Deux feuilles se coupant transversallement en un point en 4D.

[Anonyme007]

Bonsoir,

Comment imagine-t-on cérébralement, deux feuilles 2D se coupant ''transversalement'' en un point ( point double ) dans 4D ? Et que veut dire ''transversalement'' dans ce cas ?

Merci d'avance.
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[bibifikotin]

Bonjour,
Faudrait déjà "définir" ce que l'on entend par "traversalement" ? ( Quel "travers"?)
Un petit croquis pourrait aider !
Ensuite on pourrait éventuellement épiloguer.
Cordialement


"traversalement

[polo974]

Bon, commençons en dimension N et voyons le cas particulier où N est égal à 4...

Ouais, mais non, on va partir de N=3 et étendre (c'est plus facile pour comprendre, mais aussi plus limitant comme démarche...)

je prend le plan z=0 (x quelconque, y quelconque, et la droite (x=0,y=0) (z quelconque), la droite coupe transversalement le plan au point x=0,y=0,z=0 (telle une flèche plantée perpendiculairement dans une planche) Les x,y et z sont imposés par les 2 contraintes précédentes (du plan pour z et de la droite pour x et y).

Passons à N=4
nouvelle dimension aa (ben oui, après z, je reboucle sur a en ajoutant une lettre... mais ça, on s'en fout un peu, du moment qu'on donne un nom pour s'y retrouver)

pour garder mon plan initial, il faut que j'ajoute la contrainte sur la nouvelle dimension (z=0,aa=0)
ma droite initiale, elle gagne (parce que je le veux bien) une nouvelle dimension aa que je laisse libre (quelconque), donc devient aussi un plan.

j'ai donc maintenant un plan (z=0,aa=0) (x et y quelconques) et un autre plan (x=0,y=0) (z et aa quelconques).
ces plans se traversent mutuellement en (x=0,y=0,z=0,aa=0). dit autrement, c'est le seul point commun aux 2 plans,

bon, pour simplifier, j'ai pris des plans et droites très particulières, mais ça marche pour plein d'autres plans et droites, du moment qu'elles ne soient pas trop particulières. Les plans en N=4 peuvent être:

• se couper transversalement en 1 point, cas le plus général (si on peut dire),
• se couper sur une droite, (par exemple si j'avais pris au départ la droite (x=0,z=0) au lieu de la droite (x=0,y=0)),
• parallèles entre eux, donc 0 intersection, (par exemple les plans (x=0,aa=0) et (x=0, aa=1)),
• coplanaires, donc tous les points communs, (pas besoin d'exemple...),
• j'espère ne pas en avoir oublier...

Bon, revenons à la première proposition: Bon, commençons en dimension N et voyons le cas particulier où N est égal à 4...
À vos crayons...

[Anonyme007]

Bonjour,

Merci beaucoup polo974 pour ton aide. J'ai beaucoup aimé ta démarche surtout le passage suivant, qui résume tout :

Passons à N=4

pour garder mon plan initial, il faut que j'ajoute la contrainte sur la nouvelle dimension (z=0,aa=0)
ma droite initiale, elle gagne (parce que je le veux bien) une nouvelle dimension aa que je laisse libre (quelconque), donc devient aussi un plan.

j'ai donc maintenant un plan (z=0,aa=0) (x et y quelconques) et un autre plan (x=0,y=0) (z et aa quelconques).
ces plans se traversent mutuellement en (x=0,y=0,z=0,aa=0). dit autrement, c'est le seul point commun aux 2 plans,

Que signifie ''transversalement'' dans ce contexte de coupure de deux plans en un unique point double en 4D ? Est ce qu'elle signifie que les tangences des deux feuilles en ce point de coupure ne sont pas confondues ?
La notion de transversalité dont je parle relève de la théorie de l'intersection et de la géométrie énumérative en mathématiques. Je ne sais pas si tu en as entendu parler.
Pour N > 4, je ne sais pas faire, c'est trop difficile à mon avis.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Anonyme007]

Merci à toi aussi bibifikotin pour ta réponse.

[polo974]

Bonjour,

Merci beaucoup polo974 pour ton aide. J'ai beaucoup aimé ta démarche surtout le passage suivant, qui résume tout :

Merci,
mais comme dirait sans doute Mediat, c'est une vue de technicien que j'ai exposé, le mathématicien (que je ne suis pas) aurait pris la première méthode proposée.
il est assez dur de se faire une représentation visuelle d'espaces supérieurs à 3 dimensions, et en fait s'y accrocher peut être limitant...

Que signifie ''transversalement'' dans ce contexte de coupure de deux plans en un unique point double en 4D ? Est ce qu'elle signifie que les tangences des deux feuilles en ce point de coupure ne sont pas confondues ?
La notion de transversalité dont je parle relève de la théorie de l'intersection et de la géométrie énumérative en mathématiques. Je ne sais pas si tu en as entendu parler.

En fait, j'ai trop simplifié en ne prenant que des plans, tes "feuilles" doivent pouvoir être courbes (et peut-être développables ? pour mériter le nom de feuilles ? ).
Si courbure il y a, possibilité de tangence en une ligne (ou un point) également, donc, là, voir un vrai mathématicien pour ce qui est de la transversalité (que j'ai peut-être vu en cours, mais ça fait trop longtemps)...
Bon, un petit tour sur les wikipedia, et hop (https://en.wikipedia.org/wiki/Transversality traduit par google):

Deux sous-variétés d'une variété lisse de dimension finie donnée sont dites s'intersecter transversalement si, en chaque point d'intersection, leurs espaces tangents respectifs en ce point génèrent ensemble l'espace tangent de la variété ambiante en ce point.

donc si je comprends bien, dit à la sauce technicien: si les dimensions présentes dans les différentes tangentes en chaque point de l'intersection permettent de reconstruire l'espace de base (local), alors il y a transversalité. Bref, sauf erreur de ma part, s'il y a en un point une tangence, il y a perte d'une (au moins) dimension locale et donc perte de la transversalité
(attention, ici, on est dans le cas d'intersection, il peut y avoir transversalité sans intersection (ou plus exactement intersection vide)... (je découvre en lisant le wiki...))

Pour N > 4, je ne sais pas faire, c'est trop difficile à mon avis.

Cordialement.

Pour ce concept de transversalité, sans considérer aucun résultat pouvant en découler, ce n'est pas trop compliqué à imaginer. Par contre, il doit exister des propriétés pour des N faibles qui "disparaissent" quand on augmente N...

En dimension 6, les feuilles doivent être remplacées ( par exemple ? ) par des volumes (3 + 3 = 6) ( ? ou une feuille et un hyper-volume de dimension 4 (2 + 4 = 6) ou ...).

Pour N = 50 ou 100 milliards, voir coté des maths utilisés en IA...