[Physique] [L1] Mécanique : balistique-équations horaires

[.:Spip:.]

Cette exo est un ultra classique, tout au moins pour les trois premières questions. J'avoue que la 4eme est plus farfelue , et plus ouverte.



Un canon incliné d'un angle par rapport à l'horizontale effectue le tir d'un projectile à la vitesse . Le sol est supposé horizontal. Le projectile est expulsé à une hauteur


1/ Ecrire la RFD, et en déduire les équations horaires du mouvement x(t) et z(t). Quelle courbe décrit le projectile ?

2/ En déduire la flèche (hauteur maximale du projectile), la portée du tir et la durée du tir.

3/ Pour une cible au sol donnée, combien y a t il d'inclinaisons possible du canon ?

On suppose maintenant le chasseur vise, à une distance d, en haut d'un arbre de hauteur où se situe un singe*. Au moment du tir, le singe (que l'on assimile à un point) décide de se laisser tomber immédiatement du haut de l'arbre (donc sans vitesse initiale).
la distance d est la distance entre le bout du canon et le singe

4/ Question : le singe sera t il touché ? En effet, la balle mets un certain temps pour pour atteindre sa cible, et la cible tombe...
(*Quelle qu'en soit l'issue, le singe est muni d'un gilet pare-balle ^^, il n'est pas question de tuer un animal innocent )

Bon courage
François

[H0bb3s]

Salut,

3/ Pour une cible au sol donnée, combien y a t il d'inclinaisons possible du canon ?

Sa dépend des dimensions de la cible, si la cible est un point alors une seule inclinaison est possible mais si c'est un cercle avec un rayon alors une infinité d'inclinaisons sont possibles (Je me trompe peut être )

[.:Spip:.]

On veut que le projectile atteigne un point en particulier.

Moi, je vise toujours dans le 1000, donc je raisonne tjrs sur un point (ie un point à la cote )

répond donc completement aux questions (mathématiquement je veux dire) et je t'aiguillerai par la suite

[H0bb3s]

ok alors pour la question 1 déja:

D'aprés la deuxième lois de Newton on trouve: a = g

a=dv/dt donc dv/dt =g

On projete sur l'axe des x: vx = C1
Et sur l'axe des z: vz = gt + C2
D'aprés les conditions initiales: vx(o)=C1 et vz(o)=C2
On en déduit que: vx = vx(o) et vz = gt + vz(o)
Or vx=dx/dt et vz=dz/dt
Donc: x(t)= vx(o)t + K1 et z(t)= gt²/2 +vz(o)t + K2
D'aprés les conditions initiales on trouve: K1 = x(o) et K2= z(o)
D'ou les équations horaires du mouvement: x(t)= vx(o)t + x(o) et z(t) = gt²/2 +vz(o)t + z(o)

Le projectile décrit une parabole

[.:Spip:.]

je pense qu'il y a une petite erreur :

interpretons physiquement :
z=gt²/2+ v_z(0)t+z(0)
fait tendre t vers l'infini, que devient z ??? et que te dis ton interpretation physique du phénomène ?
d'où vient l'erreur ?

Autre petit chose : utilise les notations de l'enoncé que vallent v_z(0) et les autres projetés ? fait intervenir l'angle que fait le canon . de plus z(0)=h_0. Notons le comme ca, ca sera plus simple pour la fin je pense.

[H0bb3s]

Pour la question 2

Pour trouver la flèche il suffit d'isoler t dans la première équation:
t = (x(t) - x(o))/vx(o)
Et ensuite on remplace dans la deuxième équation pour trouver zmax, par contre je vais avoir du mal à la calculer vu que tu n'as pas donné de données numériques

Sinon pour la portée du tir: On sait que z(t) = 0 quand le tir a atteint sa cible
Donc on isole t dans la deuxième équation (avec z(o)=0)
On remplace dans la première équation ce qui donne:
xmax= vx(o) . (-2.vz(o)/g) +x(o)

Et pour la durée du tir: t=(xmax-x(o))/vx(o)

voilà j'espère pas m'être tromper j'ai qu'un niveau terminale mais je pense qu'au moins les 2 premières questions sont à ma portée ^^

EDIT: Grilled j'avais pas vu ta dernière réponse je la li ^^

[H0bb3s]

A oui pardon je suis aller un peu trop vite ^^ l'erreur vient du début c'est a=-g (en vecteur). Donc finalement sa donne: z=-gt²/2+ v_z(0)t+h_0

[H0bb3s]

Pour la question 2 aprés correction et si j'utilise les angles:
Avec vx_0=cosAlpha.v_0 et vh_0=sinAlpha.v_0:

Vz(t) = -gt + v_0.sinAlpha
Or quand le projectile atteint sa hauteur maximale Vz(tS) = 0
Donc tS= v_0.sinAlpha/g
On remplace dans la deuxième équation: zmax= -g(v_0.sinAlpha/g)² + cosAlpha.v_0.(v_0.sinAlpha/g) + h_0
On trouve ainsi la hauteur maximale atteinte par le projectile.

Ensuite pour la portée du tir:
xmax=2.xS avec xS la "demi portée du tir" quand le projectile culmine.
xS = tS.cosAlpha.v_0
Or tS= v_0.sinAlpha/g
donc xS = (v_0.sinAlpha/g).cosAlpha.v_0
D'ou xmax=2.(v_0.sinAlpha/g).cosAlpha.v_0

Enfin pour la durée du tir:
t=xmax/(cosAlpha.v_0)

Voilà

[.:Spip:.]

Bon je reprend deux trois trucs:

Alors on a :
d'où par projection :
et

en intégrant :
et

on voit ici que la projection de la vitesse sur l'axe des x, c'est uen constante, d'où l'expression simple de la durée du tir (qui va suivre ... )
et :



Je prefére utiliser l'angle que fait le canon plutot que d'introduire encore plus de notation, surtout pour la 3


> Pour la fleche, je ne suis pas sur de ce que tu avances, qu'est ce qui caractérise la flèche ?

presque ok pour la portée, on cherche t tel que : z(t) =0 ; sauf que z(0)=h_0

La durée du tir, c'est bien ca.

tu vois ici la petite différence entre la termS et la L1, un meme exercice, mais on va le traiter légèrement différemment (l'angle alpha dans les eq par ex) Et puis quand je dis calculer, on donne ce qui permet de calculer ^^ apres suffit c'est d'ordinateur qui calcul, t'as deja vu un physicien faire ca toi ? pas de ce siècle en tout cas

[H0bb3s]

tu vois ici la petite différence entre la termS et la L1, un meme exercice, mais on va le traiter légèrement différemment (l'angle alpha dans les eq par ex)

Oui je vois bien la différence avec les exercices qu'on donne au bac

Et puis quand je dis calculer, on donne ce qui permet de calculer ^^ apres suffit c'est d'ordinateur qui calcul, t'as deja vu un physicien faire ca toi ? pas de ce siècle en tout cas

Ahaha, bah notre prof nous faisait calculer tout ça en DS et même desfois des tableaux entier (avec la méthode d'Euler pour certains truks)

Sinon t'a pas du voir mon dernier post j'ai refait la question 2 avec les angles, tu devais rédiger quand je l'ai posté ^^.

Pour la question 3, il existe une seul angle, on le détermine en faisant: cosAlpha=x/v_0.t mais bon là je suis pas sûr du tout car j'ai jamais eu cette question auparavant

[.:Spip:.]

zmax= -g(v_0.sinAlpha/g)² + cosAlpha.v_0.(v_0.sinAlpha/g) + h_0

je pense que c'est plutot un sin alpha et non un cosinus
car c'est juste l'integration de ca Vz(t) = -gt + v_0.sinAlpha


Piur la portée, j'ai pas trop ce truc : c'est deux fois la moitié etc ... car mon projectille quitte le canon a la hauteru h_0 et fini sa course à z=0 pas symetrique donc.
on cherche simplement(comme tu avais lancé avant) t' tel que z(t') =0 et on reinjecte ce t' dans x(t').

La durée du tir : ok.

reflechit bien pour le nombre d'angle : je t'aiguille.
on a des equations horaires (cool^^). Bon, on me demande le nombre d'angle, donc va falloir regarder alpha.
alpha et puis quoi ? ben on veut que notre projectille arrive en un point precis : x_0 fixé, bien sur à z=0... : c'est une affaire de position ca.

>donc on va peut etre regarder x(t) et z(t)

j'ai dit que l'on va regarder alpha, ca signifie que l'on va le chercher, c'est notre inconnue, le x en maths ...

je te laisse remuer un peu ca, puis tu reviens me voir avec ce que tu as comme equation... de mon coté je vais essayer de te préparer un truc graphique.

François

PS : petit formulaire : 1/cos²(a) = 1+tan²(a) [au passage si tu trouves pas la demo tu me le dis]

[H0bb3s]

je pense que c'est plutot un sin alpha et non un cosinus
car c'est juste l'integration de ca Vz(t) = -gt + v_0.sinAlpha

Ah oui en effet merci

Pour la portée du tir:
z(t')=0
<=> -gt²/2 + sinAlpha.v_0 +h_0 = 0
et on trouve t' = racine de [2(sinAlpha.v_0 + h_0)/g]
On en déduit la portée maximale x(t')= racine de [2(sinAlpha.v_0 + h_0)/g] . cosAlpha . v_0

Pour le nombre d'angles:
-gt²/2 + sinAlpha.v_0+h_0=0
et x(t)=t.cosAlpha.v_0 avec x(t) connu
<=> x(t) - t.cosAlpha.v_0=0
<=> x(t)/t - cosAlpha.v_0=0
Donc je peux dire: -gt²/2 + sinAlpha.v_0+h_0 = x(t)/t - cosAlpha.v_0
-gt²/2 + sinAlpha.v_0+h_0 - x(t)/t + cosAlpha.v_0 =0
Je peux mettre en facteur v_0 mais je vois pas trop comment faire aprés

[.:Spip:.]

alors on va prendre :
x(t_imp)=t_imp.cosAlpha.v_0=x_ imp pour impact

donc t_imp = ...

et ce t_imp, je peux l'injecter dans z(t_imp) ... et j'obtiens quoi, une equation en alpha ... je te laisse poursuivre en utilisant la formule.

on pourra etudier aussi un cas particulier où h_0 = 0

[H0bb3s]

J'obtient:

-g.x_imp².(1+tan²Alpha) + 2(v_0)^3.sinAlpha+2v_0².h_0 = 0

Je vois pas trop quoi faire avec sa

[.:Spip:.]

il y a une erreur.

on doit normalement avoir

z=-1/2 g (x_imp/v_0)² tan²(a) + x_imp tan(a) + h_0+1/2g (x_imp/v_0)² =0
(tente de refaire le calcul posément)


Si tu remplaces tan(a) par X, tu as une équation du second degré...

naturellement, on va faire la calcul du discriminent.
> que peut on dire de son signe (positif, négatif ... )
On va simplifier l'affaire en prenant ensuite h_0=0
> tu vas essayer d'arranger le discriminent (le factoriser ...)
dans quel(s) cas peut il être nul ? positif? négatif ?
> qu'en deduis tu sur le nombre de solution de l'équation et donc le nombre d'angle possible selon les divers cas que tu aura mis en valeur ...

je t'ai detaillé les questions, parce que je sais tres bien qu'au bac on fait pas ca du tout ^^

François

[H0bb3s]

on doit normalement avoir

z=-1/2 g (x_imp/v_0)² tan²(a) + x_imp tan(a) + h_0+1/2g (x_imp/v_0)² =0
(tente de refaire le calcul posément)

J'avais zapper le deuxième t, je retrouve la même chose que toi

pour le discriminant je trouve: Delta= x_imp² + g²(x_imp/v_0)^4
Donc Delta > 0
J'en déduit qu'il y a deux solutions

Aprés je vais peut être dire des bétises mais j'imagine qu'il faut étudier le signe des 2 solutions X1 et X2, on doit trouver un angle négatif et un angle positif donc comme on peut pas tirer sous terre il n'y a qu'un seul angle possible .

[.:Spip:.]

bon, attend j'vais remettre les pendules à l'heure (traduction, je voulais te faire répondre à 2 questions en même temps, dont une que j'ai pas posé, c'etait la parabole de sureté)

deja une erreur de frappe :
z=-1/2 g (x_imp/v_0)² tan²(a) + x_imp tan(a) + h_0-1/2g (x_imp/v_0)²

Bon, pour nos angles, on prend bien h_0 = 0 pr le moment.

on a x = v_0 cos (a) * t
et z=t(-1/2gt+v_0 sin(a) ) =0 là on tire t_imp que l'on réinjecte dans l'eq précedente.

tu peux faire les calculs, et tu verra que x est en sin(2a) (tente de regarder ca , c'est de la trigo)

tu sais que sinus est symétrique autour de pi/2, ici, a sera symétrique autour de pi/4

on peut donc atteindre une cible au sol avec deux angles ex : 30° et 60°. je mets en piece jointe quelques choses de visuel, je pensai que ton sens physique t'aurait indiqué qu'il y avait deux angles, mais apparemment, tu ne pensais pas ca.

pi/4 donne la portée maxi ... en terrain plat et si h_0 est nul. Si tu tires avec un relief, ca change tout...

pour la parabole de sureté, je vais en toucher 2 mots, vu que j'ai laché le mot. on cherche la parabole qui va engober tous les points qui peuvent etre atteint par le projectile. La methode est la suivante, on prend un point de coord : x_1 z_1 et on dit qu'il doit satisfaire l'eq:
z_1=-1/2 g (x_1/v_0)² tan²(a) + x_1 tan(a) + h_0-1/2g (x1/v_0)²

delta doit etre positif ou nul pour avoir des solutions reelles ...

A partir de la on trouve que le point de coord x_1 z_1 peut etre touché si :
z_1 <= v0²/2g - g x_1²/(2*v_0²)

l'egalité donne la courbe limité dire de suretée ...

la on trouve aussi l'angle alpha avec la tangente etc ...

dc desolé d'avoir raté le guidage ici, j'etait parti sur deux questions en meme temps.

ce que je trouve important de comprendre, c'est cette hitoire d'avoir deux angles possibles qui sont symetrique autour de pi/4 dans notre cas simple ici. Apres, qd on prend des cas tordus, ca devient plus compliqué à determiner

voila, tu sera beaucoup plus a l'aise avec ca dans moins de 3 mois, je te le dis ^^

Si tu te sens d'attaque pour la question 4, vas y. il faudra surtout utiliser la premiere question. là encore tu peux jouer en pariant sur la mort ou non du singe


François

PS : je ferai peut etre un petit bilan à la fin pour le gens qui vont relire

[H0bb3s]

Merci pour la correction j'ai refait tout sa et je crois que j'ai compris la méthode, je vais essayer de faire la dernière question.