Devinette mathématique

[ThM55]

Bonjour. Pas tous les jours sérieux tout de même.

Une infinité de mathématiciens entre dans un bar. Il n'ont d'argent que pour 2 bières. Le premier demande une bière. Comment vont faire les autres pour que chacun puisse boire?
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[Gwinver]

Le deuxième prend une demie bière (la moitié e ce qui reste), le troisième la moitié de ce qui reste, et ainsi de suite.
Mais celà s'arrêtera à la dernière combinaison de molécules composant une bière.

[antek]

Si le premier n'avait pas été égoïste, il y aurait eu de la bière pour [(2 x infini) - 1] mathématiciens.
Et d'ailleurs, sont-ce vraiment des mathématiciens, à poser des questions pareilles ?

[polo974]

Ils commandent chacun leur bière et "oublient" de payer (délit de filouterie ou grivèlerie)...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Ikhar84]

C'est des homéomathématiciens ?

[ThM55]

Si on admet l'existence d'une infinité de mathématicien dans un bar, on peut tout admettre. J'ai averti que je n'étais pas sérieux.

[WizardOfLinn]

A vrai dire, avec la méthode de Banach-Tarski, il suffit de payer une seule bière : cette bière peut être divisée en un nombre fini de parties qui peuvent être réassemblées pour former deux bières.
Le premier mathématicien duplique sa bière, en boit une, et passe l'autre à son voisin, qui recommence.

Ref:
https://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxe_de_Banach-Tarski

[stefjm]

Si on admet l'existence d'une infinité de mathématicien dans un bar, on peut tout admettre. J'ai averti que je n'étais pas sérieux.

Infinité dénombrable ou indénombrable?

[ThM55]

Infinité dénombrable ou indénombrable?

Haha! bonne question. On pourrait poser la même question au sujet de l'hôtel de Hilbert, mais il est entendu, je crois, qu'il s'agit d'infinités dénombrables. L'hôtel de Hilbert est un hôtel à un nombre infini de chambres et il est complet. Si un voyageur arrive, on peut tout de même lui donner une chambre: il suffit de demander à l'occupant de la chambre 1 de prendre la chambre 2, celui de la chambre 2 de prendre la chambre 3, etc. Tout le monde conserve une chambre, personne n'est dehors et on a libéré la chambre 1 pour le nouvel arrivant. Il est clair qu'on est dans un cas dénombrable. Avec un hôtel complet ayant un nombre non dénombrable de chambres et un seul voyageur, a fortiori c'est tout aussi facile puisqu'il contient un sous-ensemble dénombrable.

De même pour les variantes de l'hôtel de Hilbert:
1) un autocar rempli d'une infinité (dénombrable) de voyageurs arrive. Comment leur attribuer une chambre à chacun?
2) encore plus fort: une infinité d'autocars, chacun étant occupé par une infinité de voyageurs.

Dans ces variantes, on trouve toujours un procédé pour satisfaire tout le monde. Mais je ne sais pas si Hilbert a envisagé des variantes non dénombrables. Je ne crois pas, je pense que son but était juste d'illustrer une propriété des ensembles infinis que ne possèdent pas les ensembles finis: l'existence d'une bijection de l'ensemble avec un sous-ensemble propre.

[stefjm]

Raymond Smullyan a pas mal démocratisé la logique et les infinis.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Raymond_Smullyan