[Maths] [TS] Etude d'une équation fonctionnelle

[inviteec581d0f]

Salut,

Merci Flyingsquirrel,

en considérant le résultat de la question 5, je dirais que la fonction cos(x) est solution.

f(x) = cos(x)

f'(x) = -sin(x)

f''(x) = -cos(x)

donc k = -1 et on a alors f''(x) = - f(x)

et en vérifiant je tombe bien sur :

cos(x+y)+cos(x-y) = 2cos(x)cos(y)


mais bon faut voir après si c'est la seule... ^^
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[Flyingsquirrel]

Effectivement, le cosinus est solution. Et si on prend f(x)=cos(kx) ça marche ?

Si tu n'as pas vu la résolution des équations différentielles comme f''=k*f ? Si ça t'intéresse, tu peux aller voir la méthode de résolution sachant qu'on est dans le cas le plus simple. (équation différentielle linéaire, homogène et à coefficients constants) Je ne sais plus si on étudie ça en terminale ou après le bac mais tu en as besoin pour cette question... (l'unicité ne peut pas se faire sans)

[inviteec581d0f]

J'ai fait un DM sur la résolution des équations différentielles de second ordre, et c'est, je trouve un peu compliqué mais bon. Merci pour le lien

En utilisant cos(kx) j'obtients:

cos(kx+ky)+cos(kx-ky) = 2cos(kx)cos(ky)

donc il faut bien une valeur précise pour k pour que çà marche =)

xD

en ce qui concerne l'unicité, c'est l'unique fonction qui satisfait les deux conditions à la fois, non ?

[invite263d7f23]

@ Gaara : Quelle question fais-tu ?

@sohot :

Laquelle ? Si tu ne veux pas le préciser, dit "une primitive de f".

Je ne comprends pas comment tu montres ? (le "car" n'a rien à faire là) Je ne vois pas non plus à quoi ça te sert.


Où est passé le terme ?
EDIT : il manque un f(u) aussi...

premier point: oui, je voulais dire 'une primitive de f'...
deuxième point: montrer que sert à pouvoir écrire ... et là, en fait j'admets que si f vérifie cette condition, c'est parce qu'une primitive de f la vérifie aussi...Mais je ne suis pas sûr sur ce point là. Peut-on écrire sans justifier que Fp appartient à E ?
troisième point: en fait on pose x=0, donc on a:

L'intégrale est donc égale à 0, car f'(0)=0, et il nous reste (pour x=0):
, car f(0)=1

[Flyingsquirrel]

cos(kx+ky)+cos(kx-ky) = 2cos(kx)cos(ky)

donc il faut bien une valeur précise pour k pour que çà marche =)

Ah bon ? Réécris le en posant f(x)=cos(kx) pour voir

en ce qui concerne l'unicité, c'est l'unique fonction qui satisfait les deux conditions à la fois, non ?

Je parlais des solutions de f''=k*f telles que f(0)=1. La théorie sur les équa. diff. permet de montrer qu'il n'y a, pour un k donné, qu'une seule fonction qui vérifie ces deux relations. Comme en plus on la connait (après résolution en utilisant le discriminant et compagnie), ça permet de déterminer complètement E.

deuxième point: montrer que sert à pouvoir écrire ... et là, en fait j'admets que si f vérifie cette condition, c'est parce qu'une primitive de f la vérifie aussi...Mais je ne suis pas sûr sur ce point là. Peut-on écrire sans justifier que Fp appartient à E ?

Non. Ce que tu voudrais montrer c'est que, si une fonction est dans E, sa dérivée l'est aussi... et c'est faux : par exemple le cosinus est dans E mais pas le sinus.

troisième point: en fait on pose x=0, donc on a:

L'intégrale est donc égale à 0, car f'(0)=0, et il nous reste (pour x=0):
, car f(0)=1

OK, c'est moi qui est du mal à comprendre.

Bon, du coup, ta méthode tombe à l'eau. Ce qui pose problème pour la cinquième question ce sont les intégrales (en tout cas, moi, elles m'embêtent ) : on n'arrive pas à transformer l'une en l'autre pour montrer l'égalité. On pourrait donc essayer de s'en débarrasser, en dérivant par exemple.

[invite263d7f23]

Sinon, je viens de faire la 5. aussi, donc ça donne:
5. Soit ,
donc, en admettant que f soit dérivable deux fois, on a:

On peut enlever les '2', et on factorise par f''(x)f''(y), on obtient donc:

On a donc bien avec k appartenant à R.

Et pour la 6: Les éléments de E sont les fonctions f satisfaisant toutes les conditions vues et/ou montrées précédemment. Les fonctions f(x)=cos(x), f(x)=cos(kx) (k réel), f(x)=1 sont des éléments de E.

du coup, ta méthode tombe à l'eau.

AHH !!! Mais, comment fait-on ?! Enfin...là, ce soir j'ai pas le courage de refaire le 4., mais je finirais bien cet exercice un jour

[inviteec581d0f]

Ah bon ? Réécris le en posant f(x)=cos(kx) pour voir

Je parlais des solutions de f''=k*f telles que f(0)=1. La théorie sur les équa. diff. permet de montrer qu'il n'y a, pour un k donné, qu'une seule fonction qui vérifie ces deux relations. Comme en plus on la connait (après résolution en utilisant le discriminant et compagnie), ça permet de déterminer complètement E.

f(x) = cos(kx)


cos(kx+ky) + cos(kx-ky) = 2cos(kx)cos(ky)

donc

f(x+y) + f(x-y) = 2f(x)f(y)

Ah ouéé !!!!


donc on conclut en utilisant la condition initiale, c'est çà ?

PS: Heureusement que je n'ai pas fait les intégrales sinon j'aurais dû me farcir du Latex ... oulaa ^^

[Flyingsquirrel]

Bon, du coup, ta méthode tombe à l'eau. Ce qui pose problème pour la cinquième question...

Lire "quatrième" et pas "cinquième"

Sinon, je viens de faire la 5. aussi, donc ça donne:
5. Soit ,
donc, en admettant que f soit dérivable deux fois, on a:

Ça il faut le montrer, pas l'admettre.

.

Attention, le signe ' signifie que l'on dérive par rapport à une variable : ici c'est soit x, soit y mais pas les deux. Comme y ne dépend pas de x, si tu dérives par rapport à x ça revient à considérer y constant donc (f(y))'=0...

Et pour la 6: Les éléments de E sont les fonctions f satisfaisant toutes les conditions vues et/ou montrées précédemment. Les fonctions f(x)=cos(x), f(x)=cos(kx) (k réel), f(x)=1 sont des éléments de E.

f(x)=1 est caché dans les cos(kx), c'est le cas k=0.

donc on conclut en utilisant la condition initiale, c'est çà ?

Oui et non. Ce que tu fais depuis quelques messages c'est vérifier que telle ou telle fonction est dans E alors que pour répondre à la question il faut dire que les éléments de E sont exactement les fonctions solutions de f''=k*f et telles que f(0)=1. Or, la seule fonction solution est f(x)=cos(kx) ce qui donne

Au passage, bravo à sohot qui a détruit toute la mise en page du fil avec une formule LaTeX trop grande

[inviteec581d0f]

lol d'accord =)

Au passage, bravo à sohot qui a détruit toute la mise en page du fil avec une formule LaTeX trop grande

mdr c'est ce que je me disais xD

[invite263d7f23]

Franchement, pour le quatrièmement, après avoir essayé la relation de Chasles ou la dérivation (on ne peut pas dériver à la fois la variable (u+x) et la variable (u-x) )-sans succès-, je commence à me dire que ça doit être quelque chose de tout bête... et là, j'ai vu que pour


Si on pose x=0, on a:


Est-ce valable ?

[Flyingsquirrel]

C'est valable pour x=0, il ne te reste plus qu'à le montrer pour tout x réel non nul.

Pour la méthode par dérivation, il faut calculer F'(u). (donc en dérivant par rapport à u et en considérant x comme constant) Si tu ne sais pas dériver directement une intégrale par rapport à sa borne supérieure, repasse par les primitives :

Soit F_p une primitive de f.
donc F'(u)=...

La même méthode fonctionne pour G, il suffit simplement d'utiliser la relation de Chasles pour découper les intégrales en deux à chaque fois : une intégrale qui ne dépend pas de u (qui disparait donc à la dérivation) et une autre partie qui dépend de u.
Si les bornes te gênent, dis toi que dériver c'est dériver une fonction composée.

[invite263d7f23]

Donc on a le droit de faire comme cela ?
[mode express]





D'où (ce qu'on aurait d'ailleurs pu faire directement avec l'expression donnée dans la consigne, pas besoin de faire la relation de chasles)
, mais là on dérive par rapport à x+u et à u-x, non ? En tout cas, c'est ça qui m'a retenu de poster ma méthode avec la dérivée.

Et comment on rédige ensuite pour dire que F et G sont bien égaux...
F'(u)=G'(u), 2f(x) constant, donc F' et G' ont les mêmes primitives, ce qui revient à dire F=G ?

Sinon, comment on montre que f est dérivable en fait... on nous dit que f est continue sur R, mais ça permet juste de dire que ses primitives sont dérivables sur R (et aussi que f n'est pas forcément non dérivable en n'importe quel point ... ouè). Je sais montrer avec la définition du nombre dérivé, mais ici ça n'aide pas beaucoup.

[Flyingsquirrel]

, mais là on dérive par rapport à x+u et à u-x, non ? En tout cas, c'est ça qui m'a retenu de poster ma méthode avec la dérivée.

Non, on dérive par rapport à u. (mais la notation ' porte à confusion c'est pour cela qu'on utilise de préférence la notation dès que plusieurs variables entrent en jeu)

Si je note h(u)=x+u, f(u+x)=f(h(u)) donc [f(h(u))]'=h'(u)*f'(h(u))=1*f'(h(u))=f' (u+x)

ce qu'on aurait d'ailleurs pu faire directement avec l'expression donnée dans la consigne, pas besoin de faire la relation de chasles

Bien vu.

Et comment on rédige ensuite pour dire que F et G sont bien égaux...
F'(u)=G'(u), 2f(x) constant, donc F' et G' ont les mêmes primitives, ce qui revient à dire F=G ?

Nan . F'(U)=G'(U) ça entraîne F(U)=G(u)+constante. (deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante) Il reste à montrer que la constante est nulle pour avoir F=G.

Sinon, comment on montre que f est dérivable en fait... on nous dit que f est continue sur R, mais ça permet juste de dire que ses primitives sont dérivables sur R (et aussi que f n'est pas forcément non dérivable en n'importe quel point ... ouè). Je sais montrer avec la définition du nombre dérivé, mais ici ça n'aide pas beaucoup.

Pour la question 5 ? Hé bien on peut se servir de ce que l'on vient de faire, on a et on veut montrer que f est dérivable.

une piste :

 Cliquez pour afficher

Si le membre de droite est dérivable par rapport à x alors celui de gauche l'est aussi

[invite263d7f23]

Donc, pour montrer que k=0, j'ai procédé comme suit:
donc, dans l'épisode précédent, on a vu que
avec k appartenant à R.
Soit:

Et là, ne serait-ce pas un truc tout bête du genre, k constante ne peut être égale à une somme de variables (ça s'dit ?!) que si cette somme est égale à une constante. Or, une somme de variables ne peut être égale à une constante k non-nulle, mais peut s'annuler. Donc, on ne peut avoir que k=0.
D'où , donc quelque soit u appartenant à R,

Sinon, effectivement la 5., je n'y ai pas du tout pensé, mais c'est pourtant très logique... Donc, après avoir su ton indication, ça fonctionnait comme un charme, et j'ai trouvé que d'abord, F(u) était dérivable par rapport à x, donc G(u) l'était aussi... puis G'(u) est dérivable par rapport à x (car on a G'(u)=2f(x)f(u)), donc F'(u) est dérivable par rapport à x, donc f est bien dérivable 2 fois... Ensuite, on exprime f'(x) en fonction de f(x) et on le remplace dans f''(x)=k1f'(x) pour obtenir f''(x)=kf(x) avec k=[f(u)/Fp(u)]² (Fp une primitive de f)...

[Flyingsquirrel]

Et là, ne serait-ce pas un truc tout bête du genre, k constante ne peut être égale à une somme de variables (ça s'dit ?!) que si cette somme est égale à une constante. Or, une somme de variables ne peut être égale à une constante k non-nulle, mais peut s'annuler. Donc, on ne peut avoir que k=0.
D'où , donc quelque soit u appartenant à R,

Ici c'est une somme de fonctions, pas une somme de variables (les variables sont u et x) et des sommes de fonctions qui sont nulles on peut en construire des tonnes . Par exemple :

Ça n'a pas forcément l'air d'être nul et pourtant...
En plus ta justification est bizarre : en gros ça revient à : "la somme s'annule de temps en temps donc k=0" ce qui veut dire que, quand la somme n'est pas nulle, k est différent de 0, donc k varie ? Bizarre pour une constante.

Une méthode plus simple : si on trouve un point tel que , alors k=0. (il suffit de montrer k=0 en un seul point puisque l'on sait que k est une constante)

Sinon, effectivement la 5., je n'y ai pas du tout pensé, mais c'est pourtant très logique... Donc, après avoir su ton indication, ça fonctionnait comme un charme, et j'ai trouvé que d'abord, F(u) était dérivable par rapport à x, donc G(u) l'était aussi... puis G'(u) est dérivable par rapport à x (car on a G'(u)=2f(x)f(u)), donc F'(u) est dérivable par rapport à x, donc f est bien dérivable 2 fois... Ensuite, on exprime f'(x) en fonction de f(x) et on le remplace dans f''(x)=k1f'(x) pour obtenir f''(x)=kf(x) avec k=[f(u)/Fp(u)]² (Fp une primitive de f)...

OK pour la méthode, par contre on part de G(u) dérivable par rapport à x, pas de F(u) dérivable par rapport à x. (vu qu'on ne peut pas encore dériver f)

[invite263d7f23]

OK pour la méthode, par contre on part de G(u) dérivable par rapport à x, pas de F(u) dérivable par rapport à x. (vu qu'on ne peut pas encore dériver f)

Oui, j'avais fait comme ça sur mon p'tit bout de feuille il y a une semaine...

Oui, pour la 4., c'est encore plus bête que ce que j'imaginais...on prend x=0, et on peut montrer que k=0 pour x=0, et comme k est une constante, k est toujours égal à 0... C'est beau.