[Maths] [TS] Etude d'une équation fonctionnelle

[invitea7fcfc37]

On désigne par l'ensemble des applications non nulles, continues sur , qui satisfont la condition : .

1. Déterminer les fonctions constantes de .

2. Montrer que si est un élément de , alors est paire et .

3. Soit , montrer qu'il existe tel que : soit différent de 0.

4. Soit, et , on définit les deux fonctions et par :
, et .
Montrer que .

5. Montrer que tout élément de est deux fois dérivable sur et que :
, , .

6. Déterminer les éléments de .

Enjoy.

[invitefc60305c]

1) avec k une constante réelle.
on a :
qui devient d'où
Finalement :

[invitea7fcfc37]

d'où

Pourquoi ?

[invitefc60305c]

Si f est une fonction constante, quel que ce soit la variable (x, y, x-y, x+y...), alors f = k.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea7fcfc37]

J'te parle de l'implication que tu me marques,
2k=2k² => k=1

Pourquoi ?

[invitefc60305c]

2k = 2k²
On divise par 2k (on peut car 2k différent de 0, voir énoncé)
1 = k

[invitea7fcfc37]

Oui, fais bien attention quand tu as ce genre de questions, à bien faire le raisonnement en entier, et à éliminer à la fin les solutions qui ne conviennent pas. Le correcteur sait pas ce que tu penses quand tu écris, pourquoi t'aurais pas oublié la solution 0 plutôt que de l'écarter car l'énoncé dit que l'application f est non nulle ?

Sinon c'est bon

Next question !

[invitea7fcfc37]

Désolé pour l'oubli du titre, mais j'hésitais sur le sujet au moment de poster et j'ai oublié de le mettre à la fin, et comme je ne peux pas le modifier, si un modérateur pouvait mettre Etude d'une équation fonctionnelle, pourquoi pas

[invite8241b23e]

Voilà qui est fait !

[invitea7fcfc37]

Thanks

[invite23d53e15]

Coucou, je me tape l'incruste avec la permission d'anonymus Comme il y a toujours à apprendre même des années précédentes, je me suis lancée dans la question 2.

2) Soit f appartenant à E. Alors f vérifie la propriété : pour tout couple de réels (x,y) f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)

Prenons donc x=0, y quelconque, on obtient alors : f(y)+f(-y)= 2f(0)f(y) (E1)
Et par suite, f(-y)=f(y)(2f(0)-1) (E2)
Or l'équation (E1) est vérifiée pour y=0 et ainsi f(0)+f(0)=2f(0)²
D'où f(0)=f(0)², et donc f(0)=0 ou f(0)=1.

Supposons f(0)=0, et prenons maintenant y=0 dans la propriété, x quelconque. On obtient 2f(x)=2f(x)f(0)
2f(x)=0 et donc f est l'application nulle...c'est absurde.
Ainsi f(0)=1 et en réinjectant ce résultat dans (E2) on a : f(-y)=f(y)(2x1-1)
On obtient donc bien f(-y)=f(y)

L'équation est valable pour tout y, la fonction f est donc paire et vérifie de plus f(0)=1.

[invite263d7f23]

(désolé, je n'ai pas les facultés mentales pour écrire en latex dans l'immédiat)
3.
Supposons que l'intégrale de f(t) (tel qu'on la voit si bien en latex plus haut) soit égale à 0, cela signifie que f(t)=0 (ce qui est impossible),
ou que F(alpha)=F(0) (avec F primitive de f),
Donc, f(alpha)=f(0)=1 , comme alpha parcourt le domaine de définition (R), cela signifie que f est une fonction constante. Or, la fonction constante s'écrit ici:
f(t)=1
soit F(t)=t , donc pour alpha distinct de 0, F(alpha) est nécessairement différent de F(0)... Il y a donc contradiction: F(alpha) ne peut être égal à F(0) si f est une fonction constante, donc les deux cas cités plus haut sont impossibles, donc l'intégrale de f(t) est distincte de 0.
Il existe donc bien alpha (appartenant à R) tel que l'intégrale de f(t) est distincte de 0.

On peut d'ailleurs le voir graphiquement: l'intégrale correspond à "l'aire sous la courbe", et celle-ci n'est nulle que pour la fonction nulle ou pour l'aire sous la courbe entre 2 points confondus (entre 1 et 1 par exemple)... Comme on parle ici d'applications non nulles, et si on prend alpha distinct de 0, alors, cette intégrale est non nulle pour tout alpha réel (non-nul).

L'épisode 4 prochainement... (en fait quand j'aurais justifié que la primitive de f appartient aussi à E.)

[invite263d7f23]

4.
Soit , et quelque soit x et u réel,
Par linéarité de l'intégrale:
, avec Fp(t) la primitive de f(t).

, donc , car , donc on a bien .
On utilise l'intégration par parties, et on obtient:

On pose x=0, on a f'(0)=0, f(0)=Fp(0)=1, donc:


, (car on pose x=0)

On a donc bien . Quelque soit u réel, on a donc bien .



Est-ce que mon 3. et mon 4. sont bons ?

[Flyingsquirrel]

@ Gaara : Quelle question fais-tu ?

@sohot :

4.
... avec Fp(t) la primitive de f(t).

Laquelle ? Si tu ne veux pas le préciser, dit "une primitive de f".

, donc , car , donc on a bien .

Je ne comprends pas comment tu montres ? (le "car" n'a rien à faire là) Je ne vois pas non plus à quoi ça te sert.

On utilise l'intégration par parties, et on obtient:

On pose x=0, on a f'(0)=0, f(0)=Fp(0)=1, donc:

Où est passé le terme ?
EDIT : il manque un f(u) aussi...

[inviteec581d0f]

@ Gaara : Quelle question fais-tu ?

Je fais la dernière question ^^


J'ai fais le même exercice il n'y a pas longtemps mais il y avait une condition supplémentaire, du style lim(x--+oo) de f(x) = 0.

Mais je bloque un peu car on cherche les fonctions non nulles.

Donc on peut dire que la fonction solution de ce truc est constante ?

Bref, j'attends ce que tu en dis et j'essaye de continuer.

PS : je n'ai pas fait les intégrales

[Flyingsquirrel]

Donc on peut dire que la fonction solution de ce truc est constante ?

Non, toutes les fonctions de E ne sont pas constantes. Je ne vois pas trop ce que tu veux tirer de l'équation de départ ? Le but d'un exo comme celui ci c'est justement d'obtenir au fur et à mesure des questions de plus en plus d'informations sur les éléments de E. Si on avait voulu que tu te débrouilles seul, l'énoncé aurait été réduit à la question 6). (et il serait impossible à résoudre parce que, mine de rien, sans aucune étape, c'est compliqué comme problème)
Pour en revenir à la question 6, elle utilise le résultat de la cinquième.

[inviteec581d0f]

Salut,

Merci Flyingsquirrel,

en considérant le résultat de la question 5, je dirais que la fonction cos(x) est solution.

f(x) = cos(x)

f'(x) = -sin(x)

f''(x) = -cos(x)

donc k = -1 et on a alors f''(x) = - f(x)

et en vérifiant je tombe bien sur :

cos(x+y)+cos(x-y) = 2cos(x)cos(y)


mais bon faut voir après si c'est la seule... ^^

[Flyingsquirrel]

Effectivement, le cosinus est solution. Et si on prend f(x)=cos(kx) ça marche ?

Si tu n'as pas vu la résolution des équations différentielles comme f''=k*f ? Si ça t'intéresse, tu peux aller voir la méthode de résolution sachant qu'on est dans le cas le plus simple. (équation différentielle linéaire, homogène et à coefficients constants) Je ne sais plus si on étudie ça en terminale ou après le bac mais tu en as besoin pour cette question... (l'unicité ne peut pas se faire sans)

[inviteec581d0f]

J'ai fait un DM sur la résolution des équations différentielles de second ordre, et c'est, je trouve un peu compliqué mais bon. Merci pour le lien

En utilisant cos(kx) j'obtients:

cos(kx+ky)+cos(kx-ky) = 2cos(kx)cos(ky)

donc il faut bien une valeur précise pour k pour que çà marche =)

xD

en ce qui concerne l'unicité, c'est l'unique fonction qui satisfait les deux conditions à la fois, non ?

[invite263d7f23]

@ Gaara : Quelle question fais-tu ?

@sohot :

Laquelle ? Si tu ne veux pas le préciser, dit "une primitive de f".

Je ne comprends pas comment tu montres ? (le "car" n'a rien à faire là) Je ne vois pas non plus à quoi ça te sert.


Où est passé le terme ?
EDIT : il manque un f(u) aussi...

premier point: oui, je voulais dire 'une primitive de f'...
deuxième point: montrer que sert à pouvoir écrire ... et là, en fait j'admets que si f vérifie cette condition, c'est parce qu'une primitive de f la vérifie aussi...Mais je ne suis pas sûr sur ce point là. Peut-on écrire sans justifier que Fp appartient à E ?
troisième point: en fait on pose x=0, donc on a:

L'intégrale est donc égale à 0, car f'(0)=0, et il nous reste (pour x=0):
, car f(0)=1

[Flyingsquirrel]

cos(kx+ky)+cos(kx-ky) = 2cos(kx)cos(ky)

donc il faut bien une valeur précise pour k pour que çà marche =)

Ah bon ? Réécris le en posant f(x)=cos(kx) pour voir

en ce qui concerne l'unicité, c'est l'unique fonction qui satisfait les deux conditions à la fois, non ?

Je parlais des solutions de f''=k*f telles que f(0)=1. La théorie sur les équa. diff. permet de montrer qu'il n'y a, pour un k donné, qu'une seule fonction qui vérifie ces deux relations. Comme en plus on la connait (après résolution en utilisant le discriminant et compagnie), ça permet de déterminer complètement E.

deuxième point: montrer que sert à pouvoir écrire ... et là, en fait j'admets que si f vérifie cette condition, c'est parce qu'une primitive de f la vérifie aussi...Mais je ne suis pas sûr sur ce point là. Peut-on écrire sans justifier que Fp appartient à E ?

Non. Ce que tu voudrais montrer c'est que, si une fonction est dans E, sa dérivée l'est aussi... et c'est faux : par exemple le cosinus est dans E mais pas le sinus.

troisième point: en fait on pose x=0, donc on a:

L'intégrale est donc égale à 0, car f'(0)=0, et il nous reste (pour x=0):
, car f(0)=1

OK, c'est moi qui est du mal à comprendre.

Bon, du coup, ta méthode tombe à l'eau. Ce qui pose problème pour la cinquième question ce sont les intégrales (en tout cas, moi, elles m'embêtent ) : on n'arrive pas à transformer l'une en l'autre pour montrer l'égalité. On pourrait donc essayer de s'en débarrasser, en dérivant par exemple.

[inviteec581d0f]

Ah bon ? Réécris le en posant f(x)=cos(kx) pour voir

Je parlais des solutions de f''=k*f telles que f(0)=1. La théorie sur les équa. diff. permet de montrer qu'il n'y a, pour un k donné, qu'une seule fonction qui vérifie ces deux relations. Comme en plus on la connait (après résolution en utilisant le discriminant et compagnie), ça permet de déterminer complètement E.

f(x) = cos(kx)


cos(kx+ky) + cos(kx-ky) = 2cos(kx)cos(ky)

donc

f(x+y) + f(x-y) = 2f(x)f(y)

Ah ouéé !!!!


donc on conclut en utilisant la condition initiale, c'est çà ?

PS: Heureusement que je n'ai pas fait les intégrales sinon j'aurais dû me farcir du Latex ... oulaa ^^

[Flyingsquirrel]

Bon, du coup, ta méthode tombe à l'eau. Ce qui pose problème pour la cinquième question...

Lire "quatrième" et pas "cinquième"

Sinon, je viens de faire la 5. aussi, donc ça donne:
5. Soit ,
donc, en admettant que f soit dérivable deux fois, on a:

Ça il faut le montrer, pas l'admettre.

.

Attention, le signe ' signifie que l'on dérive par rapport à une variable : ici c'est soit x, soit y mais pas les deux. Comme y ne dépend pas de x, si tu dérives par rapport à x ça revient à considérer y constant donc (f(y))'=0...

Et pour la 6: Les éléments de E sont les fonctions f satisfaisant toutes les conditions vues et/ou montrées précédemment. Les fonctions f(x)=cos(x), f(x)=cos(kx) (k réel), f(x)=1 sont des éléments de E.

f(x)=1 est caché dans les cos(kx), c'est le cas k=0.

donc on conclut en utilisant la condition initiale, c'est çà ?

Oui et non. Ce que tu fais depuis quelques messages c'est vérifier que telle ou telle fonction est dans E alors que pour répondre à la question il faut dire que les éléments de E sont exactement les fonctions solutions de f''=k*f et telles que f(0)=1. Or, la seule fonction solution est f(x)=cos(kx) ce qui donne

Au passage, bravo à sohot qui a détruit toute la mise en page du fil avec une formule LaTeX trop grande

[inviteec581d0f]

lol d'accord =)

Au passage, bravo à sohot qui a détruit toute la mise en page du fil avec une formule LaTeX trop grande

mdr c'est ce que je me disais xD

[invite263d7f23]

Franchement, pour le quatrièmement, après avoir essayé la relation de Chasles ou la dérivation (on ne peut pas dériver à la fois la variable (u+x) et la variable (u-x) )-sans succès-, je commence à me dire que ça doit être quelque chose de tout bête... et là, j'ai vu que pour


Si on pose x=0, on a:


Est-ce valable ?

[Flyingsquirrel]

C'est valable pour x=0, il ne te reste plus qu'à le montrer pour tout x réel non nul.

Pour la méthode par dérivation, il faut calculer F'(u). (donc en dérivant par rapport à u et en considérant x comme constant) Si tu ne sais pas dériver directement une intégrale par rapport à sa borne supérieure, repasse par les primitives :

Soit F_p une primitive de f.
donc F'(u)=...

La même méthode fonctionne pour G, il suffit simplement d'utiliser la relation de Chasles pour découper les intégrales en deux à chaque fois : une intégrale qui ne dépend pas de u (qui disparait donc à la dérivation) et une autre partie qui dépend de u.
Si les bornes te gênent, dis toi que dériver c'est dériver une fonction composée.

[invite263d7f23]

Donc on a le droit de faire comme cela ?
[mode express]





D'où (ce qu'on aurait d'ailleurs pu faire directement avec l'expression donnée dans la consigne, pas besoin de faire la relation de chasles)
, mais là on dérive par rapport à x+u et à u-x, non ? En tout cas, c'est ça qui m'a retenu de poster ma méthode avec la dérivée.

Et comment on rédige ensuite pour dire que F et G sont bien égaux...
F'(u)=G'(u), 2f(x) constant, donc F' et G' ont les mêmes primitives, ce qui revient à dire F=G ?

Sinon, comment on montre que f est dérivable en fait... on nous dit que f est continue sur R, mais ça permet juste de dire que ses primitives sont dérivables sur R (et aussi que f n'est pas forcément non dérivable en n'importe quel point ... ouè). Je sais montrer avec la définition du nombre dérivé, mais ici ça n'aide pas beaucoup.

[Flyingsquirrel]

, mais là on dérive par rapport à x+u et à u-x, non ? En tout cas, c'est ça qui m'a retenu de poster ma méthode avec la dérivée.

Non, on dérive par rapport à u. (mais la notation ' porte à confusion c'est pour cela qu'on utilise de préférence la notation dès que plusieurs variables entrent en jeu)

Si je note h(u)=x+u, f(u+x)=f(h(u)) donc [f(h(u))]'=h'(u)*f'(h(u))=1*f'(h(u))=f' (u+x)

ce qu'on aurait d'ailleurs pu faire directement avec l'expression donnée dans la consigne, pas besoin de faire la relation de chasles

Bien vu.

Et comment on rédige ensuite pour dire que F et G sont bien égaux...
F'(u)=G'(u), 2f(x) constant, donc F' et G' ont les mêmes primitives, ce qui revient à dire F=G ?

Nan . F'(U)=G'(U) ça entraîne F(U)=G(u)+constante. (deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante) Il reste à montrer que la constante est nulle pour avoir F=G.

Sinon, comment on montre que f est dérivable en fait... on nous dit que f est continue sur R, mais ça permet juste de dire que ses primitives sont dérivables sur R (et aussi que f n'est pas forcément non dérivable en n'importe quel point ... ouè). Je sais montrer avec la définition du nombre dérivé, mais ici ça n'aide pas beaucoup.

Pour la question 5 ? Hé bien on peut se servir de ce que l'on vient de faire, on a et on veut montrer que f est dérivable.

une piste :

 Cliquez pour afficher

Si le membre de droite est dérivable par rapport à x alors celui de gauche l'est aussi

[invite263d7f23]

Sinon, je viens de faire la 5. aussi, donc ça donne:
5. Soit ,
donc, en admettant que f soit dérivable deux fois, on a:

On peut enlever les '2', et on factorise par f''(x)f''(y), on obtient donc:

On a donc bien avec k appartenant à R.

Et pour la 6: Les éléments de E sont les fonctions f satisfaisant toutes les conditions vues et/ou montrées précédemment. Les fonctions f(x)=cos(x), f(x)=cos(kx) (k réel), f(x)=1 sont des éléments de E.

du coup, ta méthode tombe à l'eau.

AHH !!! Mais, comment fait-on ?! Enfin...là, ce soir j'ai pas le courage de refaire le 4., mais je finirais bien cet exercice un jour

[Flyingsquirrel]

Salut

Supposons que l'intégrale de f(t) (tel qu'on la voit si bien en latex plus haut) soit égale à 0, cela signifie que f(t)=0

Pourquoi ? f n'est, a priori, pas à signe constant.