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Démonstration d'une inégalité

  1. Omar bola

    Date d'inscription
    novembre 2016
    Âge
    18
    Messages
    20

    Démonstration d'une inégalité

    Bonsoir
    Au j'ai un petit soucis avec une démonstration qui me casse les pieds..j'ai essayé par tous les moyens mais j'y arrive pas..
    .pour tout a € [0,+oo[ ,1/(1+a)>= 1–a . (1)
    Et 1 +( a)/(2√(1+a)) <=√(1+a)<= 1 + (a)/2. (2)
    Déduire des inégalités (1) et (2) que pour tout à € ]0;∞[ 1+ (a/2)+(–a^2/4)<=√(1+a)<= 1 + (a/2)

    -----

     


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  2. albanxiii

    Date d'inscription
    novembre 2010
    Localisation
    92
    Âge
    43
    Messages
    10 082

    Re : Démonstration d'une inégalité

    Bonjour,

    En manipulant un peu la première inégalité, on voit qu'elle revient à dire que . Essayez la manip, et en refaisant le chemin à l'envers vous avez la démonstration demandée.
    Not only is it not right, it's not even wrong!
     

  3. gg0

    Date d'inscription
    avril 2012
    Âge
    68
    Messages
    21 604

    Re : Démonstration d'une inégalité

    Bonjour.

    la deuxième inégalité se traite en deux cas :
    1 +( a)/(2√(1+a)) <=√(1+a) il est assez logique de multiplier par le dénominateur 2√(1+a) pour arriver à une inégalité plus simple.
    √(1+a)<= 1 + (a)/2 Comment se débarrasser de la racine carré ? Eh oui, cette idée simple marche bien.

    Autrement dit, en ayant la volonté de simplifier le travail, on arrive vite à la preuve voulue.

    Rappel de quelques propriétés simples :
    * a >= b <==> a+c >= b+c
    * Avec c >=0 : a >= b <==> ac >= bc
    * Avec c >0 : a >= b <==> a/c >= b/c
    * Avec a>=0 et b>=0 √a = √b <==> a = b

    Bon travail !
     

  4. God's Breath

    Date d'inscription
    décembre 2007
    Messages
    9 555

    Re : Démonstration d'une inégalité

    Bonjour,

    Prouver une inégalité, c'est faire une étude de signe… est la « bonne » méthode pour attaquer le problème… bien qu'on soit parfois amener à modifier sa stratégie.

    Pour la première inégalité :



    Pour la deuxième inégalité, la présence de racines carrées amène à l'expression conjuguée :



    et :



    On obtient la même fraction que dans le calcul précédent, sans au dénominateur…

    Les calculs amènent de façon naturelle à des expressions dont le signe est immédiat à établir.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.
     

  5. ansset

    Date d'inscription
    novembre 2009
    Localisation
    Fresnes
    Âge
    57
    Messages
    24 037

    Re : Démonstration d'une inégalité

    je saisi mal ta démo pour la seconde inégalité.!? On trouve beaucoup plus simple en suivant "bêtement" les règles simple rappelées par gg0.
    et par ailleurs, est ce bien utile de proposer une solution complète qu'il suffirait de recopier.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
     


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  6. gg0

    Date d'inscription
    avril 2012
    Âge
    68
    Messages
    21 604

    Re : Démonstration d'une inégalité

    Oui,

    on attendait que Omar bola vienne expliquer ce qu'il a fait, lui. "j'ai essayé par tous les moyens" n'est pas très crédible quand des moyens très simples (niveau troisième seconde) permettent d'aboutir rapidement.
     


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