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Démonstrations 1ereS

  1. Electrofred

    Date d'inscription
    juillet 2005
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    Région Parisenne
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    27
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    Arrow Démonstrations 1ereS

    Bonjour a tous,

    Alors voila, pdt les vacance, j'en profite pour démontrer des choses que l'on n'a pas démontré en classe.
    Deja mes premieres questions, au sujet des dérivées:

    Comment démontre-t-on que (uv)'(x)=(u'v)(x)+(v'u)(x)?

    En fait j'ai trouvé une démo dans mon livre, mais je n'ai pas tres bien compris parce qu'a un moment, on rajoute dans le calcul deux termes qui s'annulent au final donc voila ce n'est pas tres clair et j'aimerai voir comment faire ca.

    Moi, ce que j'ai fait, c'est que j'ai calculé le taux d'accroissement entre x et x+h de la fonction (uv)(x):

    Pour tout h différent de 0:



    mais apres je ne vois pas trop comment faire.

    Pourriez vous me donner une piste svp.

    Puis apres j'essayerai de faire pareil avec la dérivée d'un quotient.

    Merci d'avance.

    -----

     


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  2. Calvert

    Date d'inscription
    février 2007
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    Re : Démonstrations 1ereS

    Salut!

    Tu as bien:

    .

    Par contre, il est erroné d'écrire que (uv)(x+h) = u(x+h)v(x+h).

    Par exmple, prends la fcontion composée f(x) = (2x)2 = u(v(x)), avec v(x) = 2x et u(y) = y2. Ainsi, f(x+h) = (2(x+h))2 = 4x2 + 8xh + 4h2.

    Ceci n'est pas égal à u(x+h)v(x+h) = (2(x+h))22(x+h).

    Pour poursuivre ta démonstration, tu peux essayer de poser une variable intermédiaire: y0 = v(x), y=v(x+h), et de multiplier ta définition de la dérivée par

     

  3. Electrofred

    Date d'inscription
    juillet 2005
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    Re : Démonstrations 1ereS

    Bonjour et merci,

    J'ai peut etre mal compris ta reponse, mais dans mon cas, il s'agit non pa d'une fonction composé (v°u)(x) mais d'une fonction produit (u*v)(x).
    Et on a bien (u*v)(x)=u(x)v(x) (donc (u*x)(x+h)=u(x+h)v(x+h)) non?
     

  4. Calvert

    Date d'inscription
    février 2007
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    2 227

    Re : Démonstrations 1ereS

    Oui, désolé, je l'ai remarqué en rentrant chez moi... J'ai mal lu ton problème, et du coup mal répondu.
    Alors, reprenons.

    On a donc:



    Tu avais parfaitement raison.

    Ensuite, l'idée est d'écrire le numérateur comme:



    Avec ceci, tu devrais pouvoir t'en sortir!
     

  5. Ledescat

    Date d'inscription
    janvier 2007
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    Re : Démonstrations 1ereS

    Je ne vois pas ce que tu veux dire Calvert, tu as dû confondre avec les fonctions composées.
    (uv)(x)=u(x).v(x) par définition.
    de même que (u+v)(x)=u(x)+v(x).

    Si tu développes, tu peux remarquer que:


    donc


    Je sors v(a) [ car ta fonction exige quand même un minimum d'être continue] D'où


    Ici, on a donc ajouté 0, ça peut sembler stupide, mais en fait celà permet de faire apparaître un nouveau nombre dérivé, on fera la même chose pour les dérivées des fonctions continues (sauf que là on multipliera par 1 )
    Cogito ergo sum.
     


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  6. Ledescat

    Date d'inscription
    janvier 2007
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    Re : Démonstrations 1ereS

    Citation Envoyé par Ledescat Voir le message
    la même chose pour les dérivées des fonctions continues
    COMPOSEES pas continues...
    décidemment, ça se voit que c'est la fin de la semaine
    Cogito ergo sum.
     

  7. Calvert

    Date d'inscription
    février 2007
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    2 227

    Re : Démonstrations 1ereS

    D'ailleurs, autant mon premier poste parlait effectivement des fonctions composées, autant mon deuxième fait la même chose que le tien, avec la notation f(x+h)-f(x) avec h tend vers 0 au lieu de f(x) - f(a) avec x tend vers a...
     

  8. Ledescat

    Date d'inscription
    janvier 2007
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    Lyon
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    4 541

    Re : Démonstrations 1ereS

    Oui je me suis rendu compte que tu l'avais montré aussi en postant,car j'avais pas actualisé la page =)
    Ouf on arrive au meme resultat! héhé
    Cogito ergo sum.
     

  9. Electrofred

    Date d'inscription
    juillet 2005
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    Re : Démonstrations 1ereS

    Bonjour et merci,

    J'ai réussi la demo je vous remercie.
    Sinon la on fait la trigo et donc je me disais que je pourrais essayer de montrer une ou deux choses.
    Pour les formules d'addition et de duplication, j'ai bien compris.
    On l'a fait avec les sinus et cosinus, et j'ai démontré chez moi de telles formules pour les tangentes.
    En fait j'ai
    Soit , puis je divise le numérateur et le dénominateur par cos(a)cos(b) (ce qui revient a diviser par 1) et au final je trouve puis j'en déduis tan(a-b) et tan(2a).

    Je me demandais donc s'il existait d'autrs formules interessantes que je puisse démontrer, je pensais par exemple, comme j'ai les formules d'addition et de soustraction, a exprimrer cos(ab) et sin(ab) en fonction de cos(a), cos(b), sin(a) et sin(b), même si dans la pratique je ne pense pas que ca me servira bcp, sauf si j'ai des lignes trigo avec des a calculer.
    Evidemment, je pensais aussi a expimer cos(a/b) en fonction de cos(a) et cos(b), ca ca peut etre bcp pluspratique, par exemple si je veux calculer un cosinus sans pi dedans.
    Mais je ne sais pas si de telles formules existent et si je peux a mon niveau les démontrer, car j'en ai trouvé pas mal mais aucune sur les produits et les quotients.

    Je vous demande donc votre aide, ou si vous avez un lien interessant ou il y ait des démonstrations de formules de trigo.
     

  10. Nox

    Date d'inscription
    janvier 2006
    Messages
    1 627

    Re : Démonstrations 1ereS

    Bonjour,

    on utilise aussi cos(p)cos(q) qiuse déduit des formulkes d'additions et de même sin(p)cos(q) ...
    sinon je n'en connais pas d'autres ...

    Cordialement,

    Nox
    Nox, ancien contributeur des forums de maths et de chimie.
     

  11. Electrofred

    Date d'inscription
    juillet 2005
    Localisation
    Région Parisenne
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    1 015

    Re : Démonstrations 1ereS

    Bonsoir et merci,

    J'ai trouvé d'autres formules et j'ai réussi a en démontrer.
    Sinon tant que j'y pensepour revenir sur les dérivées je voudrais savoir cmt faire pour deriver . En fait je connais le résultat mais je ne sais pas cmt on le demontre.
    Est ce que ca utilise la récurrence? Parce qu'on l'a pas encore vu mais on devrait bientot le faire.

    Merci d'avance.
     

  12. Magnétar

    Date d'inscription
    août 2006
    Localisation
    Paris
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    572

    Re : Démonstrations 1ereS

    Oui en 1èreS par récurrence

    -Tu vérifies que (x^n)'=nx^(n-1) pour n=1,

    -Puis tu suppose que ta relation est vrai pour un n donné et tu montre que si elle est vrai pour un n donné elle est vrai pour n+1 (on dit donc qu'elle est héréditaire).

    -Et une fois que tu as montré ça tu as que ta relation est vrai pour n=1 et donc comme elle est héréditaire elle est vrai pour n=2, puis n=3 etc... et par suite qu'elle est vraie pour tout n
     

  13. Electrofred

    Date d'inscription
    juillet 2005
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    Région Parisenne
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    1 015

    Re : Démonstrations 1ereS

    Bnjr et merci,

    Donc c'est bien avec la récurrence, je ne vais pas essayer de le faire maintenant parce qu'on commence le chapitre ds 2 semaines dc j'en profiterai pr faire en + cette démonstration.

    J'avais une autre démonstration a vs proposer:
    Dans un repere (O;i;j) orthonormal, deux droites (D1) et (D2) d'équations respectives y=ax+b et y=a'x+b' st perpendiculaire SSI aa'=-1.
    Apparamment on voyait ca en seconde avant, mais ca a été supprimé du programme. J'ai dc essayé de le demontrer.

    Alors je commence par démontrer que 2 droites d'équations y=ax et y=a'x st perpendiculaires SSI aa'=-1 (voir piece jointe).
    Ensuite, je démontre que lorsque l'on effectue un changement de repere en conservant les mêmes vecteurs unitaires, les coeff directeurs de (D1) et (D2) restent les mm qu'on exprime l'équation des droites dans (O;i;j) ou (S;i;j) (le nouveau repere). Je n'ai pas mis cela dans la piece jointe.

    J'en conclue:
    AA'=-1 dans (S;i;j) (A et A' st les coeff directeurs des droites ds (S;i;j))
    signifie aa'=-1 dans (O;i;j)
    Donc, d'apres la démo en piece jointe, les droites st perpendiculaires.

    Ca a l'ai de tenir debout, mais je me demande s'il n'y a pas moyen de determiner ca sans passer par le repere (O;i;j) ou on demontre avant que les droites passant par l'origine st perpendiculaires SSI aa'=-1.je voulais essayer directement avec des droites d'équation y=ax+b, mais il aurait fallu determiner leur point d'intersection, réintroduire d'autres coordonnées, ... , et les calculs s'averaient plus longs.

    Merci d'avance.
    Fichiers attachés
     

  14. Calvert

    Date d'inscription
    février 2007
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    Re : Démonstrations 1ereS

    Salut!

    N'ayant aucune connaissance du système scolaire français, je ne sais pas ce que tu devrais savoir, excuse-moi donc si tu ne connais pas les concepts ci-dessous.

    Tu calcules deux vecteurs directeurs, un pour chacune des droites, puis tu vérifies que leur produit scalaire vaut 0.

    Une demi-ligne de calcul, et c'est fait.
     

  15. Electrofred

    Date d'inscription
    juillet 2005
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    Région Parisenne
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    1 015

    Re : Démonstrations 1ereS

    Bnjr et merci,

    Oui je connais en effet le produit scalaire, je l'ai vu cette année, mais comme apparamment on voyait cette propriété (aa'=-1) avant en seconde, je me suis dit que je pourrais essayer de le demontrer en plus, même si je ne m'en servirai peut etre jms.
     


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