Spectre d'un opérateur auto-adjoint

[Lévesque]

Bonjour,

dans certains de mes livres de physique [1], on commence par énoncer ce qu'est une valeur propre grâce à la relation avec le vecteur propre. Ensuite, il est annoncé que le spectre d'un opérateur A est l'ensemble de ses valeurs propres (implicitement trouvées grâce aux vecteurs propres).

Je suis un peu surpris lorsque je lis ailleur [2] : "Malgré qu'un opérateur A avec un spectre continu n'a, strictement parlant, aucun vecteur propre, chaque point de ce spectre est "à tout de fin pratique une valeur propre".

Je ne comprends pas bien la subtilité énoncée. Il n'y a pas de vecteurs propres, mais tous les lambda sont des valeurs propres?

Je décide de fouiller un peu pour comprendre ce que ça veut dire.

Dans un livre de physique mathématique [3], je trouve

1- appartient au spectre si et seulement si pour n'importe quel ,

le projecteur ayant préalablement été introduit dans la décomposition spectrale , où à ce niveau, si je comprends bien, est un paramètre réel qui n'est pas généralement une valeur propre (sinon, à quoi bon introduire la condition (1)).

L'une de mes questions concerne la notation. Que signifie ? Est-ce un ensemble de projecteurs voisins? Est-ce un ensemble de projecteurs identiques, paramétrisés par les comprises entre et ?

Dans un autre livre [4], je trouve

2- Le spectre de A est l'ensemble de tous les qui ne sont pas dans un intervalle dans lequel est constant.

Si je compare (1) et (2), je conclue que l'intervalle du point (2) est donnée mathématiquement par dans le point (1). Pour comprendre, je pense qu'il me faut trouver le lien entre l'énoncé (i) est constant et l'énoncé mathématique (ii) .


Je continue d'y réfléchir, mais toute aide est la bienvenue.

Cordialement,

Simon


[1] Par exemple, Cohen-Tannoudji et al, Mécanique quantique, Hermann (1998)
[2] A. Peres, Quantum mechanics : concepts and methods, Kluwer, p.103 (1995)
[3] M. Reed, B. Simon, Methods of modern mathematical analysis I, Academic Press, p.236 (1980)
[4] M. Jammer, The philosophy of quantum mechanics, John Wiley & Sons, p.4 (1974)
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[Lévesque]

Pour préciser mon questionnement: j'ai rencontré l'énoncé (2) du post précédent, et je cherche à le formuler mathématiquement.

[mtheory]

là je mais je crois me rappeler qu'il y a effectivement des problèmes avec des histoires de vecteurs propres qui font pas partie d'un espace de Hilbert avec un spectre continu ou un machin comme ça.
ça doit trainer dans le Von Neuman,mais d'un autre cotés je crois que les distributions ont réglées la question

[mtheory]

Je me demande si y a pas un rapport avec ça

http://arxiv.org/abs/quant-ph/9907069

y aurais pas une équivalence entre self adjoint et hermitien pour les espaces de hilbert à base continu ou un machin dans le genre.
Du coup ce que tu prends pour un spectre associé à une base marcherai plus m'enfin là je

[A voir en vidéo sur Futura]

[Lévesque]

Je me demande si y a pas un rapport avec ça

http://arxiv.org/abs/quant-ph/9907069

Duquel je tire: "the so-called continuous spectrum, i.e. the set of generalized eigenvalues of A (that is eigenvalues for which “the eigenvectors do not belong to the Hilbert space H”)."

Mais qu'est-ce que c'est que ça?

Je suis en train de réviser le formalisme de la MQ, et je veux seulement expliciter ce qu'est la définition d'un spectre, sans être attiré dans un trou noir mathématique. Y a-t-il vraiment un trou noir? ou bien comprends-je mal?

Comment je définie le spectre pour éviter les problèmes? Comme le complément de l'ensemble résolvent?

Je désire seulement énoncer mathématiquement ce qu'est le spectre....

[Lévesque]

Je me demande si y a pas un rapport avec ça

http://arxiv.org/abs/quant-ph/9907069

D'autre détails :

In order to avoid misunderstandings, we should emphasize that the definitions given in physics and mathematics textbooks, respectively, for the spectrum of an operator acting on an infinite dimensional Hilbert space, do not completely coincide. In fact, from a mathematical point of view it is not natural to simply define the spectrum of a generic Hilbert space operator as the set of its proper and generalized eigenvalues (e.g. see references [3] and [8]): by definition, it contains a third part, the so-called residual spectrum. The latter is empty for self-adjoint operators and therefore we did not mention it above. However, we will see in the appendix that the residual spectrum is not empty for operators which are only Hermitian.

Pour ceux que ça intéresse, les définitions importantes sont ici.

A-t-on absolument besoin d'opérateurs hermitiens en MQ? Ou bien peut-on se contenter des opérateurs auto-adjoint? Dans le cas où on utilise des opérateurs hermitiens, il semble qu'il faille faire très attention à la définition utilisée pour le spectre .

Simon

[Lévesque]

Une petite question en passant: est-ce possible que tout le monde utilise des opérateurs auto-adjoint A=A*, sauf que certains les appellent à tort hermitiens, ou hermitiques?

Donc, l'objet utilisé en Mq serait l'opérateur auto-adjoint, et puisque le spectre résiduel est vide, on n'a pas de problèmes?

[zarkis]

Il existe plusieurs spectre. Le spectre ponctuel, continu, résiduel.

le spectre poctuel est l'ensemble des valeurs propres de notre opérateur noté A il est défini comme suit : lambda appartient aux complexes tel que (lambda Id-A) non injectif.

Le spectre est la réunion disjointe des 3 spectres énnoncé avant.

ATTENTION ! votre définition d'opérateur auto-adjoint qui n'est pas la même si l'opérateur est borné ou non.

[Lévesque]

Bonjour zarkis,

de votre intervention, je retire l'impression que l'on a besoin de trois définitions pour le spectre. Est-ce vraiment le cas?

Si oui, cela voudrait dire que la définition suivante ne pourrait pas être un définition du spectre (qui inclue tout les spectres) :

Définition (spectre d'un opérateur auto-adjoint pas nécessairement borné) : Le spectre de A est l'ensemble de tous les qui ne sont pas dans un intervalle dans lequel est constant.

Puisque A est auto-adjoint, alors le spectre résiduel est vide. Par conséquent, cette définition devrait être valable et inclure les parties discrète et continue. Mon seul problème avec cette définition, c'est que je ne la visualise pas très bien. Que veulent-ils dire par un projecteur constant? Peut-être est-ce seulement un raccourci pour dire que la variation du paramètre dans l'intervalle génère des projecteurs qui projettent tous sur le même sous espace? Si oui, il doit y avoir une façon d'exprimer ça simplement à l'aide d'une condition mathématique?


J'ai ajouté "pas nécessairement borné" dans la définition, puisque le texte duquel elle provient ne fait pas de précision à ce sujet. Dans le cas d'un opérateur auto-adjoint, pensez-vous qu'il faille accorder de l'importance au fait qu'il soit borné? Utilise-t-on les opérateurs non-bornés en physique?

Merci pour votre aide,

Cordialement,

Simon

[zarkis]

Alors, il y a beaucoup à dire, je vais essayer d'être le plus clair et rapide possible. J'ai l'impression que ta définition vient d'un cours de physique, où du moins d'un physicien qui a écrit un cours de math. Ceci n'est pas une remarque méchante c'est une critique, qui amène l'idée suivante, je ne connais pas ton niveau mais le mieux serait que tu regarde un bon cours d'analyse spectrale en te focalisant sur les opérateurs auto-adjoint borné et non-borné. Je peux pas refaire tout un cours sur un post.

de votre intervention, je retire l'impression que l'on a besoin de trois définitions pour le spectre. Est-ce vraiment le cas?

oui mais les physiciens confondent allègrement le spectre ponctuel et spectre. En physique cela ne pose pas vraiment de problème à part quand on fait de la physique pointu comme la MQ où la RG version mathématiques-physique.

Définir les spectres avec les projecteurs c'est juste pour donner une image, l'important pour les calculs c'est la notion d'injectivité.

'ai ajouté "pas nécessairement borné" dans la définition, puisque le texte duquel elle provient ne fait pas de précision à ce sujet. Dans le cas d'un opérateur auto-adjoint, pensez-vous qu'il faille accorder de l'importance au fait qu'il soit borné?

Un opérateur borné est non-borné est trés différent. la définition d'auto-adjoint change, il faut en plus de symétrique que les domaines des op soient identiques.

Tout dépend de l'espace dans lequel on travaille et l'espace dans lequel vit l'opérateur, pour savoir si l'op. est borné ou pas.le spectre c'est : A-lambda Id non bijectif. Si tu fais de la physique je pense que cette définition te suffira, sinon trouve un cours d'analyse spectrale, j'en ai cherché, et des biens fait et accessible facilement j'ai pas encore trouver mais je cherche..

[Lévesque]

Bonjour,

Pour le niveau (on est dans le forum math du sup?), il ne faut pas s'abaisser au miens, mais m'aider à atteindre celui nécessaire à la compréhension de la définition du spectre que j'ai énoncé. J'ai assez de livre (de math) sur mon bureau pour me pencher sérieusement sur une réponse précise à mes questions formulée dans ce forum. Les physiciens que je connais ne confondent pas spectre continu et discret, le faire reviendrait à penser que l'atome d'hydrogène passe continuement d'un niveau d'énergie à un autre, par exemple.

Cela dit, passons à ce qui m'intéresse:

le spectre c'est : A-lambda Id non bijectif.

En d'autres mots, le spectre au sens mathématique exact est le complément de l'ensemble résolvant? D'accord, enregistré.

Je reviens à ce qui m'intéresse plus, la définition du spectre-selon-von-Neumann : le spectre-selon-von-Neumann de A est l'ensemble de tous les qui ne sont pas dans un intervalle dans lequel est constant. Définissons le projecteur

. (1)

On a ainsi que

. (2)

La condition " est constant" dans l'intervalle considéré est maintenant synonyme de . Construisons maintenant le vecteur

, .

On a alors évidemment que (, i.e. n'est pas constant, sinon impossible de construire le vecteur en question). Il est alors possible de montrer [1] que l'on a toujours

(3),

avec positif arbitrairement petit. L'équation (3) nous dit que est, à tout de fin pratique, une valeur propre du vecteur .

Maintenant, je pense qu'on peux mieux comprendre la définition de Jammer (i.e. de von Neumann). Le spectre-selon-von-Neumann est l'ensemble des pour lesquels il est possible de construire un vecteur tel que (3) est satisfait. On voit clairement d'où vient la restriction n'est pas constant sur l'intervalle, puisque dans ce cas, est nul et on ne peut pas construire le vecteur qui satisfait (3).

Tout ça m'aide beaucoup, je le met ici au cas où une autre personne se poserait les mêmes questions.

Cordialement,

Simon


[1] A. Peres, Quantum Theory, Concepts and Methods, Kluwer, p.103 (1995)

[zarkis]

. Les physiciens que je connais ne confondent pas spectre continu et discret, le faire reviendrait à penser que l'atome d'hydrogène passe continuement d'un niveau d'énergie à un autre, par exemple.

Parfait !

En d'autres mots, le spectre au sens mathématique exact est le complément de l'ensemble résolvant? D'accord, enregistré.

Absolument, je ne voulais pas parler d'ensemble résolvant pour ne pas rajouter de vocabulaire, mais si tu connais alors oui c'est ça, mais attention c'est le spectre est pas forcement les valeurs propres de ton opérateur.

Je reviens à ce qui m'intéresse plus, la définition du spectre-selon-von-Neumann : le spectre-selon-von-Neumann de A est l'ensemble de tous les qui ne sont pas dans un intervalle dans lequel est constant. Définissons le projecteur

. (1)

On a ainsi que

. (2)

La condition " est constant" dans l'intervalle considéré est maintenant synonyme de . Construisons maintenant le vecteur

, .

On a alors évidemment que (, i.e. n'est pas constant, sinon impossible de construire le vecteur en question). Il est alors possible de montrer [1] que l'on a toujours

(3),

avec positif arbitrairement petit. L'équation (3) nous dit que est, à tout de fin pratique, une valeur propre du vecteur .

Maintenant, je pense qu'on peux mieux comprendre la définition de Jammer (i.e. de von Neumann). Le spectre-selon-von-Neumann est l'ensemble des pour lesquels il est possible de construire un vecteur tel que (3) est satisfait. On voit clairement d'où vient la restriction n'est pas constant sur l'intervalle, puisque dans ce cas, est nul et on ne peut pas construire le vecteur qui satisfait (3).

Avec un premier regard rapide, j'ai l'impression que ça colle, mais n'ayant jamais utilisé les projecteurs de façon directe à part au moment d'étudier le cours, je rejéterai un coup d'oeil sur cette histoire, si je n'infirme pas c'est que je suis d'accord.

Je vais aussi voir si il y a un bon cours d'analyse spectrale que je peux trouver sur le net. C'est dommage je connais de trés bon prof dans le domaine mais impossible de mettre la main sur leur cours électronique.

Bravo Simon pour aller au fond des choses comme ça, tu en récolteras le fruit un beau jour.

[Sephi]

Je n'ai pas lu les messages qui précèdent, mais si je ne me trompe, il est question des vecteurs/valeurs propres dits généralisés.

On travaille dans un espace de Schwartz . Un vecteur ket est élément de et un vecteur bra est un élément du dual .

À tout ket correspond un bra défini par :

pour tout , et où est le produit scalaire dans .

Par contre, à un bra donné ne correspond pas toujours un ket de . Dans ce cas, on définit alors un ket généralisé par :

pour tout ket de bra correspondant .

Un opérateur peut ne pas avoir de vecteurs propres dans , tout en admettant des solutions dans l'équation :

Dans ce cas, les sont les vecteurs propres généralisés de (ce sont des kets généralisés) et les sont les valeurs propres généralisées correspondantes, qui forment un spectre continu.

[Sephi]

Et petit ajout : là où j'ai appris les bases de la MQ, "auto-adjoint" et "hermitique" sont synonymes ...

[mtheory]

Il me semble effectivement que Schwartz avait mis ces questions au clair avec sa théorie des distributions.
Mais je n'ai pas étudier le machin

[invite6b1e2c2e]

Salut,

Pour compléter ce qui a été dit, je rajoute que l'une des clés (enfin selon moi) pour comprendre toutes ces histoires vient d'une bonne compréhension des défauts d'une application pour être un isomorphisme :

A n'est pas un isomorphisme dans l'un des cas suivants :
A n'est pas injectif-> valeur propre
A n'est pas surjectif (attention A peut quand même être injectif, par exemple considérer laplacien dirichlet ^-1 dans L^2)
A est surjectif mais son inverse n'est pas continue. -> spectre continu je crois.

Pour clarifier tout ça, en plus des lectures déjà proposées, je recommande le Rudin d'Analyse Fonctionnelle.

Bon courage,
__
rvz

[zarkis]

A n'est pas un isomorphisme dans l'un des cas suivants :
A n'est pas injectif-> valeur propre
A n'est pas surjectif (attention A peut quand même être injectif, par exemple considérer laplacien dirichlet ^-1 dans L^2)
A est surjectif mais son inverse n'est pas continue. -> spectre continu je crois.

rvz

Oui en effet c'est la mécanique a avoir pour travailler dans le spectre. Je rappelle quand même que l'espace dans lequel on travaille est PRIMORDIALE ça change tout, ainsi que le domaine de l'opérateur. u dans L^2 c'est pas u dans H^2 , et les propriétés sur le spectre sont donc différentes pour un même opérateur.

Question bouquin y a les Methods of Modern Mathematical Physics de Reed and Simon en 4 volume, c'est l'une des bibles de l'analyse.

Le Rudin je le trouve moyen pas assez complet. En analyse fonctionnel je préfère le Dautray-Lions, ou celui de H. Brezis.
Mais bon c'est une histoire de gout et d'approche.

[Lévesque]

Merci à tout le monde,

je suis un peu peiné de n'avoir aucune idée de ce que Schwartz a fait à ce sujet.

Sinon, je conclu que tout le monde semble d'accord avec les conclusions de mon dernier post.

Sephi: effectivement, dans certains livre de MQ (par exemple Cohen), on dit que A tel que A=A* est hermitique. Si tu restes toujours dans le Cohen, pas de problème. Mais ailleur, A=A* est la définition pour auto-adjoint, qui est plus restrictive qu'hermitique. Un opérateur Hermitique (ou hermitien?) est un opérateur T qui satisfait (Tv,u)=(v,Tu). La différence, c'est que pour hermitique, le domaine d'application de T et T* n'est pas nécessairement le même, il faut seulement que celui de T soit inclu dans celui de T*. Imposer que T soit autoadjoint implique que les domaines de T et T* coïncident.

Cordialement,

Simon

[zarkis]

je suis un peu peiné de n'avoir aucune idée de ce que Schwartz a fait à ce sujet.

Concernant Schwartz, il a créé les distributions -en une nuit selon la légende- qui sont un moyen de manipuler sans problème les opérateurs, notament à coup de formule de Green (ou intégration par partie, c'est la même chose). C'est surtout pour manipuler nos opérateurs dans des espaces (fonctionnel) de Sobolev H^n qui rendnt comptes du nombre de dérivé dans L^2 (fonction de carré intégrable), mais si tu commences en plus à regarder les espaces de distributions, heu...ça va faire beaucoup, c'est une matière à eux tout seul.

livre :
Pour les distribution y a le Zuily qui est trés trés bien fait.

[Lévesque]

Ok, merci.

Mais, y a-t-il un article, ou un livre, dans lequel il est indiqué ce qui a rapport avec cette discussion (Schwartz->spectre/valeurs propres)? Y a-til un lien avec ce qu'a dit Sephi, et qui est énoncé d'une façon qui ne m'est pas très familière?

Peut-être seulement pour citer la référence un jour...

Cordialement,

Simon

[invite6b1e2c2e]

Je crois me souvenir que quelquefois, il y a des éléments du spectre qui sont "valeurs propres" entre guillemets seulement parce que tu peux trouver un vecteur propre qui n'est pas dans le bon espace fonctionnel.
Un exemple, tu prends le laplacien (encore lui) sur R+ dans l'espace L^2. Son spectre est R+. Et quand tu prends un nombre réél positif, tu choisis une de ses racines, mettons a, alors exp(i a x) va être un "vecteur propre" avec guillemet parce qu'il n'est pas dans le bon espace fonctionnel. En général, c'est là qu'on dit Argh ! Gosh ! Sacrebleu !

J'espère que cet exemple te montre encore une fois à quel point c'est un sujet délicat.

__
rvz

[zarkis]

Mais, y a-t-il un article, ou un livre, dans lequel il est indiqué ce qui a rapport avec cette discussion (Schwartz->spectre/valeurs propres)?

C'est pas aussi simple, bien sûr qu'il y a des articles qui parlent de distributions, mais il ne te seront pas accessible, à part si tu as un master de math, je ne dis pas ça pour dire que tu ne comprendras jamais rien. Mais tu fais pour le moment de la physique, c'est trés bien de vouloir aller au fond des choses. Mais les maths c'est comme la physique ça doit s'apprendre, ça ne marche pas par patch, un bout là un autre là..

L'analyse mathématique est la partie des maths qui sert le plus la physique. En Analyse il y a un gros pan qui s'appelle "théorie des Equations aux Dérivés Partielles" il y a une sous partie qui s'appelle "espace de distribution", ensuite connexe avec tout ça il y a la "théorie spectrale" qui est une grosse masse des maths actuelles avec notament trés mode en ce moment "l'analyse micro-locale" (c'est de la théorie spectrale version ++). Pour connaitre tout ça il faut environ 2 ans (dans le programme), pour le maitriser il faut plus.

Ce que je veux dire c'est que tu fais de la physique, ll ne faut pas trop s'éparpiller, d'autant plus que c'est un gros morceau que tu veux attaquer. Tu y reviendra si tu veux plus tard. Si tu désire quand même t'y mettre parceque le soir tu t'ennuies, fais toi les 4 volumes de Reed and Simon, tu maitriseras parfaitement les concepts d'analyse fonctionnel et spectrale.

En espérant avoir pu t'aider.

[mtheory]

Je crois avoir identifié le cadre mathématique adéquat,les "rigged Hilbert space"
http://en.wikipedia.org/wiki/Rigged_Hilbert_space

http://arxiv.org/abs/quant-ph/0502053

[Sephi]

Sephi: effectivement, dans certains livre de MQ (par exemple Cohen), on dit que A tel que A=A* est hermitique. Si tu restes toujours dans le Cohen, pas de problème. Mais ailleur, A=A* est la définition pour auto-adjoint, qui est plus restrictive qu'hermitique. Un opérateur Hermitique (ou hermitien?) est un opérateur T qui satisfait (Tv,u)=(v,Tu). La différence, c'est que pour hermitique, le domaine d'application de T et T* n'est pas nécessairement le même, il faut seulement que celui de T soit inclu dans celui de T*. Imposer que T soit autoadjoint implique que les domaines de T et T* coïncident.

Mmm à partir du moment où un opérateur T dans un espace de Hilbert H est borné, il est également continu et on peut définir directement son adjoint T* à l'aide du lemme de Riesz. Le domaine de T* est alors H aussi.

Donc à mon avis, si tu es dans le cas d'opérateur borné (comme le laisse entendre le titre du sujet), alors "auto-adjoint" et "hermitique" sont synonymes ...

[Sephi]

Ah oui, et l'espace de Schwartz que j'ai introduit plus haut est en fait l'espace sur lequel les opérateurs de position et d'impulsion sont bornés, d'où le fait que sur cet espace, "auto-adjoint" et "hermitique" sont synonymes. Je crois, sans être sûr, que c'est cet espace qui est utilisé pour la plupart des opérateurs à spectre continu.

[zarkis]

Donc à mon avis, si tu es dans le cas d'opérateur borné (comme le laisse entendre le titre du sujet), alors "auto-adjoint" et "hermitique" sont synonymes ...

Absolument.

[mtheory]

mon truc est pertinant ou c'est du nimportkawak irrelevant?

[zarkis]

L'article archivx m'a l'air honnête (j'ai pas regardé en détail), en dehors du fait qu'il y a des notations tout à fait abominable. En fait je crois comprendre mtheory que tu parles de la décomposition d'un opérateur auto-adjoint borné sur une base hilbertienne.

Par contre la façon de voir et de noter les distributions sont horrible.

Quand au lien wiki, il est interressant mais je doute qu'on puisse vraiment le comprendre sans un bon background mathématiques, il parle d'espace dense, d'espace dual, d'ensemble de fonction test, de fonction L^2 ( cours sur intégration de lebesgue), mesure de Borel (encore faut-il connaitre la notion de mesure). Et encore une fois ils parlent de fonction test et d'espace de distribution, mais ils ne sont pas définit clairement.

Je rejoins mon post précédent, pour comprendre tout ça il faut prendre un cours de maths, on ne peut pas espérer comprendre ces concepts en collant des bouts de bouts d'info trouvé ça et là.
Il faut prendre le temps d'étudier les mathématiques comme on prend le temps d'étudier la physique. Personnellement j'ai fais le choix d'étudier d'abord les maths, à la fac et maintenant je vais pouvoir regarder de plus prés la physique.

[Sephi]

En effet, il s'agit-là d'un gros morceau de maths pures ... Ce que j'ai raconté ci-dessus vient d'un cours de méca. quant. destiné aux matheux de ma fac.

[Lévesque]

C'est pas aussi simple...

Merci pour la remise en contexte, de RVZ aussi. Je croyais avoir affaire à un article, ou un chapitre d'un livre, sans plus. C'est rassurant dans un sens (j'ai moins l'impression d'avoir loupé un chapitre important ).

Aussi, j'ai discuté aujourd'hui avec mon prof plutôt spécialiste en MQ. Je n'ai pas tout compris, mais il a entre autre dit qu'en utilisant le formalisme de Dirac, on acceptait en quelque sorte que nos vecteurs propres sortent de l'espace de Hilbert, qu'ils ont une norme infinie... Il a parlé du delta de Dirac dans son argumentation, mais il aurait fallu que je l'enregistre pour bien saisir. En tout cas, ça réglait le problème de la norme je crois (ouf, je réalise que j'ai pas trop compris). Il avait l'air (sans le dire) de vouloir que j'évite le sujet (c'est mon directeur de recherches). Mon impression de son propos est que dans cette démarche, il y a beaucoup d'abus de language, mais que ça suffit pour ce qu'on souhaite faire. À suivre...

Sephi: je m'excuse!!! erreur de ma part réflété dans le titre, j'ai des opérateurs non-bornés à traiter, comme par exemple tous les hamiltoniens... ouf, je suis désolé. À un moment dans la discussion, je croyais que la MQ ne traitait que d'opérateurs bornés, j'étais dans les patates... Aussi, ton cours est disponible? Quels sont les références?

mtheory: je vais regarder tes liens à l'instant.

Merci beaucoup à tout le monde,

Simon