Identité d'Euler

[Killy21]

Bonjour à tous,
Tout d'abord je m'excuse si je n'ai pas placé cette discussion au bon endroit, je laisse le soin de le faire aux Admins si c'est le cas !
Je me baladais sur la discussion "Les plus belles formules" dans "Débats scientifiques".
Je ne rentre l'année prochaine qu'en Terminale S Spé Maths donc j'ai un bagage assez limité. Je suis assez curieux (trop peut être ), et cette formule m'a intriguée :



où et où le produit s'étend sur l'ensemble des nombres premiers.
Il y est également écrit "Cette formule n'est autre qu'une reformulation analytique du théorème fondamental de l'arithmétique : tout nombre entier est le produit de nombres premiers, l'écriture étant unique à l'ordre des facteurs près."

Est- ce que quelqu’un pourrait m'expliquer le rôle des variables dans cette formule ainsi qu'une traduction "littérale" pour expliquer ce qu'elle représente, ou en associant des valeurs à des variables pour expliquer ce qu'elle démontre (Sans trop rentrer dans des détails trop compliqués si possible )
Merci beaucoup !
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[Killy21]

Personne ?

[Médiat]

Bonjour,

Il y a là : http://fr.wikipedia.org/wiki/Produit_eul%C3%A9rien, une démonstration "élémentaire".

[Killy21]

Merci beaucoup j'y vais de suite !

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

En remarquant que , l'égalité devient ; si tu essaies de développer le produit de droite, tu peux te convaindre de l'égalité.

Il doit également y avoir une preuve probabiliste disponible sur le web.

[eudea-panjclinne]

Tu es en 1eS, tu exprimes de l’intérêt et de la curiosité pour les mathématiques et on ne peut que t'en féliciter.
La formule que tu donnes est assez complexe, elle fut exhibée par Euler au 18e siècle qui en a donné une démonstration incomplète au sens moderne.

On peut l'écrire de la façon suivante :
1+1/2^s+1/3^s+1/4^s + ...= 1/(1-2^(-s))+1/(1-3^(-s))+1/(1-5^(-s))+1/(1-7^(-s))+...

s étant une valeur qui, pour simplifier les choses, est entière.

Les symboles grecs Sigma à gauche et Pie à droites notes des séries c'est à dire des limites de suites qui sont des notions que tu dois un peu connaître.

Le membre de gauche note la limite de la suite :
Un=1+1/2^s+1/3^s+1/4^s + ...+1/n^s ; n entier naturel>=1
cette suite a une limite réelle quand s>1.

le membre de droite note la limite de la suite :
Vn=1/(1-2^(-s))+1/(1-3^(-s))+1/(1-5^(-s))+1/(1-7^(-s))+...+1/(1-p^(-s)); n entier naturel>=1
le p note le n-ième nombre premier, assez délicat à exprimer en fonction de n.
Cette suite a une limite réelle quand s>1.

Les démonstrations ne sont pas, et de loin, du niveau 1eS. Tu peux avoir une idée de la démonstration dans le lien que donne Mediat au niveau de la démonstration élémentaire d'Euler que tu devrais pouvoir comprendre.

Comme tu dois faire de l'algorithmique et de la programmation tu peux programmer chacune de ces suites et regarder leur convergence selon la valeur de l'entier n. Lorsque n est pair les limites sont connues.

[Killy21]

Je vous remercie déjà d'avoir pris le temps de me répondre, et de donner des explications, en effet je connais la signification de ces symboles.
Je prendrais le temps de vraiment comprendre ce que vous m'avez dit ainsi que de refaire la démonstration élémentaire d'Euler dans le lien donné par Mediat (passant le bac écrit de français demain je n'ai pas trop le temps )
Dés que j'en aurais, je me plongerais dedans ! Merci beaucoup de ces explications et du temps que vous m'avez accordé !
Je me permettrais de retourner vers vous si je ne comprends pas un passage, merci encore !

[eudea-panjclinne]

Je suis désolé, j'ai écris plus haut par erreur:

avec des additions alors, qu'en fait, ce sont des multiplications :
Il faut donc lire :

p étant le n-ième nombre premier. Ce qui explique le symbole .
s étant donné,quand la suite a une limite on parle alors de produit infini.

[Killy21]

Merci beaucoup d'avoir pris du temps pour corriger !

Pour le terme :
Je comprends que cette somme peut être représenter par une suite :
avec un entier naturel et un nombre entier.

Pour le terme :
Le produit peut donc être représenter par la suite :


Avec étant le n-iéme nombre premier.
Jusque là je comprends, ce que je ne comprends pas c'est comment utiliser cette formule avec un déterminé, déterminé, ainsi que , pour que l’égalité soit juste.
Merci beaucoup !

[Seirios]

Si est une suite, et que est convergente, on dit que la série converge, et on note . On peut faire la même chose avec les produits.

[eudea-panjclinne]

Il faut bien comprendre que les suites Un et Vn, pour une valeur de n entier, ne sont pas égales. L'égalité n'est vrai qu'à la limite quand n tend vers l'infini.
Néanmoins, on peut constater que plus n est grand plus les valeurs de Un et celles de Vn se rapprochent l'une de l'autre.
Comme je te l'ai dit tu as du faire de l'algorithmique et pratiquer un peu de programmation en 1eS :
Prends s=2 et programme le calcul de Un avec pour entrée n.
Note les résultats : U1,U2,U3,U4,U5 ...U10
Prend toujours s=2 et programme le calcul de Vn (débrouille toi avec les nombres premiers, c'est un bon exercice(*))
Note les résultats : V1,V2,V3,V4....V10
Que constates-tu ?
Ensuite modifie ton programme et refais la même chose avec s=4, c'est plus probant.

(*) tu peux aussi faire les calculs à la main et à la calculatrice...
exemple U5=1/1+1/2^2+1/3^2+1/4^2+1/5^2
V5=[1/(1-2^(-2))]x[1/(1-3^(-2))]x[1/(1-5^(-2))]x[1/(1-7^(-2))]x[1/(1-11^(-2))]

[Killy21]

Merci à Seirios pour ce post, ça m'éclaire toujours un peu plus !
Eudea-panjclinne, merci de tenir bon face à ces questions ! (qui peuvent vous paraitre inutiles ), je ferais ces calculs à la main et je vous tiens au courant, merci beaucoup !

[Killy21]

Bonjour, vous m'avez donc dis de faire les 10 premiers termes de la suite qui représente les deux termes de l'égalité.
Pour : avec et


Donc : ( à la fin je vous épargnerais les fractions à plus de 10 chiffres, je mettrais direct le résultat en décimales à


Pour avec étant le n-ième nombre premier et toujours


Donc à la vue des ces résultats, en effet, plus tend vers , plus les valeurs de et se rapprochent l'une de l'autre, je savais déjà que donc peut être que
Donc on retrouve bien quand tend vers l’égalité de base :
et après lorsque est différent, l'égalité est toujours la même en des limites différentes ?

[Killy21]

Oups désolé je reprends la fin :
Je savais déjà que et il semble que

Lorsqu'on a un différent avec qui tend vers on retrouve l'identité de base :

non pas égale pour des valeurs de , mais égale en ses limites ?
Merci de votre patience.

[eudea-panjclinne]

Tout ceci est exact ainsi que tes calculs.
Pour s=2 la convergence (c'est à dire le fait que pour des valeurs de n de plus en plus grandes le terme Un se rapproche de sa limite L=(Pi^2)/6)) est peu rapide : à titre indicatif il faut 100 termes pour aboutir à une précision de 2 chiffres sur la limite. En revanche pour s=4 la convergence vers la limite ((pi^4)/90) est beaucoup plus rapide 10 termes te donne une précision à 10^(-4).
La limite de la suite Un pour s donné définie une fonction appelé Zeta(s) (Zeta lettre grecque) de Riemann, du nom du mathématicien du 19e siècle qui l'a étudié.

[Killy21]

Merci énormément de m'avoir répondu jusque là, et merci pour les précisions également !
J'ai juste une dernière question sur la notation de la même limite que partage les deux termes de l'équation.
Peut on la noter comme ceci :

[Médiat]

Oh Non !

En notant le ^ième nombre premier :



ou

[gg0]

Non,

la somme est déjà une limite. idem sur le produit si on l'écrit complètement. Plus gênant, le n de la limite n'existe pas dans le produit, et même dans la somme où la lettre n est muette, peut être remplacée partout par une autre sans changement du résultat.
Tu devrais aller lire un cours sur les séries. la notation n'est pas compliquée, mais tu ne l'as pas interprétée correctement.

Il serait aussi intéressant de développer le produit en utilisant le fait que
Tu peux commencer avec s=1 pour simplifier. Tu verras apparaître .

Cordialement.

[Médiat]

Bonjour gg0,

Là c'est moi qui ne comprend pas vos notations.

[eudea-panjclinne]

Merci énormément de m'avoir répondu jusque là, et merci pour les précisions également !
J'ai juste une dernière question sur la notation de la même limite que partage les deux termes de l'équation.
Peut on la noter comme ceci :

La notation est effectivement incorrecte :

On peut aussi noter cela comme :
,
Le produit étant étendu à l'ensemble des nombres premiers noté P .

[gg0]

Message #18 Il y a eu une erreur de frappe (parenthèse à la place d'une accolade) et j'ai oublié de vérifier. Voila la bonne formule :
Désolé !

[Killy21]

En effet c'était faux, merci à tous pour toutes vos explications !

[Killy21]

Il y a t-il un démonstration relativement accessible qui prouve que
Merci beaucoup

[Seirios]

Bonsoir,

Il y a une quinzaine de preuves différentes ici. Sinon, tu peux regarder dans la revue American Mathematical Monthly, il y a plusieurs articles du genre "a simple proof of ..." ou "an elementary proof of ...".

[Killy21]

Merci beaucoup je vais regarder tout ça

[Seirios]

Il doit également y avoir une preuve probabiliste disponible sur le web.

Je l'ai retrouvée, voir ici.

[eudea-panjclinne]

Il y a t-il un démonstration relativement accessible qui prouve que

Non, aucune à ma connaissance au niveau du Lycée, la plupart nécessitent les propriétés élémentaires de l'intégrale et/ou des propriétés moins élémentaires sur les séries, fonctions trigonométriques etc. En Terminale C il y a quelques années c'était encore faisables, maintenant il ne faut plus rêver. En admettant pouvoir le faire en fin de terminale aujourd'hui, la technicité des calcul est devenue rédhibitoire.

[Killy21]

Merci beaucoup.
En effet ces preuves me semblent être loin de mon niveau, c'est dommage, j'attendrais avant de pouvoir comprendre tout ça, merci à vous.

[Killy21]

Bonjour,
Lorsque je refaisais la preuve élémentaire, je me suis rendu compte qu'il y a une mise en facteur que je ne comprends pas.
Lorsqu'on arrive à :


On divise l'égalité précédente par :



Tout ça d'accord, mais je vois mal comment le terme à gauche de l'égalité suivante apparait ( on soustrait la première égalité par la deuxième ) :


(A droite je comprends jusqu'à la fin(même si j'ai un peu de mal avec la phrase "En divisant de part et d'autre par tout sauf ζ(s), je voyais mal comment on pouvais ne pas diviser ζ(s) )
Voilà c'est le petit point (qui est très bête, je dois être fatigué) sur lequel je bloque.
Merci beaucoup !

[Killy21]

Oups dans la première égalité j'ai oublié le ...+1/(9^s)...