Spectre d'un opérateur auto-adjoint

[zarkis]

M
Aussi, j'ai discuté aujourd'hui avec mon prof plutôt spécialiste en MQ. Je n'ai pas tout compris, mais il a entre autre dit qu'en utilisant le formalisme de Dirac, on acceptait en quelque sorte que nos vecteurs propres sortent de l'espace de Hilbert, qu'ils ont une norme infinie... Il a parlé du delta de Dirac

le delta de dirac, c'est la distribution de Dirac, pour avoir feuilletter le cours de MQ du cohen-Tanoudji, l'utilisation qu'ils en font au sens des distributions est abusive est pas trés rigoureuse. Alors bien sûr c'est pas faux, mais bon..

Mon impression de son propos est que dans cette démarche, il y a beaucoup d'abus de language, mais que ça suffit pour ce qu'on souhaite faire

C'est ce que je te disais plus haut, pour avoir vue des cours de physique et lu des articles de physiciens tu n'a pas besoin à ton niveau de descendre autant dans le détail mathématiques, tu le feras peut-être plus tard quand tu auras le temps.

Bonne continuation.
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[Sephi]

Sephi: je m'excuse!!! erreur de ma part réflété dans le titre, j'ai des opérateurs non-bornés à traiter, comme par exemple tous les hamiltoniens... ouf, je suis désolé. À un moment dans la discussion, je croyais que la MQ ne traitait que d'opérateurs bornés, j'étais dans les patates... Aussi, ton cours est disponible? Quels sont les références?

De mon cours, je n'ai que le syllabus papier, qui ne mentionne pas de références :s

À la limite, je te file les coordonnées de mon prof si tu souhaites lui demander des références :

http://www.ulb.ac.be/rech/inventaire.../6/CH1116.html

Elle est sympa, mais un peu bizarre (y a une rumeur au département disant qu'elle passe ses journées à calculer des coefficients de Clebsch-Gordan ...).

[Lévesque]

Ok, merci sephi.

Dernière chose:

The major part of the operator calculus in Hilbert space and, in particular, its spectral theory had been worked out by von Neumann before Paul Adrien Maurice Dirac published in 1930 his famous treatise in which he presented a conceptually most compact and notationally most elegant formalism for quantum mechanics. Even though von Neumann admitted that Dirac's formalism could "scarcely be surpassed in brevity and elegance," he criticized it as deficient in mathematical rigor, especially in view of its extensive use of the (at that time) mathematically unacceptable delta-function. Later, when Laurent Schwartz' theory of distributions made it possible to incorporate Dirac's improper functions into the realm of rigorous methematics, Dirac's formalism seemed not to be assimilable to von Neumann's. Yet, due to its immediate intuitability and notational convenience Dirac's formalism not only survived but became the favorite framework for many exposition of the theory. The possibility of assimilating Dirac's formalism with von Neumann's approach has recently become the subject of important investigation such as Marlow's [1] presentation of the spectral theory in terms of direct integral decomposition of Hilbert space, Robert' [2] recourse to "rigged" Hilbert space as well as the investigations by Hermann [3] and Antoine [4].

[1]A. R. Marlow, Unified Dirac-von Neumann formulation of quantum mechanics, Journal of Mathematical Physics 6, 919-927 (1965)
[2] J. E. Roberts, The Dirac bra and ket formalism, Journal of Mathematical Physics 7, 1097-1104 (1966); Rigged Hilbert spaces in quantum mechanics, Communication in mathematical physics, 3, 98-119 (1966)
[3] R. Hermann, Analytic continuation of group representation, Communication in mathematical physics, 5, 157-190 (1967)
[4] J. P. Antoine, Dirac formalism and symmetry problems in quantum mechanics, Journal of Mathematical Physics 10, 53-69, 2276-2290 (1969)

Source: M. Jammer, The philosophy of quantum mechanics, John Wiley & Sons, p.8 (1974)

A+

Simon

[Lévesque]

erreur de ma part réflétée dans le titre

Titre modifié par la modération, merci.

Simon

[Lévesque]

Je me permet de poser quelques questions, même si c'est peut-être pointu.

Disons que je construise un ensemble de vecteurs . Avec ça, je peut faire un espace vectoriel de dimension 3.

Question: dans un espace vectoriel, est-ce qu'il est possible de mettre plusieurs fois le même vecteur?

Par exemple, est-il possible de construire un espace vectoriel dans lequel j'ai 5 fois le vecteurs , et seulement une fois et une fois ?

Pour être plus général, je me demande s'il est possible de construire un espace vectoriel dans lequel la densité de vecteurs n'est pas uniforme. Ça existe?

Si oui, j'aurais besoin d'un petit cours rapide...

Merci,

Simon

[edpiste]

je comprends pas bien ce que tu veux dire. L'espace vectoriel engendré par est le même que celui engendré par !

[Lévesque]

je comprends pas bien ce que tu veux dire. L'espace vectoriel engendré par est le même que celui engendré par !

D'accord. Donc, l'expression "espace vectoriel" n'est pas appropriée pour ce que je recherche. Mais quand même, ce que je recherche doit exister?

Personne ne comprends ce que je recherche?

[Lévesque]

je comprends pas bien ce que tu veux dire. L'espace vectoriel engendré par est le même que celui engendré par !

J'ai besoin d'un concept mathématique qui peut distinguer entre ces deux ensemble, c'est à dire probablement une description plus fine de l'espace-vectoriel.

Cordialement,

Simon

[edpiste]

Tout dépend de ce que tu veux faire et quelles structures mathématiques tu veux conserver. Par exemple, on peut considérer l'ensemble et l'ensemble . Le premier permet de générer par combinaisons linéaires un espace de dimension 3, le deuxième est un ensemble à 4 éléments, chaque élément étant donné par la donnée d'un vecteur et d'un numéro (correspondant à la copie recherchée). On peut peut-être fabriquer un espace vectoriel aussi dans ce deuxième cas : est-ce cela que tu souhaites faire ?

[Lévesque]

Je réfléchi...

Ce devrait être un truc qui associe un nombre à chaque vecteur de l'espace vectoriel. Disons que mon espace-vectoriel a deux dimensions, et que tous ses vecteurs sont normés. Je peux donc le construire à partir des vecteurs de bases |x> et |y>. Tous les éléments de l'espace vectoriel sont donnés par

|u> = a|x> + b|y>, (a^2+b^2=1).

À chaque vecteurs de l'espace, je peux associer un point sur la surface d'une sphère de rayon 1. Maintenant, ce que je veux faire, c'est définir un champ scalaire sur la surface de la sphère. À chaque point, je voudrais associé un chiffre, qui représente le nombre de vecteur |u> qui pointent dans cette direction.

Arg, ça commence à me faire penser à de la géo. diff.

Étant donné que je veux éventuellement passer à un espace de dimension infini, j'aurai besoin de représenter un champ scalaire sur la surface d'une sphère ayant une infinité de dimension...

Il doit y avoir plus simple... non?

[julien_4230]

Connaissez-vous l'excellent livre : "Mathématiques pour la physique et les physiciens !" de Walter Appel (4e édition).
Je n'ai pas lu tout le topic, ni encore tout le bouquin, mais je crois que toutes les questions que vous vous posez ont des réponses mathématiquement fondées dans ce livre. Je vous le conseille absolument, et je me conseille nécessairement aux physiciens théoriciens qui ne savent pas l'existence des spectres discret, continu et résiduel, dont l'union forme le spectre d'un opérateur linéaire (A,D_A) et donc ne savent pas l'existence de l'ensemble résolvant, étant le corps complexe privé du spectre de A.
Il existe alors de nombreux, nombreux, nombreux problèmes liés aux ensembles de définition, par exemple, en raison de la confusion horrifiante entre un opérateur hermitien ou auto-adjoint.

En ce qui concerne les valeurs et vecteurs propres généralisés, correspondant ainsi à une base généralisée (ce que les physiciens appellent abusivement "base continue"), ils font intervenir une distribution tempérée T : bra généralisé :

<T|Phi> =(def) <T,Phi*>*.

Le théorème de Riesz affirme l'existence de ket généralisés (L'application H => H' : |Phi> => <Phi| est un isomorphisme semi-linéaire).

Tout ça doit être maîtrisé par les physiciens quantiques !

Tout ce que je vous raconte là, c'est le cours du livre (bien entendu, ce cours est mathématiquement rigoureux, et je bannis les bouquins de physiques qui ne font pas appel à ces notions-ci !).

J'espère vous avoir sincèrement aidé.

Cordialement,