Démonstrations 1ereS

[invitea250c65c]

Bonjour et merci,

Oui si vous voulez on peut faire ca, mais j'aurai surement d'autres questions a poser qui sortiront du programme qui viendront se caler entre les démos.
Je propose de faire ca dans ce post (on dispose de Latex sur le forum, c'est bien pratique), chapitre par chapitre, et d'une autre couleur pour bien différencier avec mes questions (ou celles des autres).

Je commence alors par le premier chapitre (il n'y a pas grand chose), et puis comme ca vous pourrez me dire ce que vous en pensez et si nous continuons comme ca :

Chapitre 1 : Généralités sur les fonctions : démonstrations

Variations de la fonction :

Soit et deux fonctions définies respectivement sur et et à valeurs dans .
Pour tout de , on a (par définition).
Si et sont croissantes sur un intervalle de , alors est croissante sur : et croissantes sur signifie que pour tous nombres et de tels que , on a et donc et . On peut donc écrire que (somme de deux nombres négatifs) et donc soit .
f est donc croissante sur .
De même, on peut montrer que si et sont decroissantes sur , sera également décroissante sur .
Dans le cas ou et n'ont pas les mêmes variations sur , on ne peut pas conclure diretement.


Variations de la fonction , avec k réel :

Soit une fonction définie sur un intervalle et à valeurs dans . Soit avec k réel. est donc définie sur .
Si , a les mêmes variations que , en effet, soit et deux réels de tels que a<b. Si est croissante sur (ou un intervalle de , il faut alors prendre et de cet intervalle), alors soit soit donc est croissante sur cet intervalle. Donc si est croissante sur , le sera également. On montre de même que étant décroissante sur , f sera également décroissante sur cet intervalle.
On peut procéder de même dans le cas ou (attention à ne pas oublier de changer le signe de l'égalité!), et nous trouvons que a des variations opposées à sur .
Dans le cas ou , est la fonction nulle.


Variations de la fonction :

Soit et deux fonctions à valeurs dans et définies respectivement sur deux intervalles et .
Soit . f est donc définie pour tout et . On note cet ensemble .
Si et sont croissantes sur un intervalle de , alors est croissante sur : en effet, soit deux réels et de tels que , on a et . On pose et , donc, et étant croissante sur , soit soit . f est donc croissante sur .
De même, on montre que si et sont décroissantes sur , est croissante sur , et que si et ont des variations contraires sur (l'une est croissante, l'autre est décroissante), est décroissante sur .


Fonction associée et translation : :

Soit u une fonction définie sur (nous prenons pour simplifier, nous aurions très bien pu prendre un intervalle de ) et à valeurs dans et soit (donc définie et a valeurs dans ).
Soit et les courbes représentatives de et dans un repere .
Cf est la translatée de Cu par la translation de vecteur :
Soit le point d'abcisse et le point d'abcisse (, et réels).
On a alors et c'est à dire .
Donc soit donc .
Cf est donc la translatée de Cu par la translation de vecteur .



Voila, c'était le premier chapitre, il n'y a pas beaucoup de démonstrations je crois que je n'ai rien oublié, enfin on peut montrer qu'une fonction paire admet comme axe de symétrie l'axe des ordonnées et qu'une fonction impaire admet comme centre de symétrie l'origine, mais c'est presque déjà une définition.
C'est un peu répétitif il faut le dire (soit deux fonctions de dans ... ), mais bon au moins c'est fait les autres chapitres sont plus sympas.

Qu'en pensez vous? On continue comme ca? Je laisse à d'autre le plaisir de faire les chapitres suivants (beaucoup de Latex pour la factorisation du trinome du second degré ) et je reste également à disposition si vous avez besoin d'une démo.
Une fois que tout sera fini nous pourrons tout regroupper (avec l'option citer on récupère le code Latex) dans un seul topic si vous le voulez.

A+
-----

[invitec053041c]

Chapitre 2: résolution d'équations du second degré

Quelques Rappels préliminaires:

Pour tout a,b réels:

Pour , si AB=0, alors A=0 et/ou B=0
Pour a non nul, ax+b=0 =>

Mise sous forme canonique:

Pour a non nul, la seconde identité remarquable (2) permet d'écrire:



En d'autres termes, on reconnaît le début de l'identité remarquable (2), et l'on retranche ce que l'on n'avait pas au départ ( On pourra tout développer pour vérifer que l'égalité est bien vérifiée).

Equation du second degré:

On souhaite résoudre,pour a,b,c réels donnés, l'équation d'inconnue x:


Avec a non nul, sinon l'on retombe sur une équation du premier degré.

(a un sens car a non nul)
(mise sous forme canonique)
(mise au même dénominateur des fractions, attention aux erreurs de signe)

Ici, il faut alors différencier plusieurs cas:
Le signe de ne dépend que du signe du numérateur (car le dénominateur est positif), on note donc .

1er cas

Si , alors , donc m est un carré d'un nombre réel et l'on peut noter .

Ainsi,
(utilisation de l'identité (1), différence de deux carrés)
car , et on remplace par

On veut donc résoudre:
(en simplifiant par a, car a non nul)

On a donc le produit de deux termes nuls, cela implique que l'un ou/et l'autre est nul:
(équation du premier degré) =>
(équation du premier degré) =>

2nd cas

Si , cela revient à résoudre:

(en simplifiant par a car a non nul)
On obtient une équation du type A²=0, impliquant que A soit nul.
Ainsi:
donc

3ème cas

Si

Alors m<0, et l'on obtient une équation de la forme: X²+m²=0, ie X²=-m²<0
N'a pas de solution dans IR.


En résumé

Pour résoudre avec a non nul,
On pose

.Si , on obtient 2 solutions

.Si on obtient une seule solution

.Si <0, pas de solutions réelles.


NB: on peut regrouper les cas où delta est nul et positif, auquel cas on se rend bien compte de la notion de racine "double", mais c'est ici un détail.

On pourra également faire un complément sur la factorisation de polynômes de degré 2.

[invitea250c65c]

Je vais essayer de faire le petit complement, je poste bientot ca.

[sailx]

Si j'ai bien compri, vous voulez les démonstrations des "truc" vue au cours de la 1ere ?
Si c'est le cas, je veux bien apporter mon grain de sel ? J'ai deux trois trucs sur les suites... Je peux poster des démonstration si vous voulez. (mais je sais pas sur quel chapitre on peut caser ça...
Au faite, je pense que l'idée est trés bonne. c'est trés intéréssant

[invitec053041c]

Oui, on mettra ici les démonstrations importantes à connaître et les trucs en rapport à un chapitre. C'est pour ça qu'Electrofred a eu la très bonne idée de mettre une couleur par thème (chapitre), car on pourra rajouter à souhait des éléments. Le tout pourra être condensé dans un document.
Merci de ta contribution , à suivre...

ps: tu peux ouvrir un chapitre "suites".

[invitea250c65c]

Voici un complément pour le second degré :

-Représentation graphique du trinome :

Soit ().
La représentation graphique (en coordonnées cartésiennes) de ce polynome est une parabole de sommet .
On a vu que l'on pouvait écrire avec .
On en déduit donc que la courbe représentative de P(x) dans un repère est la translatée de (représentation graphique de dans ce repère) par la translation de vecteur .
La courbe représentative de est donc une parabole (car est, par définition, une parabole).
De plus, nou savons que admet comme sommet l'origine du repère (on peut cela avec les dérivées, mais on ne l'a pas encore vu, sinon on peut simplement le faire en montant que pour tout x réel, est supérieur ou égal à 0 () et s'annule en ), et donc le sommet de la parabole représentative de est le point (translaté de l'origine par la translation de vecteur , la translation conserve les variations). Nous retrouvons le même résultat en étudiant la dérivée de et en montrant que le point est soit le minimum ou soit le maximum (dépend du signe de ) de .


-Somme et produit des racines :

Dans le cas ou , P(x) admet deux racines réelles : et .
On remarque que et que
Ainsi, sachant que le trinome admet deux racines réelles et en connaissant une (racine évidente), on peut en déduire facilement la deuxième.


Il ne reste plus que l'étude du signe du trinome, si quelqu'un sait faire les tableau de signe sous Latex ...

Je me propose de faire tout sur la dérivation et les dérivées (y compris démos complètes des dérivées des fonctions trigo et des opérations sur les dérivées (dérivée d'une somme, d'un produit, d'un quotient et d'une fonction composée)), mais je ne sais pas si j'aurai le temps de tout faire, je pars après demain pour une semaine de vacances.

A+

[invitec053041c]

D'accord c'est pas un problème.On complètera s'il manque des choses. Pourrais-tu dire quels sont les principaux chapitres de 1ère s? Car je n'ai pas de livre de 1ère s (barycentres,suites,généralité sur les polynômes...).
Merci.

[inviteec581d0f]

Bonjour à Tous!

Et un grand merci pour toutes les contributions et votre participation à ce topic Pour une petite idée concernant les chapitres je vous propose ceci:

I/ Suites numériques

1. Définition d'une suite numérique
2. Suites explicites, suites récurrentes
3. Comportement global d'une suite
4. Suites arithmétiques
5. Suites géométriques


II/ Rappels et compléments sur les fonctions

1. Le vocabulaire des fonctions
2. Sens de variation
3. Extrema, majorants et minorants d'une fonction
4. Fonctions paires, impaires
5. Fonctions périodiques
6. Opérations sur les fonctions


III/ Polynômes

1. Les fonctions polynômes
2. La fonction trinôme du second degré

IV/ Limites de suites

1. Suites convergentes
2. Suites divergentes
3. Théorèmes de comparaison
4. Opérations algébriques sur les limites
5. Limite d'une suite géométrique

V/ Nombre dérivé

1. Introduction
2. Nombre dérivé
3. Tangente
4. Approximation affine

VI/ Fonction dérivée

1. Fonction dérivée
2. Opérations sur les fonctions dérivables
3. Fonction dérivée et sens de variation
4. Extremum local et dérivée
5. Equation f(x)=0

VII/ Comportement asymptotique

1. Limite en + l'infini
2. Limite en - l'infini
3. Limite en a
4. Limites et opérations

VIII/ Barycentres

1. Barycentre de deux points pondérés
2. Barycentre de trois ou quatre points pondérés

IX/ Angles orientés - Repérage polaire

1. Angles orientés de vecteurs
2. Trigonométrie
3. Repérage polaire

X/ Produit scalaire + Application du Produit scalaire

XI/ Transformations

1. Rappels et compléments sur les transformations
2. Une nouvelle transformation : l'homothétie
3. Transformations et conservation des propriétés




Ces plans sont issus de mon cours de première S Un grand merci à mon prof de maths

[sailx]

je n'ai pas fait dans le même ordre, mais c'est à peu prés ça. Il manque cependant les statistiques et les probabilités.
(je travail sur les suites;.. mais c'est dur le LaTex...)

[inviteec581d0f]

Moi aussi je viens de me mettre au latex et j'avoue que c'est compliqué XD

[invitec053041c]

C'est un coup à prendre, et il est très recommandé d'abuser des copier/coller pour des démonstrations où une expression est récurrente .

[sailx]

Bon alors, je vais faire un petit truc alors.

CHAPITRE :LIMITES DES SUITES

Je suppose que les définitions sont connus.

Suite Arithmétiques :

Soit la propriété suivante : Pour toutes suites arithmétques, (ou encore, ou k est le premier termes)

Démonstration :(on utilisera la récurence)
Soit une suite arithmétique de raison r
On considere la propriété definie pour :

Avec on voit tout de suite que la propriété est vérifié. est donc vraie
La définition de la suite arithémtique nous donne :
avec la propriété , on obtient
Or, ceci est
La propriété est donc vraie à tout rang.

Suites Géométriques

Soit la propriété suivante : Pour toutes suites géométriques,

Démonstration(on utilisera une fois de plus la récurence)
Soit une suite Geométrique de raison q.
Si ou , c'est la suite nul.
Soitet
On considere la propriété definie pour :

Si alors,
La proprétée est donc vérifiée pour . on peut donc dire que est vraie.
D'aprés la définition d'un suite géométrique, on à :

En appliquant , on à

Soit ce qui est
La relation est donc vrai à tout rang.


Aprés, y'a tout ce qui concerne les limites, mais là, c'est un peu plus long... Mais sinon, sur le chapitre des suite, je ne voit pas quoi mettre en plus...

[invitec053041c]

Le petit problème c'est que le principe de récurrence n'est vu qu'en terminale...

[sailx]

oui, je sais... mais comment faire autrement ?
Peut être qu'en enlevant le raisonnement par récurence on peut rendre ça compréhensible ?

[invitec053041c]

Tu as eu raison ,car j'ai le souvenir que c'était montré avec les mains en 1ère. C'est assez intuitif dira-t-on.

[inviteec581d0f]

Je propose un petit Complément

Suite CHAPITRE :LIMITES DES SUITES

I/ 2 Définitions de suites

Il y a deux façons de définir une suite:

1. Suites définies explicitement
   Les suites suivantes sont définies de manière explicite :
   ou encore avec
   On peut calculer n'importe quel nombre de la suite sans calculer les précédents
   par exemple:
   
2. Suites définies par récurrence
   Ces suites sont différentes...
   Un exemple de suite définie par récurrence :
   
   
   pour tout

II/ Sens de variation

• Croissante
  
  Si est croissante, cela signifie que pour tout , on a :
  
• Décroissante
  
  Si est décroissante, cela signifie que pour tout , on a :

III/ Suite géométrique

Si une suite est dite géométrique, cela implique qu'il existe un réel tel que pour tout , . Ce réel est appelé raison de la suite.

Pour des réels et quelconques, on a:

(démonstration nécessaire )

---Somme de termes consécutifs---

On pose la somme de termes consécutifs d'une suite géométrique de raison (avec ).



Alors,

IV/ Suite arithmétique

Si une suite est dite arithmétique, cela implique qu'il existe un réel tel que pour tout , . Ce réel est appelé raison de la suite.

Pour des réels et quelconques, on a:

(démonstration aussi nécessaire )

---Sommes de termes consécutifs---

On pose la somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique,



Alors,

Voilà, celà fait office d'un petit rappel.. et celà vient en complément au post de sailx

[inviteec581d0f]

Un petit petit complément

Comment faire pour étudier le sens de variation d'une suite ??

Première possibilité:

-On peut étudier le signe de ,
Si,

Alors donc la suite est dite décroissante.

Si,

Alors donc la suite est dite croissante.

Deuxième possibilité:

Ecrire , et étudier les variations de cette fonction sur l'intervalle . Les variations de sont les mêmes que celles de la suite. Donc si est croissante, donc est croissante. De même si est décroissante, donc est décroissante.

Troisième possibilité:

Pour une suite à termes strictements positifs, On compare et 1.

Si alors donc est une suite décroissante.


Si alors donc est une suite croissante.


Voilaa

[sailx]

mais c'est carrement tout le cour que tu a sortir
En tout cas, pour les trucs ou tu dit qu'il faut une démonstration, il suffit de bidouiller un peu mes démonstration et sa passera.
Ensuite, pour les propriété que j'ai démontré avec le raisonnement par récurence, j'ai regarder dans un bouquin de 1er et c'est pas vraiment expliquer. On bidouille mais c'est pas trés rigoureux.
Peut être aussi serait il intéréssant de mettre les démonstration des sommes de n termes d'une suite nan ?
Ensuite, pour les limites de suites, y'a le théoréme des gendarmes/encadrements, justifier les limites usuel (pourquoi tel suite converge vers 0, etc...) notament lezs suites Arith et Geom. aprés... je sais plus trop...
0 si, on parle de la moyenne géomtrique ? (pas encore compris à quoi elle servait...) pour les arithm et pour les Geom.

[inviteec581d0f]

Oki j'essaye de faire quelques recherches sur les moyennes pour le reste je me met au LaTeX et j'essaye de faire les démonstrations

[inviteec581d0f]

I/ Somme d'une suite arithmétique

On pose S la somme des n premiers entiers naturels, avec

donc,



Cette équation est équivalente à celle-ci :



En faisant On obtient :

+
______________________________ ______________________________ ______________________________ __
=

donc



donc



d'où



ce qui équivaut à

Pour la somme de k termes consécutifs d'une suite arithmétique

II/ Somme d'une suite géométrique


On pose S la somme des n premiers entiers naturels, avec de la suite géométrique de raison :

Les premiers termes de la suite sont:



Donc



Donc






De façon similaire, on démontre que

D'où

CQFD

[invitec053041c]

Comment ça de façon similaire?

Pour moi la démonstration de cette somme vient de l'identité remarquable:



D'où:


Et en remplaçant a par 1 et b par q, on obtient bien la somme escomptée .

Sinon,attention sailx, la moyenne géométrique de deux nombres (de même signe) a et b est:
Et on retrouve facilement que pour une suite géométrique.
Cordialement.

[invitea250c65c]

Bonjour,

Voici le chapitre sur la dérivation et les fonctions dérivées. J'ai mis au début une petite démo sur le coefficient directeur parce que le nombre dérivé se base dessus et je ne sais pas si on démontre beaucoup ca en seconde (nous on ne l'avait pas démontré). Pour les démos des quatres dérivées usuelles qu'il manque, je propose qu'on le fasse plus tard (après les suites et la trigo, ou éventuellent faire une page "compléments" dans laquelle on ajouterai des choses un peu hors programme, déjà que la dérivation d'un quotient, d'une composée et ce que j'ai démontré sur les variations de en fonction du signe de ce n'est pas au programme il me semble, mais comme on s'appuie beaucoup dessus j'ai préféré le démontrer).

Nombre dérivé et dérivation :

-Rappels sur le coefficient directeur :
Le coefficient directeur de la droite passant par les points et est :
(AB) passe par A et B et son équation est de la forme . On a donc :


On peut donc soustraire les deux lignes du système,, on obtient , donc .


-Equation de la tangente :

Par définition, le nombre dérivé de la tangente à (courbe représentative de ) en (, l'ensemble de définition de ) est le nombre dérivé de en .
L'équation de la tangente à au point d'abcisse est donc de la forme y=f'(a)x+p. Déterminons p :
On sait que la tangente à au point d'abcisse passe par le point .
On a donc , soit
L'équation de la tangente en a au point d'abcisse a est donc .


-Si et si est dérivable en et si , alors on a , avec
On a donc et on pose et donc , soit , avec .
On montre réciproquement que si est une fonction définie sur , si et appartiennent à et si on a , avec , alors est dérivable en et on a .


-Le signe de la dérivée et les variations de la fonction :

Supposons que est une fonction croissante définie et dérivable sur un intervalle .
Soit les points A et B de d'abcisses respectives et avec . On a donc ( est croissante sur ).
Le coeffcient directeur de la droite (AB) est donc . On a m>0 car et ( et ).
Si on fait tendre b vers a, on a (car on a toujours et ).
Donc quand est croissante sur , sa dérivée est positive sur cet intervalle.
On montre de la même façon que si est décroissante sur sa dérivée est négative sur cet intervalle.
Nous pouvons donc repérer un extremum local de la fonction en étudiant sa dérivée : lorsque celle ci s'annulle et change de signe, cela signifie que la fonction admet en ce point un extremum local (car il y a changement des variations de la ).


-Dérivées des fonctions usuelles :

A partir de la définition du nombre dérivé, on peut démontrer certaines dérivées de fonctions usuelles (a et b sont des constantes réelles):

Si (une constante réelle), alors f'(x)=0
Si (a et b des constantes réelles), alors
Si alors
Si alors
Si alors
Si alors

D'autres dérivées s'obtiennent plus difficilement, on retiendra que (voir les démonstrations supplémentaires, qui ne sont pas au programme):
Si alors
Si alors
Si alors
Si alors
(On démontrera les dérivées des fonctions cosinus, sinus et tangente quand nous aurons démontré les formules d’addition du sinus et du cosinus et nous démontrerons plus tard (éventuellement à l’aide des suites ou par récurrence) la dérivée de la fonction puissance)

-Opérations sur les dérivées :

Soit et deux fonction définies et dérivables sur

Dérivée d'une somme :
On a :





Dérivée d'un produit :
On a






On en déduit facilement que avec une constante réelle.

Dérivée d'un quotient :

On a





Or et
On reprend et on a donc
Or donc
On a donc
On en déduit facilement que


Dérivée d'une fonction composée :

On a

On pose
Donc
On reprend et on peut écrire que


Or et . On peut donc ércire :


Donc , ...



Alors c'est bien? y'a tout? j'en ai peut etre oublié parce qu'il y en a pas mal sur ce chapitre (il ne me semble pas mais bon).

[sailx]

Dérivée d'un produit :
On a

Il y à un probleme là avec les balise du LAtex. C'est le seul truc que j'ai remarqué.
Sinon, Ledescat si j'ai mis la moyenne geométrique, c'est que je l'ai dans mon cour. Mais je ne sais absolument pas à quoi elle sert. Et je n'ai jamais vu ta formulation... Je ne l'ai même jamais utiliser... (ça sert à quoi ce machin ?). Je ferai un tour sur Wikipedia pour combler mes lacunes.

[invite43bf475e]

Il me semble que c'est ca, tu as utilisé le taux de variation à chaque fois, mais il faut bien préciser que tu veux montrer que ta fonction est dérivable, pour tout réel x quelconque, dans un intervalle I, en démontrant que lim [f(x+h)-f(x)]/h, avec h->0, est égale à : f'(x)...

Pour la fonction composée :

Hypothèses

¤u étant dérivable en J, soit a un réel dans J, alors u est dérivable en a pour tout réel x diff de a :
lim(x->a) [u(x)-u(a)]/(x-a) = u'(a)

¤De même, f étant dérivable sur J dc pr tout réel b de J et pr tout x diff de b :
lim(x->b)[f(x)-f(b)]/(x-b) = f'(b)

¤u(x) appartient à J

Démo

On veut démontrer que f o u est dérivable sur I donc que :

lim(x->a)[f o u(x)-f o u(a)]/(x-a) = u'(a) x f'(u(a))

On a :

[f o u(x)-f o u(a)]/(x-a) = [f o u(x) - f o u(a)]/[u(x)-u(a)] x [u(x)-u(a)]/[x-a]

Au passage à la limite on obtient :

*lim(x->a)[u(x)-u(a)]/[x-a] = u'(a)

*On pose X=u(x) et b=u(a)
d'apres l'hyp : lim(X->b)[f(X)-f(b)]/[X-b] = f'(b)

= lim(x->a)[f(u(x))-f(u(a))]/[u(x)-u(a)] = f'(u(a))

Cava? Vous arrivez à me comprendre?! je sais que c'est pas facile à comprendre avec cette écriture!

[invitec053041c]

Il y à un probleme là avec les balise du LAtex. C'est le seul truc que j'ai remarqué.
Sinon, Ledescat si j'ai mis la moyenne geométrique, c'est que je l'ai dans mon cour. Mais je ne sais absolument pas à quoi elle sert. Et je n'ai jamais vu ta formulation... Je ne l'ai même jamais utiliser... (ça sert à quoi ce machin ?). Je ferai un tour sur Wikipedia pour combler mes lacunes.

Il existe plusieurs moyennes différentes (arith./géom.) comme il existe différents types de distances en maths (| | pour les réels, distances entre matrices etc...)
Tout dépend de l'utilisation que l'on veut en faire...

[inviteba9bce0d]

Complément pour les suites:

Somme de suite arithmétiques:

On cherche à calculer

On à donc:



Or, comme la dit Kimuto,







Soit:

Voilou.

[inviteec581d0f]

Je m'excuse pour cette absence mais j'ai eu quelques bugs pour poster un message ce qui fait que j'écrivais dans le vide... je m'y mets

[inviteec581d0f]

Petit Complément : Limite d'une Fonction Composée

C'est un petit théorème très utile permettant d'épargner des pages et des pages de calculs je l'ai utilisé plein de fois

Il s'énonce ainsi :

Si



et Si

Démonstration

Pour la démonstration, qui est super je trouve on peut le faire ainsi :

Quand tend vers , les nombres se rapprochent de plus en plus de car on a :

Si

Cependant,

quand les nombres se rapprochent de , les nombres se rapprochent de vu que

et Si

Donc on a bien:



Voilaa

CQFD

[inviteec581d0f]

Y'a-t-il encore quelqu'un ??

[invitec053041c]

Oui mais il fait chaud .