Nombre complexe

[Elina1]

Bonjour, j'ai pas mal de difficulté avec les nombres complexes, pourriez vous m'expliquer comment résoudre ces équations svp :
A=1+2i+(2i)²+...+(2i)^12 Celle ci doit être mis sous la forme a+ib
B=(((2+i)z+1)/(iz+3))=3+2i
C=(iz+1)(z+3i)(z(barre)-1+2i)=0

Peut-être qu'il faut remplacer z par a+ib mais j'ai pas l'impression que ça donne grand chose ou je suis vraiment larguée. En tout cas voilà, merci d'avance
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[XxDestroyxX]

Bonjour, pour A, sachant que , et etc..., la somme se fait très bien, il suffit de mettre le 2 à la puissance voulue, de prendre le bon résultat pour la puissance de i (i,-1,-i ou 1 cycliquement) et de ne pas se tromper dans les signes

[Duke Alchemist]

Bonjour.

Pour A, ne vois-tu pas la somme des termes d'une suite géométrique de raison .?. ?
Pour B, de manière classique (comme si "z" était "x")
Pour C, éventuellement passer par la forme z=a+ib et tu annules les parties réelle et imaginaire et tada.

Bon courage.
Cordialement,
Duke.

[gg0]

Bonjour.

Pour A, on peut aussi utiliser la formule sur les sommes de termes successifs d'une suite géométrique.

Pour B, tu fais comme d'habitude, en tenant compte des simplifications dues à i²=-1. Tu sais ce que veut dire a/b=c, et ton équation est de cette forme.

Pour C, la règle sur les produits nuls te donne trois équations très simples.

A toi de faire, et si tu bloques en calculant, écris ce que tu as fait jusque là.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Elina1]

Merci beaucoup pour votre aide, j'ai résolu la A et j'obtiens le bon résultat en vérifiant avec la calculatrice.

Pour la C, j'obtiens trois solutions: z=i ; z=-3i ; z=1+2i ; est ce normal? Suis-je au résultat final?

Pour la B, je suis bloquée: j'ai développé et réduit pour avoir z tout seul mais je ne parvient pas à l'isoler et j'obtiens:
((2z)/(iz))=(8+6i)
z=((8+6i)iz)/2
J'ai donc un z dans les deux membres, je suis bloquée ici, peut-être dois-je remplacer z par a+ib?

Cordialement

[XxDestroyxX]

Bonsoir Elina1, por la B votre calcul doit être faux car sur votre première ligne de calcul, on peut simplifier par z : (2z)/(iz) = 2/i.
Il doit donc y avoir une erreur quelque part. Par ailleurs, l'équation est bien ?
Si c'est le cas, je vous conseil d'abord de multiplier des deux côtés par (iz+3) et de développer tous les termes ( d'un côté et de l'autre). Vous pourrez ainsi regrouper tous les termes avec un z d'un coté et les autres de l'autre.
Bon travail

[God's Breath]

Pour la C, j'obtiens trois solutions: z=i ; z=-3i ; z=1+2i ; est ce normal? Suis-je au résultat final?

Oui, ce n'était en fait pas très difficile. Il ne faut surtout pas se paniquer : tu dois calculer avec les nombres complexes comme avec les nombres réels, ce sont les mêmes règles avec un seul petit supplément, i²=-1.
Ce n'est qu'en tout dernier recours que l'on est amené à remplace z par a+ib et à séparer la partie réelle et la partie imaginaire.

[Elina1]

Oui effectivement je me suis trompée dans mon développement, merci! Alors, j'ai trouvé avec votre méthode un résultat qui me semble cohérent : (36/40)+i(52/40)
Et non, l'équation que vous avez écrite a un i à la place du 1 sur le numérateur : ((2+i)z+1)
Merci beaucoup de votre aide!

[Elina1]

C'est encore faux pardon, le résultat est 1+2i c'est sûre cette fois

[XxDestroyxX]

Ayant refais l'équation, je trouve à la fin un résultat beaucoup plus simple qui est 1+2i. A moins que j'ai fais une faute, ce résultat me semple plus cohérent. Je vous écris mon calcul :

[XxDestroyxX]

Haha vous avez été plus rapide que moi, oui, c'est le bon résultat

[Elina1]

Merci beaucoup de prendre le temps de la faire, ça me valide mes résultats

[XxDestroyxX]

Il n'y a pas de quoi, je suis en terminale S et je n'ai pas encore vu les complexes au lycée (je m'avance sur le programme) donc ça m'entraîne