devoir maison

[invite8b888598]

bonsoir , pouvez vous regarder svp

on considere la fonction f définie sur l'intervalle ]0 ; 6[ par
f(x) = x -6 + ((12x+9)/x²)


1er partie

on considere la fonction g definie sur R par g(x) = x³-12x-18

1) etudier les variations de la fonction g

g'(x) = 3x²-12
3x²-12 = 0
3x² = 12
x² = 4
donc x= 2 ou x= -2

on fait donc le tableau de variation on trouve croissant de ]-l'infinis ; -2 ]
et decroissant de [-2 ; 2 ] pui croissant de [2 ; l'infinis[

2) en déduire le signe de g sur l'intervalle [0 ; 2]

j'ai juste a dire que [-2 ; 2 ] est décroissant donc [0,2] est decroissant c'est logique je vois pas d'autre methode a le prouver

3) montrer que l'equation g(x) =0 possede une unique solution sur l'intervalle [2 ; 6]

g'(x) = 3x²-12 > 0

g(2) = -34 et g(6)= 126
donc 0 appartient [g(2) ; g(6) ]
g(x) = 0 possede une unique solution x0 sur [2;6]

4) determiner une valeur approchée a 10^-2 pres de cette solution a l'aide de la calculatrice

j'ai trouvé entre [4,05 ; 4,06]

5) en deduire le signe de g sur [0 ; 6 ]

tableau ou le 2 s'annule et ou entre [0;2] negative puis [2;6] possitive


2eme partie

6) calculer f' et l'ecrire sous forme de quotient

f(x) = x -6 + ((12x+9)/x²)
1 +12x²-2x (12x+9) / (x²)²
1 + 12x² -24x² -18x /(x²)²
-12x² + 1 -18x / (x²)²
x(-12x-18)+1 / (x²)²

7) justifier que f' a le meme signe que la fonction g

j'ai pas reussi :s

8) en utilisant les resultats de la 1er partie dresser le tableau de variations de la fonction f sur son ensemble de définition

pas reussi :s

pouvez vous vérifier svp
-----

[Duke Alchemist]

Bonsoir.

on considere la fonction f définie sur l'intervalle ]0 ; 6[ par
f(x) = x -6 + ((12x+9)/x²)

on considere la fonction g definie sur R par g(x) = x³-12x-18

1) etudier les variations de la fonction g

g'(x) = 3x²-12
3x²-12 = 0
3x² = 12
x² = 4
donc x= 2 ou x= -2

on fait donc le tableau de variation on trouve croissant de ]-l'infinis ; -2 ]
et decroissant de [-2 ; 2 ] pui croissant de [2 ; l'infinis[

OK. Attention cependant aux intervalles qui restent ouverts

2) en déduire le signe de g sur l'intervalle [0 ; 2]

j'ai juste a dire que [-2 ; 2 ] est décroissant donc [0,2] est decroissant c'est logique je vois pas d'autre methode a le prouver

Attention à la confusion entre signe et variation !
Tu sais qu'elle est décroissante sur cet intervalle pour déterminer le signe, il te faut déterminer g(0) et g(2).
En l'occurence, g(0)<0 donc g(2) aussi (normalement puisque g est décroissante)

3) montrer que l'equation g(x) =0 possede une unique solution sur l'intervalle [2 ; 6]

g'(x) = 3x²-12 > 0

g(2) = -34 et g(6)= 126
donc 0 appartient [g(2) ; g(6) ]
g(x) = 0 possede une unique solution x0 sur [2;6]

OK

4) determiner une valeur approchée a 10^-2 pres de cette solution a l'aide de la calculatrice

j'ai trouvé entre [4,05 ; 4,06]

On demande une valeur pas un intervalle !

5) en deduire le signe de g sur [0 ; 6 ]

tableau ou le 2 s'annule et ou entre [0;2] negative puis [2;6] positive

g(2) = 0 ??? depuis quand ? C'est g(x₀) = 0, non ?

6) calculer f' et l'ecrire sous forme de quotient

f(x) = x -6 + ((12x+9)/x²)
1 +12x²-2x (12x+9) / (x²)²
1 + 12x² -24x² -18x /(x²)²
-12x² + 1 -18x / (x²)²
x(-12x-18)+1 / (x²)²

Résultat étrange (selon moi).
Quelle est la dérivée de ?
Vu ce qui suit, je pense qu'au numérateur doit apparaître g(x) (au moins)

7) justifier que f' a le meme signe que la fonction g

j'ai pas reussi :s

voir le 6. (forcément )

8) en utilisant les resultats de la 1er partie dresser le tableau de variations de la fonction f sur son ensemble de définition

pas reussi :s

C'est normal suite à l'absence de résultats au 6 et au 7

Duke.

[Chimerade]

f(x) = x -6 + ((12x+9)/x²)
...
6) calculer f' et l'ecrire sous forme de quotient

f(x) = x -6 + ((12x+9)/x²)
1 +12x²-2x (12x+9) / (x²)²
1 + 12x² -24x² -18x /(x²)²
-12x² + 1 -18x / (x²)²
x(-12x-18)+1 / (x²)²

[Duke Alchemist]

Il était possible de lui laisser trouver son erreur...

Mais bon...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0022ecae]

bonsoir,
1) ok
dans 2) on te demande le signe de g c'est à dire sur quel intervalle g est négative et sur lequel elle est positive, tu trouves cela à partir du tableau de variation

dans 3) il ne suffit de dire que g(2)=-34 et g(6)=126, il faut aussi que dire que g est strictement croissante sur cet intervalle

4) ok

5) comme pour 2)
6) f(x) = x -6 + ((12x+9)/x²)
f'(x)= 1 +(12x²-2x (12x+9)) / (x²)²
f'(x)=1 + (12x² -24x² -18x) /x⁴
en réduisant au m^me dénominateur
f'(x)=(x⁴+(-12x² -18x)) / x⁴
f'(x)=(x⁴-12x² -18x) / x⁴
f'(x)=x(x³-12x -18) / x⁴
f'(x)=g(x) / x³

7) de quel signe est x³ ? et donc de quel signe est f(x)?

8) puisque tu connais le signe de g tu en déduis celui de f' et donc le tableau de variation.

[invite8b888598]

7) de quel signe est x3 ? et donc de quel signe est f(x)?

il sont tous les 2 du signe positive on regarde le signe de a c sa ?

MERCI POUR LE RESTE JE VAIS M'EN SORTIR MAINTENANT MERCI ENCORE

[Chimerade]

Il était possible de lui laisser trouver son erreur...

Mais bon...

Oui ! Désolé ! Je n'ai pas réalisé que tu avais écrit avant moi, et j'aurais pu effectivement la laisser chercher... Mais elle avait quand même bien avancé !

[invite433b065e]

bonjour,
je ne suis pas sure de ma réponse à la question : En déduire le signe de g(x) sur R

j'ai trouvé dans l'exo precedent que que g est continue et est strictement croissant sur [2;5]
g est de signe positif apres 5 mais négatif avant
dois-je dire que g(x) est négatif puis positif sur R ?

ensuite à l'éxo 6 il faut que je déduise la position de la courbe Cf par rapport à la droite D d'équation y=x-6
f(x)=x-6+((12x+9)/x²)

dois-je faire ceci:
y=x-6
x=6
la droite D passe par deux points : A(0;-6) et B(6;0)
mais je ne sais pas par contre comment prouver que la courbe Cf se trouve au dessus de cette droite D

[Duke Alchemist]

Bonjour.

je ne suis pas sure de ma réponse à la question : En déduire le signe de g(x) sur R

j'ai trouvé dans l'exo precedent que que g est continue et est strictement croissant sur [2;5]
g est de signe positif apres 5 mais négatif avant
dois-je dire que g(x) est négatif puis positif sur R ?

Est-ce bien la même fonction à étudier ?
Si tu veux déterminer le signe en utilisant le fait qu'elle soit continue et croissante sur [2;5], il te faut au moins déterminer g(2). Si g(2) est positif alors g(5) l'est également.

ensuite à l'éxo 6 il faut que je déduise la position de la courbe Cf par rapport à la droite D d'équation y=x-6
f(x)=x-6+((12x+9)/x²)

dois-je faire ceci:
y=x-6
x=6
la droite D passe par deux points : A(0;-6) et B(6;0)
mais je ne sais pas par contre comment prouver que la courbe Cf se trouve au dessus de cette droite D

Voir ici pour une piste de réflexion

Duke.

EDIT : Rappelle ta fonction g, stp. L'intervalle d'étude est bien [2;5] ?

[invite433b065e]

La fonction g est:
g(x)=x^3-12x-18

on me demande de montrer que l'équation g(x)=0 admet une unique solution a dans [2;5]
j'ai répondu:
sur [2;5] g est continue et strictement croissante
g(2)=-34
g(5)=47

g(2)<0<g(5)

d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation g(x)=0 admet une unique solution a appartient a [2;5]

puis il est demandé de déterminer la valeur arrondie de a à 10^-2 près.
J'ai trouvé 4.05<a<4.06

Enfin, il faut en déduire le signe de g(x) sur R
et c'est ici que je suis bloquée car sur R g(x) est de signe négatif avant 4.05 ou 4.06 et de signe positif apres.
dois-je dire alors
que g(x) est négatif puis positif sur R ?

[Duke Alchemist]

La fonction g est:
g(x)=x^3-12x-18

La fonction est bien la même

on me demande de montrer que l'équation g(x)=0 admet une unique solution a dans [2;5]
j'ai répondu:
sur [2;5] g est continue et strictement croissante
g(2)=-34
g(5)=47

g(2)<0<g(5)

d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation g(x)=0 admet une unique solution a appartient a [2;5]

Pas de souci.

puis il est demandé de déterminer la valeur arrondie de a à 10^-2 près.
J'ai trouvé 4.05<a<4.06

On te demande une valeur "précise" à 10^-2. Que donne la calculatrice ? Arrondis cette valeur à 10^-2 : c'est 4,05 ou 4,06 mais pas les deux en même temps !

Enfin, il faut en déduire le signe de g(x) sur R
et c'est ici que je suis bloquée car sur R g(x) est de signe négatif avant 4.05 ou 4.06 et de signe positif apres.
dois-je dire alors
que g(x) est négatif puis positif sur R ?

Si g est continue et strictement croissante sur R alors
g(x)<0 pour x<a
g(x)>0 pour x>a
en effet.

Duke.

[invite433b065e]

ah d'accord merci

pour ce qui et de la valeur arrondie de a
j'ai utilisé TABLE dans ma calculatrice et j'ai seulement trouvé
x:4.05 y:-0.169
x:4.06 y: 0.2034
je sais donc que a se trouve entre ces deux valeurs

Ensuite,
il faut déduire le sens de varation de f sur ]0;+l'infini[
f'(x)=x^3-12x-18/x^3

or g(x)=x^3-12x-18 donc f'(x)=g(x)/x^3

dans une question précédente que le sens de varationde g était croissant sur [2;+l'infini[

donc si g(x) croissant sur [2;+l'infini[
et x^3 croissant sur R

puis-je en déduire que le sens de varation de f sur ]0;+l'infini[ est croissant ?



De plus, j'ai essayé pour la question concernant sur l'étude de position de la courbe Cf par rapport à la droite D d'équation y=x-6 de faire :
x-6+((12x+9)/x²) - (x-6)
=((x^3-6x²+12x+9)/x²)-(x-6)
=((x^3-6x²+12x+9)-(x^3-6x²)/x²)
=(x^3-6x²+12x+9-x^3+6x²)/x²)
=((12x+9)/x²)
=21/x

je ne sais pas faire autrement

[Duke Alchemist]

Re-

En diminuant l'intervalle entre tes valeurs de x, tu devrais pouvoir être plus précise sur la valeur attendue ou réalise une dichotomie
On obtient x=4,0545588 soit x=4,05.

Seuls les signe de g(x) et de x^3 sur R nous interesse pour l'étude du signe de f '(x) et en déduire les variations de f.

De plus, j'ai essayé pour la question concernant sur l'étude de position de la courbe Cf par rapport à la droite D d'équation y=x-6 de faire :
x-6+((12x+9)/x²) - (x-6)
=((x^3-6x²+12x+9)/x²)-(x-6)
=((x^3-6x²+12x+9)-(x^3-6x²)/x²)
=(x^3-6x²+12x+9-x^3+6x²)/x²)
=((12x+9)/x²)
=21/x

je ne sais pas faire autrement

Euh... quand je vois :
x-6+((12x+9)/x²) - (x-6) pour moi ça fait (12x+9)/x² tout simplement... (sans les 4 premières lignes )
Il te suffit d'étudier le signe de ce quotient et d'en déduire les positions relatives.

Duke.

[invite433b065e]

je ne comprends pas ce que c'est que les positions relatives

[physikaddict]

je ne comprends pas ce que c'est que les positions relatives

Bonjour,

Il s'agit de la position de la courbe représentative d'une fonction par rapport à une autre.

Elle est "au-dessus" sur cet intervalle ...
"en-dessous"...

Cordialement,

[invite433b065e]

maintenant j'ai un autre exercice

soit u: x->x², v: x->(x-1)², k: x->x-1
on me demande de calculer v o u o k

voici ce que j'ai fait:
je calcule d'abord u o k:

u (k(x))= (x-1)²

pui j'ajoute le v :

v (u(k(x)))= [((x-1)²)-1]²
= [(x²+2x-1²)-1]²
= (x²+2x-2)²

est-ce juste?

[physikaddict]

maintenant j'ai un autre exercice

soit u: x->x², v: x->(x-1)², k: x->x-1
on me demande de calculer v o u o k

voici ce que j'ai fait:
je calcule d'abord u o k:

u (k(x))= (x-1)²

pui j'ajoute le v :

v (u(k(x)))= [((x-1)²)-1]²
= [(x²+2x-1²)-1]²
= (x²+2x-2)²

est-ce juste?

A première vue, oui.

Tu as réussi les positions relatives ?

Cordialement,

[invite433b065e]

oui j'ai réussi les position relatives merci.

Soit u définie sur R par u(x)=x²-4x

je dois trouver si la réponse u(x)=(x-2)²+4 est vraie ou fausse.
je sais qu'elle est fausse car elle aurait été vraie si c'était :
u(x)=(x-2)²-4
cependant je ne vois pas comment le démontrer.

[Duke Alchemist]

Bonjour.

soit u: x->x², v: x->(x-1)², k: x->x-1
on me demande de calculer v o u o k

voici ce que j'ai fait:
je calcule d'abord u o k:

u (k(x))= (x-1)²

pui j'ajoute le v :

v (u(k(x)))= [((x-1)²)-1]²
= [(x²+2x-1²)-1]²
= (x²+2x-2)²

est-ce juste?

Non... (x-1)² = x² - 2x +1
Sans cette erreur, cela se factorise très bien

Et pourquoi avoir développé ? Etait-ce demandé ? Personnellement, j'en serais resté à la première ligne.

oui j'ai réussi les position relatives merci.

Cool

Soit u définie sur R par u(x)=x²-4x

je dois trouver si la réponse u(x)=(x-2)²+4 est vraie ou fausse.
je sais qu'elle est fausse car elle aurait été vraie si c'était :
u(x)=(x-2)²-4
cependant je ne vois pas comment le démontrer.

Eh bien comment as-tu fait pour montrer que u(x)=(x-2)²-4...
Je ne vois pas comment tu pourrais le prouver autrement ?!

Duke.

[invite433b065e]

et bien j'ai tout simplement voulu essayer de tracer la courbe à la calculatrice en remplacant le + par le -

[Duke Alchemist]

Ah... OK...
Eh bien, je te propose ceci comme point de départ :
u(x) = x²-4x +4 -4
A toi de voir ce que tu peux en faire
sachant que c'est (presque) fini...
Le plus important est de retenir cette méthode très pratique

Duke.

[invite433b065e]

pourquoi +4-4 ??

[physikaddict]

Non... (x-1)² = x² - 2x +1

Et moi qui "valide" !

pourquoi +4-4 ??

La magie mathématique fait que ça s'annule, et ça peut servir...

Cordialement,

[invite433b065e]

donc prouver que u(x)=x²-4x est égal à u(x)=(x-2)²-4

j'ai comencé à a faire ceci:

u(x)=x²-4x
u(x)=x²-4x+4-4
u(x)=(x²-4)-4x+4
u(x)=(x-2)²-4x+4

apres je ne sais pas comment faire

[Duke Alchemist]

Bonjour.

u(x)=x²-4x
u(x)=x²-4x+4-4
u(x)=(x²-4)-4x+4
u(x)=(x-2)²-4x+4

Aïïïeee !
(a²-b²) n'est pas égal à (a-b)² !!

Et écrit comme ça, cela va-t-il mieux ?
u(x) = (x² - 4x + 4) - 4

[invite00fc3204]

S'il te plait, peux tu me dire comment tu fais pour produire de si jolies expressions ? Merci. Pardon pour la naïveté...

[physikaddict]

S'il te plait, peux tu me dire comment tu fais pour produire de si jolies expressions ? Merci. Pardon pour la naïveté...

N'est ce pas que c'est agréable à l'oeil.
Il utilise ceci. Un peu contraignant à l'écriture, mais on s'habitue et puis surtout un beau rendu final.
Aucunement de la naïveté.

Cordialement,