[Maths] [1èreS] Polynômes du second degré

[Seirios]

Voici quelques équations à résoudre pour commencer, quelques problèmes suivront (désolé pour le retard ) :

Exercice 1 : Résoudre les équations suivantes.











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[invite19431173]

Désolé aussi du retard, c'est de quel niveau ?

[invitec053041c]

Désolé aussi du retard, c'est de quel niveau ?

Je dirais 1ère .

[invite19431173]

Hop, voilà !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec053041c]

Pour niveau première, je propose ceci également:

Démonstration de quelques dérivées:

Soient



Démontrer l'expression de leurs dérivées en utilisant la défnition du nombre dérivé.(non pas en me donnant les expressions tirées du tableau )

François

[invite43bf475e]

Je commence par la premiere :

On utilise le taux de variation : on montre que pour tout réel ,


On s'y lance :


en passant à la limite on obtient :



yep yep, cela dit je passe en prépa pas en première

[invitec053041c]

Oui c'est bien ça Milas .

EDIT:

yep yep, cela dit je passe en prépa pas en première

Honte à toi .

[Dydo]

Pour les équations du second degré c'est plutôt niveau 1ère acquis puisque on ne voit leur résolution dans le cas général qu'au programme de Math de 1ère

[kNz]

Salut,

Il manque un petit carré dans le polynome du 3ème degré qui est bien utile pour que -1 ..

Si benjy ou quelqu'un d'autre peut modifier.

[invite19431173]

Voilà !

[Seirios]

Voici un petit problème rapide sur les polynômes du second degré :


Considérons un triangle rectange. En sachant que la mesure des trois côtés du triangle sont trois chiffres/nombres consécutifs, quelles peuvent être ces mesures ?

[invitec053041c]

Voici un petit problème rapide sur les polynômes du second degré :


Considérons un triangle rectange. En sachant que la mesure des trois côtés du triangle sont trois chiffres/nombres consécutifs, quelles peuvent être ces mesures ?

Ah pas mal . Je m'étais demandé une fois (sans aller plus loin ) si ces 3 classiques étaient le seul triplet pythagoricen d'entiers consécutifs.

[manimal]

Salut phys2 ,
Ca c est un grand classique des triangles rectangles.
Pour infos , on apprend cette suite de nombre en CAP maçonnerie
Cordialement.
Manimal.

[invitec053041c]

Salut phys2 ,
Ca c est un grand classique des triangles rectangles.
Pour infos , on apprend cette suite de nombre en CAP maçonnerie
Cordialement.
Manimal.

Il n'y a pas de sots métiers (phrase toute faite je vous l'accorde).

[manimal]

Pour infos ,
Les maçons utilisent ce triplet pour faire les fondations d une maison donc tous les angles droits.

[inviteec581d0f]

Bonjour,

ce sont des entiers ou des réels ?? (parceque j'ai une racine qui se ballade )



EDIT: je retire ce que j'ai dit sorry

[invitec053041c]

Bonjour,

ce sont des entiers ou des réels ?? (parceque j'ai une racine qui se ballade )



EDIT: je retire ce que j'ai dit sorry

Entiers bien-sûr.
On ne connaît pas le réel consécutif à un réel .

[inviteec581d0f]

hihi voilà :

Considérons un triangle rectange. En sachant que la mesure des trois côtés du triangle sont trois chiffres/nombres consécutifs, quelles peuvent être ces mesures ?

 Cliquez pour afficher

On a:

, et trois entiers consécutifs.

on pose et

Pour pouvoir obtenir un triangle rectangle avec ces trois valeurs, il faut qu'elles vérifient cette équation (théorème de Pythagore) :

(z est l'hypoténuse car c'est le coté le plus long)

On remplace:



donc

donc

donc

après calcul de on trouve comme solutions :

ou

vu que l'on veut tracer le triangle sur une feuille , on prends comme solution valable.

Donc les trois entiers consécutifs vérifiant les conditions sont :

[invitec053041c]

D'accord avec ce que tu trouves.
Mais je vais te donner 2 conseils:
-quand tu parles d'entiers, appelle-les n, c'est mieux vu .
-quand le problème est symétrique (ici on cherche trois entiers successifs), considère des inconnues symétriques, à savoir (n-1),n,(n+1) plutôt que n,(n+1),(n+2)

Regarde comme ça va plus vite (pas besoin de delta ):

 Cliquez pour afficher

D'où n=4, n-1=3 et n+1=5

François

[inviteec581d0f]

Merci de tes conseils Ledescat

Donc quand on a un réel on prends x et quand on a un entier on prends n okiiii

Mais javou ne pas avoir compris la notion de problème symétrique c'est à dire que l'on a trois valeurs et que chacune vérifie le même éloignement par rapport à une valeur centrale ?? Par exemple : n-10, n, n+10 (éloignement de 10 par rapport à n ?? )

en effet ta méthode simplifie beaucoup plus les choses

Merci

[invitea48de646]

Bonjour a tous

Dans le meme ordre d'idee, existe-t-il d'autre triplets (u,v,w) d'entiers autre aue (3,4,5) tq u^2=v^2+w^2

[invitec053041c]

Disons qu'intuitivement,en développant avec n-1,n,n+1, on sent que plus de choses vont se simplifier qu'avec n,n+1,n+2.

On ne t'impose pas de les appeler n,n+1,n+2 donc tu as le droit de les appeler (n-1),n,(n+1) qui sont symétriques pour les raisons que tu as dites .

Si je te pose un problème du genre: trouver 3 entiers distants de 10 tels que...
Si tu poses n,n+10,n+20 ça s'avèrera assez folkhloryque.
En posant n-10,n,n+10 ça risque de simplifier pas mal de choses .

[invitec053041c]

Bonjour a tous

Dans le meme ordre d'idee, existe-t-il d'autre triplets (u,v,w) d'entiers autre aue (3,4,5) tq u^2=v^2+w^2

Oui, c'est ce qu'on appelle les triplets pythagoriciens. Il y a des méthodes pour les détermine à coup sûr.

Cordialement.

EDIT: tu peux aller voir là: http://fr.wikipedia.org/wiki/Triplet_pythagoricien
Au delà de l'exposant 2 ceci dit, on ne trouvera aucun triplet vérifiant cette égalité (théorème de Fermat Wiles démontré il y a très peu de temps).

[inviteec581d0f]

Disons qu'intuitivement,en développant avec n-1,n,n+1, on sent que plus de choses vont se simplifier qu'avec n,n+1,n+2.

On ne t'impose pas de les appeler n,n+1,n+2 donc tu as le droit de les appeler (n-1),n,(n+1) qui sont symétriques pour les raisons que tu as dites .

Si je te pose un problème du genre: trouver 3 entiers distants de 10 tels que...
Si tu poses n,n+10,n+20 ça s'avèrera assez folkhloryque.
En posant n-10,n,n+10 ça risque de simplifier pas mal de choses .

Merciiii donc cette méthode s'applique à tous les cas de figure où les inconnues sont symétriques super cool

[invite18081880]

j'ai besoin d'aide pour un exercice
je vous copie l'enoncé

soit a, b et c trois entiers impairs
montrer que l'equation ax^2+bx+c=0 n'a pas de solution rationnelle



ensuite on a :
(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=4 (equation1)
a. on pose y=x+5/2
que devient l'equation 1?

b. on pose z=y^2
que devient l'equation du a?

c. resoudre cette equation puis l'equation 1

merci d'avance

[invite7ee0012f]

Salut.
Dans un permier temps, calcule le discriminant (delta), en prenant la forme générale d'un nombre impair et tu verras qu'il est négatif, donc que l'équation n'a pas de solution dans les réels.
Pour le reste, commence par développer, et essaie d'arranger l'équation pour pouvoir remplacer par ce qui est demandé. Voila

[invite35452583]

Salut.
Dans un permier temps, calcule le discriminant (delta)

Ca peut être un bon début. Précision pour veRito : montrer que ce disciminant est un carré parfait si l'équation admet une solution rationnelle.

en prenant la forme générale d'un nombre impair et tu verras qu'il est négatif, donc que l'équation n'a pas de solution dans les réels.

déjà rien n'interdit que a soit positif et c négatif ce qui impose un discriminant négatif, mais même avec des entiers positifs, si a et c sont fixés il suffit que b²>4ac et il y a toujours une infinité d'entiers impairs qui vérifient cela.

Dans cette veine, on doit montrer que b²-4ac n'est pas un carré parfait. "carré parfait", "parité"... bon sang mais c'est bien sûr on travaille modulo 4 (ou 8 si 4 ne suffit pas, le modulo 16 n'amène rien de plus normalement) .(Ca doit devenir un réflexe)

Autre voie possible :
produit des racines x_i=c/a donc en supposant les xi rationnels, la décomposition de leur fraction irréductible est de la forme impair/impair (à montrer )
Montrer alors que somme des racines peut être mis sous la forme pair/impair.
En déduire une contradiction avec somme des racines=-b/a.

Pour le reste, commence par développer, et essaie d'arranger l'équation pour pouvoir remplacer par ce qui est demandé. Voila

Juste un petit truc à ajouter 5/2=(1+2+3+4)/4 ne vient pas de nulle part.

[invite18081880]

Ca peut être un bon début. Précision pour veRito : montrer que ce disciminant est un carré parfait si l'équation admet une solution rationnelle.

déjà rien n'interdit que a soit positif et c négatif ce qui impose un discriminant négatif, mais même avec des entiers positifs, si a et c sont fixés il suffit que b²>4ac et il y a toujours une infinité d'entiers impairs qui vérifient cela.

Dans cette veine, on doit montrer que b²-4ac n'est pas un carré parfait. "carré parfait", "parité"... bon sang mais c'est bien sûr on travaille modulo 4 (ou 8 si 4 ne suffit pas, le modulo 16 n'amène rien de plus normalement) .(Ca doit devenir un réflexe)


merci beaucoup
mais je ne comprends rien à ça de modulo 4 modulo 8 et modulo 16..!!
qu'est que c'est?



Autre voie possible :
produit des racines x_i=c/a donc en supposant les xi rationnels, la décomposition de leur fraction irréductible est de la forme impair/impair (à montrer )
Montrer alors que somme des racines peut être mis sous la forme pair/impair.
En déduire une contradiction avec somme des racines=-b/a.


.

en quoir est que cela va m'aider à montrer qu'il n'existe aucune solution rationnelle?
qu'est ce que ça a à voir?



merci beaucoup!

[invite35452583]

en quoir est que cela va m'aider à montrer qu'il n'existe aucune solution rationnelle?
qu'est ce que ça a à voir?



merci beaucoup!

C'est un raisonnement par l'absurde : on suppose qu'il existe une solution rationnelle et on aboutit à une absurdité .
1ère voie : cette absurdité est un entier est un carré parfait dont la congruence modulo 8 est impossible pour un carré.
2ème voie : l'absurdité est un entier qui est pair et impair en même temps.

Par contre, j'ai oublié de préciser (ça doit être trop évident pour moi ) qu'il faut montrer initialement que pour un polynôme P(x)= ax²+bx+c avec a, b et c rationnels (en particulier si a, b et c sont des entiers impairs) alors :
si P admet une racine rationnelle alors ses dux racines sont rationnelles (considérer la somme des racines ou le produit).

[invite18081880]

que veut dire modulo 4 , modulo 8 etc....?

merci beaucoup de votre aide!