Les boites secrètes.

[papy-alain]

Bonjour.
Nous sommes au moyen-âge et le seigneur des lieux vient de condamner quatre prisonniers à mort (nommons les A,B,C et D)
Magnanime, il décide cependant de leur laisser une chance de sauver leur vie.
Il place une boite devant chacun d'eux, et leur annonce qu'ils auront la vie sauve s'ils devinent la couleur de la bille se trouvant dans leur boite. Personne, évidemment, ne peut ouvrir sa propre boite. Au total, les boites contiennent deux billes noires et deux billes blanches. Il donne à A l'autorisation de voir le contenu des boites de B et de C, et B peut également voir la bille de C.
C et D ne peuvent ouvrir aucune boite. Chaque prisonnier doit annoncer clairement la couleur de sa bille et sera immédiatement exécuté en cas d'erreur.
Qui est CERTAIN de sauver sa peau dans tous les cas de figure ?
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[polo974]

Le seigneur des lieux...

[grosboul]

Bonjour,
Si on part du principe que chacun s'exprime dès qu'il est sûr du coup, alors B et C échappent à la condamnation dans tous les cas de figure, juste après A si A s'exprime rapidement, ou B en premier et C en deuxième si A ne s'est pas exprimé après une petite poignée de secondes.

Chaque prisonnier doit annoncer clairement la couleur de sa bille

Les conditions de "doit" méritent d'être précisées, afin que l'expression de A puissent être interprétée par B soit comme le résultat de ce qui a été vu, soit comme la mise en oeuvre de cette obligation d'expression.

[papy-alain]

Bien vu, Grosboul. Bravo.

[A voir en vidéo sur Futura]

[grosboul]

Les conditions de "doit" méritent d'être précisées

Mais à propos de cette demande de précision, quid ?

[papy-alain]

Mais à propos de cette demande de précision, quid ?

Pour avoir la vie sauve, il faut exprimer son choix à haute et intelligible voix.

[grosboul]

Oui, pour ça, ok.
Ma question porte sur autre chose.
Comment B peut-il savoir que A s'exprime de façon non aléatoire ?
Si A voit en B et en C deux boules de couleur différente, il sait qu'il n'a et n'aura d'aucune façon l'information concernant sa propre boule. A partir de là, il ne lui reste plus qu'à exprimer une couleur au hasard, puisqu'il a l'obligation de s'exprimer pour avoir la vie sauve, et qu'une chance sur deux vaut mieux que pas de chance du tout, et rien ne l'incitant à attendre, il peut ainsi faire dès qu'il a vu les boules B et C.
B n'a alors de la part de A aucune info lui assurant que A a la solution certaine, et ne peut tirer de conclusion concernant sa propre boule.

[grosboul]

Ah, j'avais shunté le principal

sera immédiatement exécuté en cas d'erreur.

L'info sur la boule de A est dans les mains du bourreau, B n'a plus de doute immédiatement ainsi, bien sûr.
Bien vu, tu as dévoilé l'âne qui vagabonde en moi.

[Juzo]

Bonjour,

D aussi est sauvé à coup sûr, puisqu'il a l'information sur les couleurs des 3 autres boules, je ne crois pas que ça a été dit sauf erreur.

Par ailleurs si on enlève le temps d'hésitation qui est un peu artificiel en effet, B n'est pas sûr d'être sauvé à tous les coups. Par exemple si A annonce "Blanc" et qu'il est sauvé, et que B une boule noire dans la boîte de C, il y a 2 cas de figures possibles : soit A a vu "Noir, Noir" soit il a vu "Blanc, Noir" et a répondu au hasard mais il a eu de la chance. (question annexe : est-ce que c'est bien le 1er cas qui est le plus probable du point de vue de B ?)

Pour éviter ce problème les prisonniers pourraient décider d'une convention : en cas de doute de A sur sa couleur (B et C de couleurs différentes), A annonce toujours la couleur de C.
Ainsi B, C et D sont sauvés à coup sûr, A a 3 chances sur 4 de s'en sortir.

[papy-alain]

Ce n'est pas dans l'énoncé initial, mais on suppose qu'en cas de doute, on se tait. Donc, si B et C sont de couleurs opposées, A ne dira rien.

[Juzo]

Ce n'est pas dans l'énoncé initial, mais on suppose qu'en cas de doute, on se tait. Donc, si B et C sont de couleurs opposées, A ne dira rien.

A doit bien annoncer une couleur pour avoir moins de chances d'être exécuté, non ? Est-ce qu'ils doivent bien annoncer une couleur dans l'ordre, A puis B puis C puis D ? Sinon A et D auraient tous les deux intérêt à attendre que l'autre tente sa chance en premier.

[papy-alain]

A doit bien annoncer une couleur pour avoir moins de chances d'être exécuté, non ? Est-ce qu'ils doivent bien annoncer une couleur dans l'ordre, A puis B puis C puis D ? Sinon A et D auraient tous les deux intérêt à attendre que l'autre tente sa chance en premier.

En cas de doute, on ne dit rien et on attend que les autres parlent. Si plus personne ne dit rien, alors tant pis, on se jette à l'eau.

[Juzo]

En cas de doute, on ne dit rien et on attend que les autres parlent. Si plus personne ne dit rien, alors tant pis, on se jette à l'eau.

Sachant que le dernier qui parle sauve sa peau, ça peut durer longtemps.

[vgondr98]

Je me lance :

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Si B et C ont une boule blanche alors A sait qu'il a une boule noir, donc il le dit, donc les autres savent la couleur de leur boule donc tout le monde est sauvé. (pareil pour l'autre couleur)
Si B et C ont une boule de couleur différente alors A ne connait pas la couleur de sa boule donc il se tait.
B interprète cela comme le fait que B et C n'ont pas la même couleur de boule donc il peut déduire la couleur de sa boule en regardant celle de C donc si C a une boule noir alors B dit blanc donc B est sauvé.
C peut aussi déduire la couleur de sa boule donc C est sauvé.
Pour ce qui est A et D, ils ne peuvent pas savoir avec certitude la couleur de leur boule donc ils font vœux de mutisme et ils sont sauvés

[papy-alain]

C'est le bon raisonnement sauf la dernière conclusion : A et D ne sont pas sauvés (disons qu'ils ont une chance sur deux)

[grosboul]

A et D ne sont pas sauvés (disons qu'ils ont une chance sur deux)

C'est pas 87.5 %, soit 7 chances sur 8 ?

[Juzo]

C'est pas 87.5 %, soit 7 chances sur 8 ?

1 chances sur 8 de ne pas s'en sortir pour A ou B c'est si B et C n'ont pas la même couleur (1/2), que l'autre restant refuse de parler avant (x 1/2 *) et qu'enfin celui qui choisit au hasard se trompe (x 1/2)

*Mais je ne pense pas qu'on peut considérer que chacun parmi A et D a 1 chance sur 2 de parler avant l'autre. Je trouve que c'est plutôt bloqué avec cette règle, sauf erreur.

[vgondr98]

C'est le bon raisonnement sauf la dernière conclusion : A et D ne sont pas sauvés (disons qu'ils ont une chance sur deux)

Je faisais une blague sur le fait qu'il n'y a pas de temps imposé dans la phrase "Chaque prisonnier doit annoncer clairement la couleur de sa bille et sera immédiatement exécuté en cas d'erreur."
S'ils ont une heure pour annoncer la couleur de leur bille, alors il faudra qu'un des deux craque et donne une couleur au hasard. Si c'est D qui craque alors A est sauvé (car soit D est sauvé soit D est tué, ce qui permet à A de connaitre la couleur de sa bille).