Devinette mathématique

[ThM55]

Bonjour. Pas tous les jours sérieux tout de même.

Une infinité de mathématiciens entre dans un bar. Il n'ont d'argent que pour 2 bières. Le premier demande une bière. Comment vont faire les autres pour que chacun puisse boire?
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[Gwinver]

Le deuxième prend une demie bière (la moitié e ce qui reste), le troisième la moitié de ce qui reste, et ainsi de suite.
Mais celà s'arrêtera à la dernière combinaison de molécules composant une bière.

[antek]

Si le premier n'avait pas été égoïste, il y aurait eu de la bière pour [(2 x infini) - 1] mathématiciens.
Et d'ailleurs, sont-ce vraiment des mathématiciens, à poser des questions pareilles ?

[polo974]

Ils commandent chacun leur bière et "oublient" de payer (délit de filouterie ou grivèlerie)...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Ikhar84]

C'est des homéomathématiciens ?

[ThM55]

Si on admet l'existence d'une infinité de mathématicien dans un bar, on peut tout admettre. J'ai averti que je n'étais pas sérieux.

[WizardOfLinn]

A vrai dire, avec la méthode de Banach-Tarski, il suffit de payer une seule bière : cette bière peut être divisée en un nombre fini de parties qui peuvent être réassemblées pour former deux bières.
Le premier mathématicien duplique sa bière, en boit une, et passe l'autre à son voisin, qui recommence.

Ref:
https://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxe_de_Banach-Tarski

[stefjm]

Si on admet l'existence d'une infinité de mathématicien dans un bar, on peut tout admettre. J'ai averti que je n'étais pas sérieux.

Infinité dénombrable ou indénombrable?

[ThM55]

Infinité dénombrable ou indénombrable?

Haha! bonne question. On pourrait poser la même question au sujet de l'hôtel de Hilbert, mais il est entendu, je crois, qu'il s'agit d'infinités dénombrables. L'hôtel de Hilbert est un hôtel à un nombre infini de chambres et il est complet. Si un voyageur arrive, on peut tout de même lui donner une chambre: il suffit de demander à l'occupant de la chambre 1 de prendre la chambre 2, celui de la chambre 2 de prendre la chambre 3, etc. Tout le monde conserve une chambre, personne n'est dehors et on a libéré la chambre 1 pour le nouvel arrivant. Il est clair qu'on est dans un cas dénombrable. Avec un hôtel complet ayant un nombre non dénombrable de chambres et un seul voyageur, a fortiori c'est tout aussi facile puisqu'il contient un sous-ensemble dénombrable.

De même pour les variantes de l'hôtel de Hilbert:
1) un autocar rempli d'une infinité (dénombrable) de voyageurs arrive. Comment leur attribuer une chambre à chacun?
2) encore plus fort: une infinité d'autocars, chacun étant occupé par une infinité de voyageurs.

Dans ces variantes, on trouve toujours un procédé pour satisfaire tout le monde. Mais je ne sais pas si Hilbert a envisagé des variantes non dénombrables. Je ne crois pas, je pense que son but était juste d'illustrer une propriété des ensembles infinis que ne possèdent pas les ensembles finis: l'existence d'une bijection de l'ensemble avec un sous-ensemble propre.

[stefjm]

Raymond Smullyan a pas mal démocratisé la logique et les infinis.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Raymond_Smullyan

[HelioTopo]

A vrai dire, avec la méthode de Banach-Tarski, il suffit de payer une seule bière : cette bière peut être divisée en un nombre fini de parties qui peuvent être réassemblées pour former deux bières.
Le premier mathématicien duplique sa bière, en boit une, et passe l'autre à son voisin, qui recommence.

Ref: https://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxe_de_Banach-Tarski-ici

Ou alors on applique Banach–Tarski… mais le barman n’accepte pas les décompositions non mesurables. Du coup, retour à la bonne vieille série géométrique : ça, au moins, passe à la caisse.

[MissJenny]

Les mathématiciens commandent une bière l'un après l'autre et chacun dit "c'est le dernier qui paiera". Mais il suffirait d'avoir de l'argent pour zéro bière...

[amineyasmine]

Bonjour
Ils sont une infinité
Le premier commande et dit à la serveuse c’est mon ami derrière qui paie.
Le deuxième commande une autre et répète la même phrase.
La serveuse va continuer ainsi à l’infini et une foi elle arrive au denier de l’infini elle reviendra au premier pour lui dire qu’elle n’a pas été payé et qu’elle va porter plainte ?

[Garion]

De même pour les variantes de l'hôtel de Hilbert:
1) un autocar rempli d'une infinité (dénombrable) de voyageurs arrive. Comment leur attribuer une chambre à chacun?

Ca, je me souviens, il suffit de dire au pensionnaire d'aller dans la chambre du double de leur numéro, et il reste toutes les chambres impaires, soit suffisamment pour l'autocar infini.

2) encore plus fort: une infinité d'autocars, chacun étant occupé par une infinité de voyageurs.
Dans ces variantes, on trouve toujours un procédé pour satisfaire tout le monde. Mais je ne sais pas si Hilbert a envisagé des variantes non dénombrables. Je ne crois pas, je pense que son but était juste d'illustrer une propriété des ensembles infinis que ne possèdent pas les ensembles finis: l'existence d'une bijection de l'ensemble avec un sous-ensemble propre.

Ah ben là, ma mémoire me faut défaut, pour moi, l'infinité de bus, c'est comme arriver dans le non dénombrable (une infinité de nombre entre deux entiers). Et pour moi, ce n'est plus possible.
Si j'ai tord, vous pouvez m'expliquer pourquoi .?

[JPL]

Si j'ai tord, vous pouvez m'expliquer pourquoi .?

Parce que c’est : Si j'ai tort, vous pouvez m'expliquer pourquoi ?

C’est tordu non ?

[stefjm]

Pourtant, c'est facile à retenir parce que le tortue.

[stefjm]

Ah ben là, ma mémoire me faut défaut, pour moi, l'infinité de bus, c'est comme arriver dans le non dénombrable (une infinité de nombre entre deux entiers). Et pour moi, ce n'est plus possible.
Si j'ai tord, vous pouvez m'expliquer pourquoi .?

Non, car tout est dénombrable, le nombre de bus et le nombre de voyageurs. Il suffit de faire un tableau 2D (n.D).


https://www.bibmath.net/dico/index.p...elhilbert.html

[Garion]

Ok merci, j'ai étudié ça il y a 35 ans, et j'avoue que j'ai beaucoup oublié.

[Juzo]

Bonjour,

Est-ce qu'on pourrait tenir le raisonnement "inverse" et se demander si l'hôtel de Hilbert pourrait ne pas désemplir quand des clients le quittent ?

- Si un client mécontent s'en va, il suffit que tous les clients des chambres de numéros supérieurs descendent d'un numéro de chambre pour combler la chambre vide.

- Si un groupe infini de clients mécontents s'en va, on se dit qu'il est possible que l'hôtel reste plein, puisqu'il était plein avant qu'un bus infini n'arrive... Mais ce groupe doit respecter certaines conditions, si la totalité des clients s'en vont par exemple, l'hôtel sera complètement vide. Proposition : la condition nécessaire et suffisante est que dans le groupe infini de mécontents il n'y ait pas tous les clients de l'hôtel à partir d'un certain numéro de chambre.

- Si une infinité de groupes infinis de mécontents s'en vont, là encore il devrait être possible que l'hôtel reste plein si et seulement si la réunion de tous ces groupes de contient pas tous les clients à partir d'un certain rang...

Est-ce que ces hypothèses sont correctes ?
Est-ce qu'on peut en tirer des conclusions sur des cardinaux d'ensembles ?
Et comment définir rigoureusement la manière dont on re-remplit l'hôtel si les numéros de chambres du groupe infini de mécontents sont aléatoires par exemple ?

Bonne soirée