Equation thermique d'un câble électrique

[Philou67]

Bonjour,

Dans le but de mettre en place une protection thermique logicielle dans un équipement de distribution d'électricité, un algorithme de "trip" a été établi sur la base du calcul de la mémoire thermique des câbles de l'équipement.

Je suis en charge de vérifier le calcul qu'une personne avant moi (compétente dans ce domaine, à priori) a réalisé.
Il se trouve que lors de la vérification, j'aboutis à une erreur dans le déroulement des calculs. Ne connaissant pas du tout l'origine de la formule utilisée, j'en viens à supposer qu'elle contient une erreur (de frappe, probablement).

La formule d'origine que j'ai vérifiée est nommée "recursive cable thermal equation" et s'écrit :



et je suppose qu'elle aurait plutôt dû s'écrire :


Ou :
est la température du câble à l'instant t
est l'intensité du câble à l'instant t
est une constante dépendant des caractéristiques du câble (chaleur spécifique, résistance, poids)
est et
est la constante de temps thermique du câble

Si vous pouviez m'éclairer, je suis perdu, et mes recherches sur le net n'ont rien données (je n'ai aucune compétence dans le domaine électrique, je suis seulement informaticien) ?

Merci d'avance.
Philou67/
-----

[invitee0b658bd]

bonjour,
je voudrait pas dire de betises, mais je verifierais les dimentions des divers parametres. Je pense que pour pouvoir repondre il manque la dimention de A
fred

[invited987c90b]

Bonsoir,

Le calcul initial semble juste. L'équation résulte d'un bilan des énergies.

Cordialement,
Kiri

[invite49b54ac2]

Bonjour,

En effet, si dans le premier terme vous faites l'équation de dimension, vous ne tombez pas sur une température car vous n'avez pas indiqué la dimension de A.
Le coeffecient A devrait avoir avoir comme dimension (°C/A) pour la deuxième écriture.
La première écriture peut être bonne si justement le A a comme dimension des (°C/(A.s))

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited987c90b]

Bonjour,

Je crois plutôt que ce sont des °C/(A². S). Et c'est bien le cas: A= R/(mC)
(où R est la résistance, m la masse et C la capacité thermique massique du fil...
Je passe l'analyse dimensionnelle...

L'équation initiale est donc correcte, on retombe facilement dessus en écrivant le bilan des énergies en jeu en régime transitoire.

Cordialement,
Kiri

[invited987c90b]

Je ne peux pas rééditer mon message précédent donc je poste l'analyse dimensionnelle en suivant...

R est une résistance soit R=P/I² (soit [W]/[A]² soit encore des [J].[s]^-1.[A]^-2)
m est une masse en [kg]
C une capacité thermique massique soit des [J].[kg]^-1.[K]^-1

Après simplification on retombe sur [coeffA] = [K].[A]^-2.[s]^-1

Cordialement,
Kiri

[Philou67]

Tout d'abord, merci à tous de vous être penché sur mon problème, qui, je l'avoue, me dépasse totalement.
En fait, dans la démonstration (et le calcul de A), l'auteur du document n'a jamais donné la dimension de A.

Cependant, la résolution de l'équation différentielle amène l'auteur à obtenir le résultat suivant :


Ceci donnerait donc une dimension C°/A²

Je pense donc qu'il s'agit bien de la 2e équation qui est la bonne. Cependant, je cherche précisément une source pour cette équation. En effet, il s'agit d'un développement qui réponds à des normes de sécurité pour la vie humaine ; dans ce cas de figure, j'ai une erreur dans la formulation, et un manque de traçabilité, ce qui rend le résultat "non vérifiable".

Or, vous semblez tous m'indiquer que la première formulation que j'ai donné serait la bonne, ce qui contredirait l'implémentation actuelle du calcul de température et les essais en laboratoire de l'algorithme de trip par surchauffe qui semblent confirmer que l'implémentation est bonne.

[invite2313209787891133]

Bonjour

Je ne sais pas si le but de la manœuvre est de faire un exercice; ce qui est sur c'est que cette formule n'est pas très réaliste car elle n'est valable que sur un court instant (montée en température du câble) et encore...

Il serait plus judicieux de raisonner en régime stable, en estimant les pertes globales afin de déterminer vers quelle température va tendre la câble.

[FC05]

Ben dans ce cas là, il n'a qu'a poser dthéta/dt = 0 dans l'équation de départ.

Le seul truc qui me gène vraiment dans cette équation, c'est qu'elle ne dépend pas da la température externe.

[invite49b54ac2]

Bonjour,

Normalement la valeur du coeffecient A doit figurer dans le RGIE.

[invite2313209787891133]

Ben dans ce cas là, il n'a qu'a poser dthéta/dt = 0 dans l'équation de départ.

Le seul truc qui me gène vraiment dans cette équation, c'est qu'elle ne dépend pas da la température externe.

Cette réponse m'est adressée ? Si c'est le cas ça ne suffirait pas; il n'y a aucune expression des échanges avec l'extérieur; le câble n'est pas un système isolé.

[Philou67]

OK, pour préciser le contexte (et ce n'est pas un exercice), il s'agit d'une application industrielle pour un équipement de distribution électrique d'un avion.
Je dirais donc que l'on travaille principalement sur le contrôle dynamique de la température du câble, et que la principale variable est l'intensité dans le câble (de 25 à 50A selon les équipements). Il s'agit donc d'un contacteur qui doit s'ouvrir en cas de sur-intensité (mesure de l'intensité) et en cas de dépassement de la mémoire thermique (intégrale de I[exp]2 => équation de départ).

On souhaite donc déclencher (tripper) le contacteur sur des dépassements d'ampérage répétitifs qui conduisent à une surchauffe du câble par "accumulation" (la mémoire thermique).
Concernant la température extérieur, elle doit être approximativement celle du cockpit, donc à priori constante.

[Philou67]

Bonjour,

Normalement la valeur du coeffecient A doit figurer dans le RGIE.

C'est quoi le RGIE ?

Dans la suite des calculs, la valeur de A a été fixée à 1.

En tout cas, merci à tous de l'intérêt que vous avez porté à ma question.

[invite49b54ac2]

Bonjour,

Le RGIE c'est le Règlement Général des Installations Electriques.
Je me rappele quand je l'ai pris pour un projet, il y avait un tas de facteurs concernant les caractéristiques du câbles.

[invite2313209787891133]

A la relecture du sujet je comprend un peu mieux.

En fait tu intègre l'énergie communiquée au câble (fonction de i² et t), mais bien sur on ne peut se contenter d'intégrer car on tendrait alors vers une température infinie.

Il faut donc soustraire les pertes par échange global, c'est ici qu'intervient la constante lambda. La formule est donc correcte; lambda n'intervient pas dans le 1er terme de l'équation.

[Philou67]

Tu es en train de me confirmer que c'est bien cette équation qui est la bonne ?


Ce n'est pas une bonne nouvelle pour moi. Cela signifierait que tous les calculs découlant sont erronés.

[invite2313209787891133]

Cette formule une approximation, mais elle est utilisable oui, à condition d'avoir les bons coefficients A (qui dépend de la nature du cable) et lambda (qui dépend de la nature du câble et des conditions, température du local, disposition du cable).

[polo974]

...
est la température du câble à l'instant t
...
Merci d'avance.
Philou67/

Ce qui m'embête, c'est que si on prend la température en Kelvin ou en Celcius, c'est loin d'être pareil.
Donc (peut-être) faudrait-il prendre comme l'échauffement du câble, et non comme la température du câble...

bref le 0 de serait la température ambiante et donc ajouter la température ambiante pour déclencher au seuil fixé.

Sinon, qu'est-ce qui cloche?
Les calculs ne collent pas aux mesures?

En théorie, et sont calculables à partir de 2 mesures (à 2 courants différents non nuls).

Encore faut-il faire ces mesures dans les pires cas.
Genre milieu du câble dans le milieu le plus isolé (et cela sur le même ordre de longueur car un conducteur électrique est un bon conducteur thermique, donc 10cm, c'est pas comme 3m)

En passant, qu'est-ce qu'ils emploient comme métal? cuivre ou alu?

[Philou67]

Ca m'inquiète beaucoup ce que tu me dit.
Voici comment est calculé A dans le document que je contrôles (note que la première formule devrait dériver de cette citée dans mon message précédent, ce qui n'est pas le cas, il manquerait un ) :


Une fois intégré :

En prenant t aux limites de l'infini, on obtiens (I_max est l'intensité max acceptée) :


On en déduis que


On prend alors pour hypothèse simplificatrice que vaut I_max² et on obtient A = 1.

Pour moi, la formule de départ étant fausse, tout ce qui en découle l'est également. Cependant, l'hypothèse simplificatrice prise à la fin annule-t-elle cette erreur ?
J'ai du mal à identifier l'impact de l'erreur...

[polo974]

...
On prend alors pour hypothèse simplificatrice que vaut I_max² et on obtient A = 1.
...

De quel droit ???
En gros A est une résistance qui multipliée par I² donne la puissance électrique dissipée.
Cette puissance arrive à s'évacuer dans le milieu ambiant moyennant une différence de température suffisante.

L'équilibre est atteint une fois cette différence de température atteinte, il faut juste que cette température ne soit pas trop élevée...

(c'est bizarre, mais ça me fait penser au calcul d'isolation d'une maison...)

[Philou67]

De quel droit ???

Tu m'en poses une colle !!!

Bon, l'explication donnée en anglais est celle-ci :
on souhaite simplifier le calcul de la courbe de température par rapport à I. Pour cela, on prends l'hypothèse précédente en postulant que l'on obtient alors un câble virtuel dont la température de "trip" (température au delà de laquelle qui faut ouvrir le contacteur), est plus élevée que celle du câble réel.

Maintenant, je ne sais pas dire si ce postulat est vrai.

(c'est bizarre, mais ça me fait penser au calcul d'isolation d'une maison...)

Autant je suis un peu familier des calculs d'isolation (statiques), autant là...

[invite2313209787891133]

Autant je suis un peu familier des calculs d'isolation (statiques), autant là...

C'est pourtant à ça que ça se résume; connaissant les caractéristiques de l'isolant du câble on en déduit un flux maximal (en joules) admissible en régime permanent.
En régime transitoire on intègre les pics de courant (et donc la puissance) avec le temps, ce qui conduit directement à un flux.

[Philou67]

Bien sur, l'effet Joule qui donne la température du câble par une formule en A.I² et qui génère un flux thermique au travers de l'isolant...
Je comprends mieux.

[polo974]

C'est pourtant à ça que ça se résume; connaissant les caractéristiques de l'isolant du câble on en déduit un flux maximal (en joules) admissible en régime permanent.
En régime transitoire on intègre les pics de courant (et donc la puissance) avec le temps, ce qui conduit directement à un flux.

Whaaa...
Comme tu l'as bien dit ! ! !

(c'est en effet plus clair que ma petite allusion qq messages plus bas)

[polo974]

En passant, j'ai vu ce truc:
ftp://ftp2.caml-llg.net/optionin/dor...mo/thermo1.pdf
il parlent du câble électrique qui dissipe...