Spectre d'un opérateur auto-adjoint

Lévesque · 17/09/2006, 00h03

Bonjour,

dans certains de mes livres de physique [1], on commence par énoncer ce qu'est une valeur propre grâce à la relation avec le vecteur propre. Ensuite, il est annoncé que le spectre d'un opérateur A est l'ensemble de ses valeurs propres (implicitement trouvées grâce aux vecteurs propres).

Je suis un peu surpris lorsque je lis ailleur [2] : "Malgré qu'un opérateur A avec un spectre continu n'a, strictement parlant, aucun vecteur propre, chaque point $\lambda$ de ce spectre est "à tout de fin pratique une valeur propre".

Je ne comprends pas bien la subtilité énoncée. Il n'y a pas de vecteurs propres, mais tous les lambda sont des valeurs propres?

Je décide de fouiller un peu pour comprendre ce que ça veut dire.

Dans un livre de physique mathématique [3], je trouve

1- $\lambda$ appartient au spectre si et seulement si $P_{( \lambda-\epsilon,\lambda+\epsilon)} \neq 0$ pour n'importe quel $\epsilon >0$ ,

le projecteur ayant préalablement été introduit dans la décomposition spectrale $A=\int \lambda dP_{\lambda }$ , où à ce niveau, si je comprends bien, $\lambda$ est un paramètre réel qui n'est pas généralement une valeur propre (sinon, à quoi bon introduire la condition (1)).

L'une de mes questions concerne la notation. Que signifie $P_{( \lambda-\epsilon,\lambda+\epsilon)}$ ? Est-ce un ensemble de projecteurs voisins? Est-ce un ensemble de projecteurs identiques, paramétrisés par les $\lambda$ comprises entre $\lambda-\epsilon$ et $\lambda+\epsilon$ ?

Dans un autre livre [4], je trouve

2- Le spectre de A est l'ensemble de tous les $\lambda$ qui ne sont pas dans un intervalle dans lequel $P_\lambda$ est constant.

Si je compare (1) et (2), je conclue que l'intervalle du point (2) est donnée mathématiquement par $( \lambda-\epsilon,\lambda+\epsilon)$ dans le point (1). Pour comprendre, je pense qu'il me faut trouver le lien entre l'énoncé (i) $P_\lambda$ est constant et l'énoncé mathématique (ii) $P_{( \lambda-\epsilon,\lambda+\epsilon)} \neq 0$ .

Je continue d'y réfléchir, mais toute aide est la bienvenue.

Cordialement,

Simon

[1] Par exemple, Cohen-Tannoudji et al, Mécanique quantique, Hermann (1998)
[2] A. Peres, Quantum mechanics : concepts and methods, Kluwer, p.103 (1995)
[3] M. Reed, B. Simon, Methods of modern mathematical analysis I, Academic Press, p.236 (1980)
[4] M. Jammer, The philosophy of quantum mechanics, John Wiley & Sons, p.4 (1974)

Lévesque · 17/09/2006, 00h12

Pour préciser mon questionnement: j'ai rencontré l'énoncé (2) du post précédent, et je cherche à le formuler mathématiquement.

**mtheory** · 17/09/2006, 00h26

là je

mais je crois me rappeler qu'il y a effectivement des problèmes avec des histoires de vecteurs propres qui font pas partie d'un espace de Hilbert avec un spectre continu ou un machin comme ça.
ça doit trainer dans le Von Neuman,mais d'un autre cotés je crois que les distributions ont réglées la question

**mtheory** · 17/09/2006, 00h35

Je me demande si y a pas un rapport avec ça

http://arxiv.org/abs/quant-ph/9907069

y aurais pas une équivalence entre self adjoint et hermitien pour les espaces de hilbert à base continu ou un machin dans le genre.
Du coup ce que tu prends pour un spectre associé à une base marcherai plus m'enfin là je

Lévesque · 17/09/2006, 02h58

Citation:

Envoyé par mtheory

Je me demande si y a pas un rapport avec ça

http://arxiv.org/abs/quant-ph/9907069

Duquel je tire: "the so-called continuous spectrum, i.e. the set of generalized eigenvalues of A (that is eigenvalues for which “the eigenvectors do not belong to the Hilbert space H”)."

Mais qu'est-ce que c'est que ça?

Je suis en train de réviser le formalisme de la MQ, et je veux seulement expliciter ce qu'est la définition d'un spectre, sans être attiré dans un trou noir mathématique. Y a-t-il vraiment un trou noir? ou bien comprends-je mal?

Comment je définie le spectre pour éviter les problèmes? Comme le complément de l'ensemble résolvent?

Je désire seulement énoncer mathématiquement ce qu'est le spectre....

Lévesque · 17/09/2006, 03h23

Citation:

Envoyé par mtheory

Je me demande si y a pas un rapport avec ça

http://arxiv.org/abs/quant-ph/9907069

D'autre détails :

In order to avoid misunderstandings, we should emphasize that the definitions given in physics and mathematics textbooks, respectively, for the spectrum of an operator acting on an infinite dimensional Hilbert space, do not completely coincide. In fact, from a mathematical point of view it is not natural to simply define the spectrum of a generic Hilbert space operator as the set of its proper and generalized eigenvalues (e.g. see references [3] and [8]): by definition, it contains a third part, the so-called residual spectrum. The latter is empty for self-adjoint operators and therefore we did not mention it above. However, we will see in the appendix that the residual spectrum is not empty for operators which are only Hermitian.

Pour ceux que ça intéresse, les définitions importantes sont ici.

A-t-on absolument besoin d'opérateurs hermitiens en MQ? Ou bien peut-on se contenter des opérateurs auto-adjoint? Dans le cas où on utilise des opérateurs hermitiens, il semble qu'il faille faire très attention à la définition utilisée pour le spectre

.

Simon

Lévesque · 17/09/2006, 03h28

Une petite question en passant: est-ce possible que tout le monde utilise des opérateurs auto-adjoint A=A*, sauf que certains les appellent à tort hermitiens, ou hermitiques?

Donc, l'objet utilisé en Mq serait l'opérateur auto-adjoint, et puisque le spectre résiduel est vide, on n'a pas de problèmes?

zarkis · 17/09/2006, 11h23

Il existe plusieurs spectre. Le spectre ponctuel, continu, résiduel.

le spectre poctuel est l'ensemble des valeurs propres de notre opérateur noté A il est défini comme suit : lambda appartient aux complexes tel que (lambda Id-A) non injectif.

Le spectre est la réunion disjointe des 3 spectres énnoncé avant.

ATTENTION ! votre définition d'opérateur auto-adjoint qui n'est pas la même si l'opérateur est borné ou non.

Lévesque · 17/09/2006, 18h39

Bonjour zarkis,

de votre intervention, je retire l'impression que l'on a besoin de trois définitions pour le spectre. Est-ce vraiment le cas?

Si oui, cela voudrait dire que la définition suivante ne pourrait pas être un définition du spectre (qui inclue tout les spectres) :

Définition (spectre d'un opérateur auto-adjoint pas nécessairement borné) : Le spectre de A est l'ensemble de tous les $\lambda$ qui ne sont pas dans un intervalle dans lequel $P_\lambda$ est constant.

Puisque A est auto-adjoint, alors le spectre résiduel est vide. Par conséquent, cette définition devrait être valable et inclure les parties discrète et continue. Mon seul problème avec cette définition, c'est que je ne la visualise pas très bien. Que veulent-ils dire par un projecteur constant? Peut-être est-ce seulement un raccourci pour dire que la variation du paramètre $\lambda$ dans l'intervalle génère des projecteurs $E_\lambda$ qui projettent tous sur le même sous espace? Si oui, il doit y avoir une façon d'exprimer ça simplement à l'aide d'une condition mathématique?

J'ai ajouté "pas nécessairement borné" dans la définition, puisque le texte duquel elle provient ne fait pas de précision à ce sujet. Dans le cas d'un opérateur auto-adjoint, pensez-vous qu'il faille accorder de l'importance au fait qu'il soit borné? Utilise-t-on les opérateurs non-bornés en physique?

Merci pour votre aide,

Cordialement,

Simon

zarkis · 17/09/2006, 19h55

Alors, il y a beaucoup à dire, je vais essayer d'être le plus clair et rapide possible. J'ai l'impression que ta définition vient d'un cours de physique, où du moins d'un physicien qui a écrit un cours de math. Ceci n'est pas une remarque méchante c'est une critique, qui amène l'idée suivante, je ne connais pas ton niveau mais le mieux serait que tu regarde un bon cours d'analyse spectrale en te focalisant sur les opérateurs auto-adjoint borné et non-borné. Je peux pas refaire tout un cours sur un post.

Citation:

de votre intervention, je retire l'impression que l'on a besoin de trois définitions pour le spectre. Est-ce vraiment le cas?

oui mais les physiciens confondent allègrement le spectre ponctuel et spectre. En physique cela ne pose pas vraiment de problème à part quand on fait de la physique pointu comme la MQ où la RG version mathématiques-physique.

Définir les spectres avec les projecteurs c'est juste pour donner une image, l'important pour les calculs c'est la notion d'injectivité.

Citation:

'ai ajouté "pas nécessairement borné" dans la définition, puisque le texte duquel elle provient ne fait pas de précision à ce sujet. Dans le cas d'un opérateur auto-adjoint, pensez-vous qu'il faille accorder de l'importance au fait qu'il soit borné?

Un opérateur borné est non-borné est trés différent. la définition d'auto-adjoint change, il faut en plus de symétrique que les domaines des op soient identiques.

Tout dépend de l'espace dans lequel on travaille et l'espace dans lequel vit l'opérateur, pour savoir si l'op. est borné ou pas.le spectre c'est : A-lambda Id non bijectif. Si tu fais de la physique je pense que cette définition te suffira, sinon trouve un cours d'analyse spectrale, j'en ai cherché, et des biens fait et accessible facilement j'ai pas encore trouver mais je cherche..

Lévesque · 17/09/2006, 21h40

Bonjour,

Pour le niveau (on est dans le forum math du sup?), il ne faut pas s'abaisser au miens, mais m'aider à atteindre celui nécessaire à la compréhension de la définition du spectre que j'ai énoncé. J'ai assez de livre (de math) sur mon bureau pour me pencher sérieusement sur une réponse précise à mes questions formulée dans ce forum. Les physiciens que je connais ne confondent pas spectre continu et discret, le faire reviendrait à penser que l'atome d'hydrogène passe continuement d'un niveau d'énergie à un autre, par exemple.

Cela dit, passons à ce qui m'intéresse:

Citation:

le spectre c'est : A-lambda Id non bijectif.

En d'autres mots, le spectre au sens mathématique exact est le complément de l'ensemble résolvant? D'accord, enregistré.

Je reviens à ce qui m'intéresse plus, la définition du spectre-selon-von-Neumann : le spectre-selon-von-Neumann de A est l'ensemble de tous les $\lambda$ qui ne sont pas dans un intervalle dans lequel $E_\lambda$ est constant. Définissons le projecteur

$P_{\lambda }=\int_{\lambda -\varepsilon }^{\lambda +\varepsilon }dE\left( \xi \right)$ . (1)

On a ainsi que

$P_{\lambda }=E\left( \lambda +\varepsilon \right) -E\left( \lambda -\varepsilon \right)$ . (2)

La condition " $E_\lambda$ est constant" dans l'intervalle considéré est maintenant synonyme de $P_\lambda=0$ . Construisons maintenant le vecteur

$\psi _{\lambda }= \frac{P_{ \lambda } \phi }{ || P_{\lambda }\phi|| }$ , $P_\lambda \neq 0$ .

On a alors évidemment que $P_{\lambda }\psi _{\lambda }=\psi _{\lambda }$ ( $P_\lambda \neq 0$ , i.e. $E_\lambda$ n'est pas constant, sinon impossible de construire le vecteur en question). Il est alors possible de montrer [1] que l'on a toujours

$||\left( A-\lambda \right) \psi _{\lambda }||<\varepsilon$ (3),

avec $\varepsilon$ positif arbitrairement petit. L'équation (3) nous dit que $\lambda$ est, à tout de fin pratique, une valeur propre du vecteur $\psi _{\lambda }$ .

Maintenant, je pense qu'on peux mieux comprendre la définition de Jammer (i.e. de von Neumann). Le spectre-selon-von-Neumann est l'ensemble des $\lambda$ pour lesquels il est possible de construire un vecteur tel que (3) est satisfait. On voit clairement d'où vient la restriction $E_\lambda$ n'est pas constant sur l'intervalle, puisque dans ce cas, $P_\lambda$ est nul et on ne peut pas construire le vecteur qui satisfait (3).

Tout ça m'aide beaucoup, je le met ici au cas où une autre personne se poserait les mêmes questions.

Cordialement,

Simon

[1] A. Peres, Quantum Theory, Concepts and Methods, Kluwer, p.103 (1995)

zarkis · 17/09/2006, 23h13

Citation:

. Les physiciens que je connais ne confondent pas spectre continu et discret, le faire reviendrait à penser que l'atome d'hydrogène passe continuement d'un niveau d'énergie à un autre, par exemple.

Parfait !

Citation:

En d'autres mots, le spectre au sens mathématique exact est le complément de l'ensemble résolvant? D'accord, enregistré.

Absolument, je ne voulais pas parler d'ensemble résolvant pour ne pas rajouter de vocabulaire, mais si tu connais alors oui c'est ça, mais attention c'est le spectre est pas forcement les valeurs propres de ton opérateur.

Citation:

Je reviens à ce qui m'intéresse plus, la définition du spectre-selon-von-Neumann : le spectre-selon-von-Neumann de A est l'ensemble de tous les $\lambda$ qui ne sont pas dans un intervalle dans lequel $E_\lambda$ est constant. Définissons le projecteur

$P_{\lambda }=\int_{\lambda -\varepsilon }^{\lambda +\varepsilon }dE\left( \xi \right)$ . (1)

On a ainsi que

$P_{\lambda }=E\left( \lambda +\varepsilon \right) -E\left( \lambda -\varepsilon \right)$ . (2)

La condition " $E_\lambda$ est constant" dans l'intervalle considéré est maintenant synonyme de $P_\lambda=0$ . Construisons maintenant le vecteur

$\psi _{\lambda }= \frac{P_{ \lambda } \phi }{ || P_{\lambda }\phi|| }$ , $P_\lambda \neq 0$ .

On a alors évidemment que $P_{\lambda }\psi _{\lambda }=\psi _{\lambda }$ ( $P_\lambda \neq 0$ , i.e. $E_\lambda$ n'est pas constant, sinon impossible de construire le vecteur en question). Il est alors possible de montrer [1] que l'on a toujours

$||\left( A-\lambda \right) \psi _{\lambda }||<\varepsilon$ (3),

avec $\varepsilon$ positif arbitrairement petit. L'équation (3) nous dit que $\lambda$ est, à tout de fin pratique, une valeur propre du vecteur $\psi _{\lambda }$ .

Maintenant, je pense qu'on peux mieux comprendre la définition de Jammer (i.e. de von Neumann). Le spectre-selon-von-Neumann est l'ensemble des $\lambda$ pour lesquels il est possible de construire un vecteur tel que (3) est satisfait. On voit clairement d'où vient la restriction $E_\lambda$ n'est pas constant sur l'intervalle, puisque dans ce cas, $P_\lambda$ est nul et on ne peut pas construire le vecteur qui satisfait (3).

Avec un premier regard rapide, j'ai l'impression que ça colle, mais n'ayant jamais utilisé les projecteurs de façon directe à part au moment d'étudier le cours, je rejéterai un coup d'oeil sur cette histoire, si je n'infirme pas c'est que je suis d'accord.

Je vais aussi voir si il y a un bon cours d'analyse spectrale que je peux trouver sur le net. C'est dommage je connais de trés bon prof dans le domaine mais impossible de mettre la main sur leur cours électronique.

Bravo Simon pour aller au fond des choses comme ça, tu en récolteras le fruit un beau jour.

Sephi · 17/09/2006, 23h56

Je n'ai pas lu les messages qui précèdent, mais si je ne me trompe, il est question des vecteurs/valeurs propres dits généralisés.

On travaille dans un espace de Schwartz $\Phi$ . Un vecteur ket est élément de $\Phi$ et un vecteur bra est un élément du dual $\Phi^*$ .

À tout ket $|\phi>$ correspond un bra $<\phi|$ défini par :

$<\phi|\psi> = (|\phi>, |\psi>)$

pour tout $|\psi> \in \Phi$ , et où $(\quad,\quad)$ est le produit scalaire dans $\Phi$ .

Par contre, à un bra $<\phi|$ donné ne correspond pas toujours un ket de $\Phi$ . Dans ce cas, on définit alors un ket généralisé $|\phi>$ par :

$<\phi|\psi> = \overline{<\psi|\phi>}$

pour tout ket $|\psi>$ de bra correspondant $<\psi|$ .

Un opérateur $Q$ peut ne pas avoir de vecteurs propres dans $\Phi$ , tout en admettant des solutions dans l'équation :

$Q|x> = x|x>$

Dans ce cas, les $|x>$ sont les vecteurs propres généralisés de $Q$ (ce sont des kets généralisés) et les $x$ sont les valeurs propres généralisées correspondantes, qui forment un spectre continu.

Sephi · 18/09/2006, 00h19

Et petit ajout : là où j'ai appris les bases de la MQ, "auto-adjoint" et "hermitique" sont synonymes ...

**mtheory** · 18/09/2006, 12h26

Il me semble effectivement que Schwartz avait mis ces questions au clair avec sa théorie des distributions.
Mais je n'ai pas étudier le machin

rvz · 18/09/2006, 12h47

Salut,

Pour compléter ce qui a été dit, je rajoute que l'une des clés (enfin selon moi) pour comprendre toutes ces histoires vient d'une bonne compréhension des défauts d'une application pour être un isomorphisme :

A n'est pas un isomorphisme dans l'un des cas suivants :
A n'est pas injectif-> valeur propre
A n'est pas surjectif (attention A peut quand même être injectif, par exemple considérer laplacien dirichlet ^-1 dans L^2)
A est surjectif mais son inverse n'est pas continue. -> spectre continu je crois.

Pour clarifier tout ça, en plus des lectures déjà proposées, je recommande le Rudin d'Analyse Fonctionnelle.

Bon courage,
__
rvz

zarkis · 18/09/2006, 13h28

Citation:

Envoyé par rvz

A n'est pas un isomorphisme dans l'un des cas suivants :
A n'est pas injectif-> valeur propre
A n'est pas surjectif (attention A peut quand même être injectif, par exemple considérer laplacien dirichlet ^-1 dans L^2)
A est surjectif mais son inverse n'est pas continue. -> spectre continu je crois.

rvz

Oui en effet c'est la mécanique a avoir pour travailler dans le spectre. Je rappelle quand même que l'espace dans lequel on travaille est PRIMORDIALE ça change tout, ainsi que le domaine de l'opérateur. u dans L^2 c'est pas u dans H^2 , et les propriétés sur le spectre sont donc différentes pour un même opérateur.

Question bouquin y a les Methods of Modern Mathematical Physics de Reed and Simon en 4 volume, c'est l'une des bibles de l'analyse.

Le Rudin je le trouve moyen pas assez complet. En analyse fonctionnel je préfère le Dautray-Lions, ou celui de H. Brezis.
Mais bon c'est une histoire de gout et d'approche.

Lévesque · 18/09/2006, 16h52

Merci à tout le monde,

je suis un peu peiné de n'avoir aucune idée de ce que Schwartz a fait à ce sujet.

Sinon, je conclu que tout le monde semble d'accord avec les conclusions de mon dernier post.

Sephi: effectivement, dans certains livre de MQ (par exemple Cohen), on dit que A tel que A=A* est hermitique. Si tu restes toujours dans le Cohen, pas de problème. Mais ailleur, A=A* est la définition pour auto-adjoint, qui est plus restrictive qu'hermitique. Un opérateur Hermitique (ou hermitien?) est un opérateur T qui satisfait (Tv,u)=(v,Tu). La différence, c'est que pour hermitique, le domaine d'application de T et T* n'est pas nécessairement le même, il faut seulement que celui de T soit inclu dans celui de T*. Imposer que T soit autoadjoint implique que les domaines de T et T* coïncident.

Cordialement,

Simon

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