Norme d'un Opérateur

[james_83]

Bonjour,

J'ai un problème pour calculer la norme d'un opérateur....
Si on prend H = {classes de fonctions égales pp dont l'intégrale sur R de leur module au carré est fini} muni de sa norme.
Soit f une fonction de R dans C continue.
On définit l'opérateur suivant :
pour tout g dans H, (Tg)(x) = f(x)g(x).
Montrer qu'elles sont les conditions pour que T soit continue et calculer sa norme.

Les conditions, j'ai trouvé T continue si et seulement si |f|² est borné sur R.
Pour la norme,
je veux montrer que |T| = sup|f|² sur R.
Je sais que |T| est majoré par sup|f|², maintenant je veux montrer que c'est le plus petit des majorants.
Soit epsilon>0, Montrons qu'il existe g tel que |g|=1 telle que |Tg|>sup|f|² - epsilon.
Par définition de la borne sup, il existe un x dans R tel que |f(x)|² > sup|f|² - epsilon.
Je dis ensuite (mais je ne suis pas sûr) que par continuité de |f|², il existe un voisinage de Vx de x tel que |f(x)|² > sup|f|² - epsilon est conservée.
Ensuite en posant g = mesure(Vx) sur Vx et 0 sinon.
On obtient |Tg|> sup|f|² - epsilon.

Est-ce correct ? ou je raconte n'importe quoi lool
Merci d'avance
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[God's Breath]

Est-ce correct ? ou je raconte n'importe quoi

Il me semble plutôt que , et il faut prendre un voisinage Vx de mesure finie...
Mais je ne vois vraiment pas pourquoi définir g de façon aussi tordue ; l'indicatrice de Vx suffit.

[james_83]

Merci de ta réponse.
En effet, c'est n'importe quoi, je voulais que la norme de g soit égale à 1, donc mon idée c'était plutôt de dire que g = 1/Racine(Mesure(Vx))).
Sinon le reste, à une racine près, tu penses que c'est juste ?

[God's Breath]

Sur le principe, c'est ce qu'il faut faire : on veut une inégalité afin d'en déduire puis . Pour ce faire, on n'a pas forcément besoin de s'enquiquiner à ajuster .

Le reste n'est que détails de calculs, mais il faut les soigner correctement...

[A voir en vidéo sur Futura]

[james_83]

Soit M = sup|f| sur R.
On a M² = (sup|f|)²=sup|f|².
Soit epsilon strictement positif et inférieur à M² ;
il existe x dans R tel que M² - epsilon < |f(x)|²
donc par continuité de f, il existe un voisinage de x noté Vx tel que l'inégalité se conserve.
Posons g = l'indicatrice de Vx.
On obtient (M² - epsilon)|g|² < |Tg|²<|T|²|g|² d'où (M² -epsilon<|T|².
epsilon est strictement positif quelconque donc M² est inférieur ou égal|T|², ce qui permet de conclure.

Est-ce qu'il me manque quelquechose ?

[God's Breath]

Il manque la contrainte supplémentaire sur Vx : sa mesure doit être finie...

[james_83]

Oui bien sûr, dans ma tête on le choisit tel qu'il soit de mesure finie et j'ai oublié de l'écrire lool
Merci pour ton aide très précieuse.
Bonne soirée