT rien que la page de discussion de wikipedia sur les 2 enveloppes le montre
Oserais-je une interprétation de comptoir ? Les probabilités sont loin, très loin, d'être intuitives !

[oualos]

La question était "existe-t-il un meilleur choix de chemin", la réponse est Non, et je répète l'argument que j'adore : s'il existait un meilleur choix, il faudrait choisir l'autre. N'oublions pas que nous sommes en science ludique.

Les solutions à base de hasard laissent le choix à ce dernier et suppriment toute réflexion (supposent que Lucky joue aussi le jeu et ne réfléchis pas).

Merci Mediat c'est ce qu'il me semblait en définitive.
C'est une réponse plus probabiliste que la mienne qui était sur la base d'une régression infinie du raisonnement "Que va faire l'autre si je fais ça sachant qu'il est rusé et malin et qu'il sait que je suis aussi malin et rusé que lui ?"
en définitive le fait de poser la question comme ça élimine tout choix considéré comme meilleur que l'autre
si on veut finasser on peut rajouter "à intelligence égale" bien sûr

[Deedee81]

EDIT rien que la page de discussion de wikipedia sur les 2 enveloppes le montre

Celle sur Monty Hall est encore pire

[non bwana]

C'est décourageant de se voir qualifier de producteur de blabla, mais tant pis, j'insiste un tout petit peu malgré cette sanction.

il doit choisir entre deux chemins, un qui lui assure 40% chance de ne pas être rattrapé, l'autre 60%

Ce sont les chemins en eux-même qui assurent à 60 % pour l'un et 40 % pour l'autre, (un qui lui...) à Billy de ne pas être pris.
Ce sont des valeurs qui sont intrinsèques aux chemins, et qui ne dépendent pas de facteurs autres, tels que la décision de Lucky.
Ce pourrait par exemple être un chemin à parcourir pour Billy en vélo, et l'autre à pied, alors que Lucky n'a que ses jambes. Ce cas, qui n'est qu'un exemple, demeure fidèle à l'énoncé de départ.

Ma question est celle-ci : Qu'est-ce qui est intervenu entre le départ du problème et la fin, modifiant les probabilités initiales annoncées à 60 et 40 % de réussite pour Billy, et les amenant au final à 50/50, dans le cas de choix du même chemin pour les deux aventuriers ??

[Liet Kynes]

Il est indiqué "les deux connaissent les caractéristiques des deux chemins, les deux sont "malins"" on s'attends danc cette situation à une sorte d''équilibre de Nash en stratégies pures. Dans cet équilibre, chaque joueur choisit la meilleure réponse à la stratégie de l’autre joueur, et aucun joueur n’a intérêt à dévier de sa stratégie tant que l’autre joueur maintient la sienne, et Lucky et certain que la stratégie de Billy ne changera pas car elle est "one shoot" et passée.

[Liet Kynes]

Comme c'est de la science ludique je me permets de mettre un lien pour étayer ma conclusion ; https://fr.wikipedia.org/wiki/The_Evolution_of_Trust
Dans le problème de Mediat les deux savent qu'ils sont dans un contexte de régression infini mais les deux savent (comme ils sont malins) que la théorie des jeux a donné naissance aux travaux de Robert Axelrod qui amènent vers une nécessaire coopération qui ici peut être représentée par le fait de suivre un même chemin, chemin choisi par le premier à faire le choix qui est assez malin pour être coopératif.. compliqué non ?

[oualos]

Pour ceux qui aiment les lectures et problèmes compliqués, Lacan propose un jeu dans cette famille de jeux et qu'il analyse en le plaçant sous le boisseau du titre "Le temps pour comprendre"
Mais rassurez-vous avant de vous lancer dans cette lecture, Lacan dans ce chapitre explique très clairement et ne se lance pas dans des hypothèses ou divagations plus ou moins compliquées en rapport avec l'inconscient comme dans les autres parties des ses Écrits.
Et ce qu'il décrit correspond exactement à ce que vous décrivez: un contexte de régression infinie qui trouve au moins un aboutissement par une nécessaire coopération.
Impossible à résumer ici désolé

[Liet Kynes]

Et ce qu'il décrit correspond exactement à ce que vous décrivez: un contexte de régression infinie qui trouve au moins un aboutissement par une nécessaire coopération.
Impossible à résumer ici désolé

Ben c'est une équivalence entre la raison et le fait de s'en remettre au hasard pour résoudre un problème qui amène à une régression infinie, très simple dans le fait qu'il n'y a pas de solution à cela mais compliqué car la raison est le seul chemin pour généraliser une solution: une petite frustration en découle.

[yves35]

bonsoir,

le Kid est perdu... en effet si lucky chevauche jolly jumper, le Kid chevauche l’âne de Buridan.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Parado...âne_de_Buridan
Il sera incapable de choisir le chemin et se fera rattraper à l'intersection des 2 chemins
Ce n'est n'est que ma manière de me tirer d'affaire sans être sorti d'embarras

yves

[Bounoume]

très astucieux!
au demeurant, ça me semble la façon dont en pratique ces jeux (souvent mortifères.... ) peuvent se terminer: quand un des 'joueurs' renonce à pousser plus loin son 'analyse' de la situation, car ça dépasse sa capacité de 'comprendre' et de 'prévoir' les scénarios passés et possibles........
Alors il ne prend plus de nouvelle décision, il ne 'joue' plus, même si ses actions en cours continuent de faire effet......Très vite, du fait des autres, ça évolue vers un état de solution stable.....

une question: en théorie des jeux, comment nomme-t-on ce processus de 'démission'(?), sans coopération, et qui n'est pas qu'une simple prise de décision au hasard....

[AATC]

Bonsoir à tous
(en particulier à Bounoume que je retrouve après nos échanges d'il y a ... 10 ans !)

Je me permets de rajouter un nouveau paramètre au problème posé du choix du chemin le plus opportun à prendre par Billy the Kid en fuite puis par Lucky Luke qui le poursuit ....

Il se trouve que lorsque Billy a choisi son chemin pour s'échapper, il y avait, par le plus grand des hasards, 2 témoins : les frères jumeaux Ronnie et Reggie Kray qui sont comme chacun le sait non seulement de véritables gangsters mais aussi des personnages perfides et sournois, et pour cause, quand on leur pose une question, l'un dit la vérité et l'autre va dire le contraire, donc un mensonge.
Donc Ronnie et Reggie savent par quel chemin Billy s'est enfui.
Arrive Lucky Luke qui tombe sur les frères Kray qui lui disent savoir par où s'est enfui Billy, et d'ajouter : on te le dis mais tu ne peux poser qu'une question à un seul d'entre nous qui t'indiquera le chemin pris par Billy ....

Bref, Lucky Luke doit poser une seule question, à l'un ou l'autre des frères jumeaux sans savoir s'il dit la vérité ou s'il ment, pour connaitre le chemin prit par Billy. Quelle est cette question ?

(ps: ce problème est assez connu, merci à ceux qui le connaissent de ne pas donner tout de suite la réponse)

[oualos]

Je suis muet comme une carpe à qui on aurait collé un scotch sur la bouche

[Bounoume]

Pour ceux qui aiment les lectures et problèmes compliqués, Lacan propose un jeu dans cette famille de jeux et qu'il analyse en le plaçant sous le boisseau du titre "Le temps pour comprendre"
Et ce qu'il décrit correspond exactement à ce que vous décrivez: un contexte de régression infinie qui trouve au moins un aboutissement par une nécessaire coopération.
Impossible à résumer ici désolé

le texte (difficile à trouver sur le Net...)
https://jeanzin.fr/ecorevo/psy/tempslog.htm
mais désolé: je ne trouve aucune régression infinie..... la conclusion est obtenue de façon exacte à partir de deux étapes hypothèses successives concernant successivement deux des 3 candidats à la libération....
et il n'y a aucune coopération entre les 3 acteurs..... les 3 vont trouver séparément 'la' réponse......
par contre il y a une intrication des 'temps' de validation du parcours des inférences, entre les 3 bonshommes......
ps. Lacan, quand même prose indigeste....

[Bounoume]

Bref, Lucky Luke doit poser une seule question, à l'un ou l'autre des frères jumeaux sans savoir s'il dit la vérité ou s'il ment, pour connaitre le chemin prit par Billy. Quelle est cette question ?

 Cliquez pour afficher

il y a une double négation : monsieur Boole a dit:
¬(¬A)=A

je n'en dirai pas plus ......

[oualos]

mais désolé: je ne trouve aucune régression infinie..... la conclusion est obtenue de façon exacte à partir de deux étapes hypothèses successives concernant successivement deux des 3 candidats à la libération...

Bravo d'avoir réussi à le trouver ce texte.

1° Il y a une régression qui pourrait s'avérer infinie mais vu les capacités somme toute limitées du cerveau cela s'arrête bien avant l'infini. Bien avant...
2° Il y a une sorte de transfert de la conscience en miroir où chacun investit l'autre de son propre raisonnement. Je trouve pas d'expression plus adéquate pour décrire le processus très compliqué et lié à la psyché humaine.
Il n'y a pas de mots simples pour décrire les phénomènes en jeu, identiques sur le fond mais comme tu le mentionnes fatalement décalés dans le temps car on ne pense pas ni ne symbolise (terme très psychanalytique haha) une situation à une vitesse identique avec 2 autres personnes, même si le raisonnement intuitif est le même ou du même ordre.

Je sais qu'il sait que je sais qu'il pense que je sais qu'il raisonnerait comme ça si le troisième savait qu'il sait etc.

On peut former des phrases très longues avec ce genre de construction.
Pas infinies certes, mais très longues: ça dépend des capacités et à quel moment on commence à s'embrouiller et ne plus avoir les idées claires.
Et donc se dire qu'il faut repartir de zéro: c'est comme un joueur d'échec et c'est analysé depuis longtemps grâce à la théorie des jeux, applicable en économie avec un certain succès semble-t-il.

[Liet Kynes]

ps. Lacan, quand même prose indigeste....

C'était l'unique raison de son succès

[oualos]

C'était l'unique raison de son succès

Pas exactement
Freud ne s'est pas du tout occupé des psychoses car il soignait ce qu'il pouvait soigner c.-à-d. les névroses.
Par contre Lacan a écrit sa thèse sur les psychoses paranoïaques et une grande partie de sa vie il a essayé de comprendre les fous et la folie.
Plus d'autres choses qu'il est impossible de toutes nommer ici: en particulier il a effectué une relecture complète de l'œuvre de Freud en la commentant et en rajoutant des choses.
On peut ne pas être d'accord notamment sur la primauté qu'il accorde au signifiant et au langage dans le traitement des maladies mentales ou simplement des névroses -"l'inconscient est structuré comme un langage" reste une phrase-clé pour comprendre Lacan-, il reste incontournable pour des psychanalystes et psychiatres: la preuve le succès qu'il rencontre aux Usa et sur tout le continent américain
Sans compter l'Europe bien sûr...

Son hermétisme -et ce qui semble des divagations- correspond à sa recherche d'un langage de l'inconscient: mais il y a plusieurs Lacan dont un qui parle comme un scientifique dont la mission est de comprendre l'inconscient et la folie.
Je vous accorde que c'est déroutant parfois.

[Deedee81]

Bonjour,

Dites. Vous ne croyez pas être un peu hors sujet là ?
Il s'agit de science ludique et d'un problème de math. Pas d'une étude sur la psychiatrie.

Merci,

[Juzo]

Bonjour,
Supposons que Billy the Kid et Lucky Luke jouent un très grand nombre de parties, de telle sorte qu'un petit nombre de victoires ou de défaites a très peu d'impact sur le résultat final, avec comme objectif de remporter un maximum de victoires bien entendu.

Est-ce qu'il y a alors une meilleure stratégie d'ensemble, où les joueurs adoptent une stratégie mixte ? Est-ce qu'on peut atteindre un équilibre de Nash ?

[Deedee81]

Salut,

Est-ce qu'il y a alors une meilleure stratégie d'ensemble, où les joueurs adoptent une stratégie mixte ? Est-ce qu'on peut atteindre un équilibre de Nash ?

Il faut en effet utiliser une stratégie mixte, c'est-à-dire les choix probabilistes (avec les proba du message 32) avec un choix purement aléatoire.
(le moindre écart à un choix purement aléatoire pourrait être détecté par l'autre et exploité à son avantage)

[Liet Kynes]

Salut,



Il faut en effet utiliser une stratégie mixte, c'est-à-dire les choix probabilistes (avec les proba du message 32) avec un choix purement aléatoire.
(le moindre écart à un choix purement aléatoire pourrait être détecté par l'autre et exploité à son avantage)

Oui mais là c'est sur une seule partie: pas de conclusion donc?

[Deedee81]

Oui mais là c'est sur une seule partie: pas de conclusion donc?

Bon c'est vrai aussi pour le jeu itéré (en fait si on parle de purement aléatoire c'est forcément pour dire que deux choix successifs sont indépendants, donc c'est forcément itéré)

[Juzo]

Ah oui j'avais raté ce message désolé. Je retranscris son résultat :

Sauf erreur de calcul*, Billy doit choisir le chemin à 0,6 avec une probabilité de 0,6 et l'autre avec 0,4.
Et lucky luke doit faire la même chose. Avec ces choix, Billy aura une probabilité de 76% d'échapper à Lucky Luke

*Si a est la probabilité de choix du chemin à 0,6 par billy, et b la probabilité de choix par Lucky Luke de ce chemin, la probabilité d'échapper pour Billy vaut : 0,6ab+a(1-b)+b(1-a)+0,4(1-a)(1-b) soit 0,4+0,6 (a+b) -ab=0,76-(a-0,6)(b-0,6)
Pour rendre cette probabilité indifférente à la stratégie de l'adversaire, il faut que a vaille 0,6 et b aussi.

Pour Lucky Luke c'est la solution que je proposais au message #21. Pour Billy je dirais que les probabilités des chemins doivent s'inverser : chacun choisit 60% du temps le chemin où il a 40% de réussite.
C'est peut-être ce que voulait dire Resartus ?...
Dans cette situation, Lucky Luke attrapera Billy avec une fréquence de 0,24.

Ce qui m'interrogeait c'est que dans une situation erratique (hors équilibre, si chacun essaie de se positionner dans la régression infinie) on pourrait supposer que Billy prendrait en moyenne 50 % du temps le chemin à 0,4, et Lucky Luke serait 50% du temps sur le même chemin que lui.
La fréquence de victoire de Lucky Luke serait alors : 0,5*0,5*0,4 + 0,5*0,5*0,6 = 0,25. Donc légèrement mieux. L'équilibre ne semble pas profiter à Lucky Luke, je me demandais pourquoi ce n'était pas symétrique et si LL aurait intérêt à rompre l'équilibre en quittant sa stratégie mixte.

PS : il y avait une coquille dans le message #21, remplacer "une chance sur deux" par "autant de chance".