Règle graduée paradoxale

[Juzo]

Bonsoir,

Je m'amusais à une petite expérience de pensée qui m'a posé une colle.

Imaginons une règle graduée en cm de telle sorte que chaque graduation se trouve à 1 cm de la suivante, avec une imprécision située aléatoirement entre -20% (8mm de l'autre graduation) et +20% (1,2cm de l'autre graduation) et en suivant une loi uniforme (le probabilité du pourcentage d'erreur est constante entre -20% et +20%).

On suppose que la règle peut-être aussi longue que l'on veut (plusieurs milliers de km par exemple).
Alors paradoxalement, plus la longueur d'un objet mesuré est grande, plus la précision de la mesure aura de probabilité d'être grande !

En effet la loi des grands nombres indique que plus le nombre de graduations est grand, plus les erreurs vont se compenser car également réparties. (peut-être que l'erreur est là, car l'erreur moyenne est multipliée par le nombre de graduations ?)

Oui mais voilà : supposons un objet très grand mesurant précisément N cm selon cette règle, et un autre objet mesurant N-1 cm avec cette règle.
Cet autre objet est mesuré avec une précision très proche du premier puisque N-1 et N sont très grands.
Donc l'écart de distance entre les deux sera très proche de 1 cm. C'est absurde, puisque cet écart correspond à 1 graduation et chaque graduation à une imprécision comprise aléatoirement entre -20% et +20%.
J'ai fait une erreur de raisonnement idiote, mais j'aimerais bien savoir laquelle.

Merci.


PS : peut-être pourrait-on espérer dépasser la précision de nos meilleurs instruments de mesures avec une telle règle ?
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[Gwinver]

Bonsoir.

Si N est très grand, l'erreur de mesure est +/- 20% d'un centimètre relativement à un très grand nombre de cm. Avec, par exemple, 10000 cm réels, la précision est de +/- 20% d'un cm, soit +/- 0.2 cm sur 10000, soit 2/100000.
Mais, la différence faisant un cm, l'erreur relative est forte.

[oxycryo]

ce qui me parait étrange avec ton raisonnement, c'est que si les erreurs sont équiprobables, alors in-fine ta règle de mesure n'aura pas d'erreur, puisque les erreurs se compensent toute équiprobalement sur un très grand nombre de division. elle devrait paradoxalement tomber juste (au bout de la fin )

mais pour la partie avec les deux règles, j'avoue ne rien capter à ce qui te poses problème

[Verdurin]

Bonsoir,
si je comprend bien tu imagines une règle telle que la distance entre deux graduations suit une loi uniforme sur l'intervalle [0,8 ; 1,2] en cm. Et la distance entre deux graduations consécutives est indépendante des distances entre les autres paires de graduations consécutives.
Dans ce cas la distance entre les graduations N et N-1 ne dépend pas de N.

On ne peut appliquer la loi des grands nombres que si on considère la distance entre deux graduations assez éloignées.
Ici N peut être considéré comme grand à partir de 10 et on peut dire que la distance entre les graduations 0 et N suit une loi normale de moyenne N et de variance 0,4²*N/12.

[A voir en vidéo sur Futura]

[vgondr98]

Donc l'écart de distance entre les deux sera très proche de 1 cm. C'est absurde, puisque cet écart correspond à 1 graduation et chaque graduation à une imprécision comprise aléatoirement entre -20% et +20%.
J'ai fait une erreur de raisonnement idiote, mais j'aimerais bien savoir laquelle.

En quoi c'est absurde ? Tu utilises la même règle donc il est normal que l'écart entre ces deux objets fassent entre 0.8 cm et 1.2 cm quand mesuré avec cette règle.

Si tu construis une seconde règle avec les mêmes principes et que tu mesures ton second objet avec alors l'écart mesuré sera très différent de 1 cm.

[Gwinver]

Bonsoir.

Cela dit, il ne s'agit que d'une situation associée à une certaine probabilité.
L'erreur de +/- 20% est associée à une certaine distribution, il existe une probabilité non nulle que tous les "cm" soient à -20% ou à +20%.
En moyenne, la règle est précise avec N grand, mais ce n'est qu'une moyenne dotée d'une certaine probabilité.

[Juzo]

mais pour la partie avec les deux règles, j'avoue ne rien capter à ce qui te poses problème

C'est sur la même règle : si un premier objet mesure N-1 graduations avec N très très grand, et un autre objet mesure N graduations, et que ces mesures sont très précises, il faut quand même que la précision de l'écart entre les deux mesures très précises suive une loi de probabilité uniforme entre -0,2 cm et +0,2 cm, puisqu'il s'agit d'un écart entre 2 graduations de la règle ! Et je ne sais pas comment on retrouve cette loi uniforme.

si je comprend bien tu imagines une règle telle que la distance entre deux graduations suit une loi uniforme sur l'intervalle [0,8 ; 1,2] en cm. Et la distance entre deux graduations consécutives est indépendante des distances entre les autres paires de graduations consécutives.
Dans ce cas la distance entre les graduations N et N-1 ne dépend pas de N.

On ne peut appliquer la loi des grands nombres que si on considère la distance entre deux graduations assez éloignées.
Ici N peut être considéré comme grand à partir de 10 et on peut dire que la distance entre les graduations 0 et N suit une loi normale de moyenne N et de variance 0,42*N/12.

C'est exactement la situation. Est-ce normal que plus N est grand, plus la variance est grande malgré la loi des grands nombres ? Et comment passe-t-on d'une distribution normale de l'erreur sur chaque mesure à une distribution uniforme sur l'écart de ces mesures ? Je crois qu'il faut prendre en compte que les erreurs sur ces deux mesures ne sont pas indépendantes. Merci.

Cela dit, il ne s'agit que d'une situation associée à une certaine probabilité.
L'erreur de +/- 20% est associée à une certaine distribution, il existe une probabilité non nulle que tous les "cm" soient à -20% ou à +20%.
En moyenne, la règle est précise avec N grand, mais ce n'est qu'une moyenne dotée d'une certaine probabilité.

Tout à fait, ça reste une probabilité, mais très très proche de 1. C'est pour cela que j'ai dit "plus la précision de la mesure aura de probabilité d'être grande".

En quoi c'est absurde ? Tu utilises la même règle donc il est normal que l'écart entre ces deux objets fassent entre 0.8 cm et 1.2 cm quand mesuré avec cette règle.

Cet écart n'a pas à être plus proche de 1 que les autres, puisqu'il s'agit d'un écart entre 2 graduations qui par définition est situé uniformément entre 0,8 et 1,2 cm, non ?

[Juzo]

Sauf erreur, comme le disait Gwinver l'erreur relative diminue mais par l'erreur absolue. De plus comme les deux mesures sont corrélées (il s'agit de la même règle) les erreurs absolues sur les deux mesures sont proches.
Ce que je ne comprends toujours pas c'est comment on passe d'une distribution normale de l'erreur sur chaque mesure (à priori) à une distribution uniforme de l'erreur sur l'écart entre les deux mesures.
Merci

[Verdurin]

Bonjour,

Ce que je ne comprends toujours pas c'est comment on passe d'une distribution normale de l'erreur sur chaque mesure (à priori) à une distribution uniforme de l'erreur sur l'écart entre les deux mesures.

Ce qui se produit c'est que l'on passe d'une distribution uniforme entre deux graduations consécutives à une loi (presque) normale entre deux graduations suffisamment éloignées. C'est une application du théorème central limite.

Les probabilités d'écart entre la moyenne théorique et la valeur observée sont proportionnelles à l'écart-type dans le cas d'une loi normale ici, et c'est le cas général, l'écart-type est proportionnel à la racine carré du nombre de graduations.
Ce qui justifie que l'on gagne en précision relative même si on perd en précision absolue.
Pour donner un exemple numérique :
— La distance entre les graduations 0 et 300 suit une loi normale de moyenne 300cm et d'écart-type 0,4*racine(300/12) soit 2cm. On peut dire que dans 99,7% des cas cette distance est entre 294cm et 306cm. On a une erreur absolue de 6cm et une erreur relative de 2%.
— La distance entre les graduations 0 et 1200 suit une loi normale de moyenne 1200cm et d'écart-type 0,4*racine(1200/12) soit 4cm. On peut dire que dans 99,7% des cas cette distance est entre 1188cm et 1212cm. On a une erreur absolue de 12cm et une erreur relative de 1%.
On remarque qu’en multipliant par 4 le nombre de graduations on a multiplié par 2 l'erreur absolue et divisé par 2 l'erreur relative.

[Flyingbike]

J"ai du mal à comprendre l'intérêt.
Est-ce que tout instrument de mesure gradué (longueur, masse, volume....) ne peut pas s'assimiler à une succession de valeurs unitaires " avec une imprécision située aléatoirement entre -X% et +X% (et en suivant une loi uniforme (le probabilité du pourcentage d'erreur est constante entre -X% et +X%)" ?

[Verdurin]

L’intérêt de la question est sans doute assez faible.
Mais il me semble que

Est-ce que tout instrument de mesure gradué (longueur, masse, volume....) ne peut pas s'assimiler à une succession de valeurs unitaires " avec une imprécision située aléatoirement entre -X% et +X% (et en suivant une loi uniforme (le probabilité du pourcentage d'erreur est constante entre -X% et +X%)" ?

est une idée fausse. Si je veux mesurer dix mètres je ne vais pas répéter dix-mille mesures d'un millimètre.

[Juzo]

Ce qui se produit c'est que l'on passe d'une distribution uniforme entre deux graduations consécutives à une loi (presque) normale entre deux graduations suffisamment éloignées. C'est une application du théorème central limite.

Les probabilités d'écart entre la moyenne théorique et la valeur observée sont proportionnelles à l'écart-type dans le cas d'une loi normale ici, et c'est le cas général, l'écart-type est proportionnel à la racine carré du nombre de graduations.
Ce qui justifie que l'on gagne en précision relative même si on perd en précision absolue.

Pour donner un exemple numérique :
— La distance entre les graduations 0 et 300 suit une loi normale de moyenne 300cm et d'écart-type 0,4*racine(300/12) soit 2cm. On peut dire que dans 99,7% des cas cette distance est entre 294cm et 306cm. On a une erreur absolue de 6cm et une erreur relative de 2%.
— La distance entre les graduations 0 et 1200 suit une loi normale de moyenne 1200cm et d'écart-type 0,4*racine(1200/12) soit 4cm. On peut dire que dans 99,7% des cas cette distance est entre 1188cm et 1212cm. On a une erreur absolue de 12cm et une erreur relative de 1%.
On remarque qu’en multipliant par 4 le nombre de graduations on a multiplié par 2 l'erreur absolue et divisé par 2 l'erreur relative.

Merci pour ces explications, je vais prendre le temps de les comprendre mieux. Ça n'a pas beaucoup d'intérêt en effet car ce sont des maths classiques.
Dans mes premiers messages je n'ai pas pris en compte ceci : les erreurs sur les mesures de N-1 cm et N cm, même si elles suivent une loi normale, sont corrélées car il s'agit de la même règle, donc il n'est pas forcément étonnant que leur différence suive une loi uniforme entre 0,8 cm et 1,2 cm.
J'aurais aimé pouvoir le retrouver à la main mais comme j'avoue que je n'ai pas trop le temps, je ne vais pas vous embêter plus avec ça.

Est-ce que tout instrument de mesure gradué (longueur, masse, volume....) ne peut pas s'assimiler à une succession de valeurs unitaires " avec une imprécision située aléatoirement entre -X% et +X% (et en suivant une loi uniforme (le probabilité du pourcentage d'erreur est constante entre -X% et +X%)" ?

En tout cas pour un instrument de mesure qui a une erreur aléatoire sur chaque écart de graduation, il n'est pas courant de dire que plus l'objet mesuré est grand, plus l'erreur relative de la mesure a de probabilité d'être basse. Donc on n'a pas là le comportement de tout instrument gradué il me semble (mais peut-être que oui ?).

est une idée fausse. Si je veux mesurer dix mètres je ne vais pas répéter dix-mille mesures d'un millimètre.

Pourtant pour mesurer un objet de 10m on mesure un "petit bout" qui correspond à un écart de 1 mm, puis le petit bout suivant qui correspond à un écart de 1mm, etc., jusqu'à la fin.
On peut affirmer d'après la règle que chaque petit bout mesure 1 mm, ce qui fait 10 000 mesures de 1 mm, non ? Merci

[Juzo]

Pourtant pour mesurer un objet de 10m on mesure un "petit bout" qui correspond à un écart de 1 mm, puis le petit bout suivant qui correspond à un écart de 1mm, etc., jusqu'à la fin.
On peut affirmer d'après la règle que chaque petit bout mesure 1 mm, ce qui fait 10 000 mesures de 1 mm, non ? Merci

Erratum : le petit morceau d'après est déterminé par la limite du morceau d'avant donc c'est pour cela que la mesure de la règle ne se comporte pas comme une somme de mesures de 1 cm (ou 1 mm), c'est bien cela ? Merci

[Flyingbike]

Erratum : le petit morceau d'après est déterminé par la limite du morceau d'avant donc c'est pour cela que la mesure de la règle ne se comporte pas comme une somme de mesures de 1 cm (ou 1 mm), c'est bien cela ? Merci

moui, en effet. Mais encore ça dépend de la construction de l'outil de mesure.

[Verdurin]

Une première remarque :
je n'ai jamais dit « Pourtant pour mesurer un objet de 10m on mesure un "petit bout" qui correspond à un écart de 1 mm, puis le petit bout suivant qui correspond à un écart de 1mm, etc., jusqu'à la fin.
On peut affirmer d'après la règle que chaque petit bout mesure 1 mm, ce qui fait 10 000 mesures de 1 mm, non ? Merci ».
Il s'agit d'une fausse citation, c'est Juzo qui a dit ça, pas moi.

Ensuite, dans la question de départ, on ne part pas d'une loi normale mais d'une somme de lois uniformes. Et cette somme est rapidement approximée avec une bonne précision par une loi normale.
Pour la suite je ne connais guère la métrologie mais je serais extrêmement surpris que quiconque construise une règle d'un mètre en mettant à la suite cent centimètres.

Honnêtement je me demande dans quel monde vivent Juzo et Flyingbike.

[Juzo]

Il s'agit d'une fausse citation, c'est Juzo qui a dit ça, pas moi.

Je me suis juste trompé en mettant votre nom au lieu du mien dans la balise de citation., si j'ai écrit Erratum c'est justement pour corriger le message que j'avais écrit quelques minutes avant...
Je m'étais donc rangé à votre avis il me semble.

Pour la suite je ne connais guère la métrologie mais je serais extrêmement surpris que quiconque construise une règle d'un mètre en mettant à la suite cent centimètres.

Peut-être, mais c'est possible en tout cas, ce qui autorise de l'envisager.

Merci pour vos réponses.