Il existe une infinité de nombres premiers

[Seirios]

Bonsoir à tous,

J'ai rassemblé les différentes preuves du théorème d'Euclide (il existe une infinité de nombres premiers) que j'ai pu rencontrer dans un pdf, que je mets en pièce jointe.

Si vous connaissez cetaines preuves qui ne se trouvent pas dans le pdf, ou si vous avez des questions/remarques sur celles qui s'y trouvent, n'hésitez pas à laisser un message.

Sur cette page, il est fait mention d'une preuve utilisant les itérés d'un certain type de polynôme : Si l'on prend un polynôme P à coefficients entiers, de coefficient de degré zéro a non nul, tel que pour tout entier n premier avec a, P(n) est premier avec a, alors les éléments de la suite sont premiers deux à deux. Pourtant, ce résultat me semble faux, il suffit de considérer le polynôme P=X+1.

Mais peut-être connaissez-vous un résultat exploitable utilisant cette idée ?

Seirios
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[Amanuensis]

L'original du papier de Bellman : http://projecteuclid.org/DPubS?servi...ams/1183510986

Manifestement cela a été mal recopié...

[invitea07f6506]

Bonsoir,


Une remarque ponctuelle pour commencer : dans la preuve (celle avec la série harmonique), il aurait peut-être été mieux de prouver d'abord l'identité :



ou au moins de préciser que cela vient de l'unique décomposition d'un entier en puissances de nombres premiers. Soit dit au passage, si on recherche des preuves amusantes (quitte à ce qu'elles soient compliquées), il me semble qu'on peut montrer directement le théorème des nombres premiers, typiquement via l'analyse complexe ou un théorème taubérien, ce qui est une autre façon de démontrer la non-finitude de l'ensemble des nombres premiers.


Une remarque plus générale, maintenant. Tu utilises souvent des démonstrations par l'absurde alors qu'elles ne sont pas du tout nécessaires. Par exemple, pour la méthode d'Euclide, on peut procéder de la façon suivante (en gros) :
"Soient , ..., des nombres premiers. Alors le plus petit facteur premier de est un nombre premier distinct de tous les . Notons-le . En posant et en procédant par récurrence, on peut donc construire une suite infinie de nombres premiers deux à deux distincts, d'où le résultat."

En bonus, on a un algorithme clair (quoique pas très efficace) qui donne autant de nombres premiers que souhaité.

Cette remarque me conduit vers la proposition suivante : un certain nombre de tes preuves, peut-êtres toutes en fait, peuvent aussi donner une borne sur le nombre minimal de nombres premiers qu'il y a dans l'intervalle . Ce serait intéressant de calculer ces bornes, et de les comparer (en bref, de regarder quelles preuves sont les plus efficaces).


Sinon, travail sympathique, je pense que je vais le garder sous la main au cas où ^^.

[Seirios]

L'original du papier de Bellman : http://projecteuclid.org/DPubS?servi...ams/1183510986

Merci, je vais voir ça.

Une remarque ponctuelle pour commencer : dans la preuve (celle avec la série harmonique), il aurait peut-être été mieux de prouver d'abord l'identité :



ou au moins de préciser que cela vient de l'unique décomposition d'un entier en puissances de nombres premiers.

Comme je ne voulais pas remontrer proprement l'égalité, je n'ai pas beaucoup détailler, mais effectivement j'aurais au moins dû rajouter cette justification.

En bonus, on a un algorithme clair (quoique pas très efficace) qui donne autant de nombres premiers que souhaité.

Cette remarque me conduit vers la proposition suivante : un certain nombre de tes preuves, peut-êtres toutes en fait, peuvent aussi donner une borne sur le nombre minimal de nombres premiers qu'il y a dans l'intervalle . Ce serait intéressant de calculer ces bornes, et de les comparer (en bref, de regarder quelles preuves sont les plus efficaces).

Oui, j'ai pensé à rajouter des commentaires sur ce genre de détails, peut-être pour une prochaine version.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Amanuensis]

Une remarque plus générale, maintenant. Tu utilises souvent des démonstrations par l'absurde alors qu'elles ne sont pas du tout nécessaires. Par exemple, pour la méthode d'Euclide, on peut procéder de la façon suivante (en gros) :

Oui, mais on peut argüer qu'il ne s'agit pas de la "même" preuve.

Ce sont des preuves proches l'une de l'autre, d'un certain point de vue. Mais d'un autre, on peut voir deux grandes classes de preuves dans la liste : la classe de celles qui consistent à exhiber des suites infinies d'entiers premiers entre eux deux à deux, et la classe des démonstrations par l'absurde. Et la variante proposée n'appartient pas à la même classe...

[leon1789]

Oui, mais on peut argüer qu'il ne s'agit pas de la "même" preuve.

Ce sont des preuves proches l'une de l'autre, d'un certain point de vue. Mais d'un autre, on peut voir deux grandes classes de preuves dans la liste : la classe de celles qui consistent à exhiber des suites infinies d'entiers premiers entre eux deux à deux, et la classe des démonstrations par l'absurde. Et la variante proposée n'appartient pas à la même classe...

Oui, mais on peut argüer que la première classe est plus fine que la seconde dans le sens où toute preuve de la première classe donne à l'évidence une preuve de la seconde (en ajoutant en hypothèse la négation de ce que l'on démontre), et que cela n'a pas l'air vrai dans le sens inverse, si ? De ce fait, il apparaît intéressant de placer le coeur de l'argumentation dans la meilleure classe possible.

[Amanuensis]

Oui, mais on peut argüer

C'est l'écriture (et la prononciation) correcte. Le smiley pourrait faire croire le contraire et faire passer l'imitation pour de l'ironie.

que la première classe est plus fine que la seconde dans le sens où toute preuve de la première classe donne à l'évidence une preuve de la seconde (en ajoutant en hypothèse la négation de ce que l'on démontre), et que cela n'a pas l'air vrai dans le sens inverse, si ? De ce fait, il apparaît intéressant de placer le coeur de l'argumentation dans la meilleure classe possible.

Je ne sais pas si c'est si clair. Comme je m'y perds dans "premier" et "seconde", je précise. Il me semble qu'il y a dans les preuves proposées des démonstrations par l'absurde qu'on ne peut pas transformer en construction d'une suite infinie de premiers.

Quand à l'autre sens, je ne vois pas trop comment la transformation est autre chose qu'une tautologie (i.e., si je suppose qu'une séquence infinie de nombres premiers entre eux deux à deux ne contient que des produits d'un nombre fini d'entiers, alors il y a contradiction).

Sinon, dans le cas cité, il y a déformation. La démo d'Euclide parle des produits des n premiers entiers premiers successifs (ensemble qu'on peut voir comme une séquence), alors que la démo constructive proposée parle d'une autre séquence (nuance peut-être pas perçue immédiatement).

Par ailleurs, j'avais mis des "" autour de même, dans "même preuve", parce qu'il me semble que c'est une notion assez subjective. Je ne saurais pas donner un critère rigoureux pour reproduire la relation d'équivalence que semblent appliquer les humains.

[Amanuensis]

C'est l'écriture (et la prononciation) correcte

Non, autant pour moi. Je me suis trompé sur la position du tréma.

L'ironie était-elle sur la position du tréma, ou sur le tréma lui-même?

(Réponse, si réponse, en MP, nul besoin de prolonger ce HS.)

[leon1789]

C'est l'écriture (et la prononciation) correcte. Le smiley pourrait faire croire le contraire et faire passer l'imitation pour de l'ironie.

Ce n'était effectivement pas de l'ironie : comme tu l'as compris, ton expression avec argüer m'a fait sourire, c'était simplement ça.

Sinon, dans le cas cité, il y a déformation. La démo d'Euclide parle des produits des n premiers entiers premiers successifs (ensemble qu'on peut voir comme une séquence), alors que la démo constructive proposée parle d'une autre séquence (nuance peut-être pas perçue immédiatement).

On a quand même l'impression que l'hypothèse de considérer les n premiers nombres premiers est assez inutile.

Par ailleurs, j'avais mis des "" autour de même, dans "même preuve", parce qu'il me semble que c'est une notion assez subjective. Je ne saurais pas donner un critère rigoureux pour reproduire la relation d'équivalence que semblent appliquer les humains.

Oui, ce sera difficile de donner une définition mathématique rigoureuse.

Cela étant, on voit bien que l'astuce de "considérer un produit de nombres premiers, d'ajouter 1, de justifier que le résultat est au moins égal à 2, puis de considérer un diviseur premier" couvre une large partie des deux preuves. Pour moi (subjectif !), la différence entre les deux preuves reste essentiellement dans leur rédaction : une preuve propose un résultat positif (une suite de nombres premiers distincts), l'autre preuve propose simplement une négation ("l'ensemble des premiers n'est pas fini") logiquement plus faible. C'est donc dommage de garder la seconde et non la première.

[invite57a1e779]

Je me suis trompé sur la position du tréma.

Mais non, le tréma est bien sur le «u», dont il commande la prononciation.
L'ancienne orthographe, sans tréma, est toujours correcte.
Mais, que l'on écrive «arguer» ou «argüer», il faut prononcer [aʁɡɥe] et non [aʁɡye] (je ne sais pas si l'alphabet phonétique passe sur le forum...), la lettre «u» sert ici à noter un glide (semi-consonne), comme dans «huer», prononcé ['ɥe] et non ['ye].

[Amanuensis]

Mais non, le tréma est bien sur le «u», dont il commande la prononciation.
L'ancienne orthographe, sans tréma, est toujours correcte.
Mais, que l'on écrive «arguer» ou «argüer», il faut prononcer [aʁɡɥe] et non [aʁɡye] (je ne sais pas si l'alphabet phonétique passe sur le forum...), la lettre «u» sert ici à noter un glide (semi-consonne), comme dans «huer», prononcé ['ɥe] et non ['ye].

C'est surtout la prononciation [aʁɡe] que j'essaye d'éviter, et surtout le "il argue" ou "j'argue" prononcé [aʁɡ] au lieu de [aʁɡy].

[invitea07f6506]

Ah, j'ai retrouvé la démonstration à laquelle je pensais, sur le mode "techniques grotesques avec la fonction ".

 Cliquez pour afficher

est transcendant. Donc est irrationnel. Or



Donc il y a une infinité de nombres premiers.

On peut faire la même chose avec la constante d'Apéry. Il faut voir cependant si la démonstration de son irrationalité fait intervenir ou non le fait qu'il existe une infinité de nombres premiers - on a le droit au preuves grotesques, mais pas aux preuves circulaires, tout de même !

[invitea0db811c]

Bonsoir,
La preuve d'apery, du moins celle que je connais utilise le théorème des nombres premiers, donc non pas possible

[invite1682d594]

Merci mon grand,je viens d'observer ta réponse.ça vraiment satisfai!

[0577]

Bonjour,

une esquisse de preuve qui ne semble pas être dans le pdf :

si Z n'avait qu'un nombre fini d'idéaux premiers alors il en serait de même de tout anneau d'entiers de corps de nombres
(extension finie du corps des rationnels). Tout anneau d'entiers de corps de nombres serait alors un anneau de Dedekind
avec un nombre fini d'idéaux premiers donc principal. Mais il existe des anneaux d'entiers de corps de nombres non-principaux
(par exemple car ), contradiction.

[invite1a642ef2]

Bonjour,
Je réponds sur ce vieux post seulement maintenant.
Juste pour ne pas laisser de bétise (l'erreur est humaine).
Garf: effectivement utiliser la transcendance de pi pour montrer l'infinitude des nombres premiers paraît très séduisant au premier abord.
Seulement, le bémol est que le théorème d'Hermite-Lindemann (celui qui permet de montrer la transcendance de pi) utilise dans sa preuve l'infinitude de l'ensemble des nombres premiers.
Mais peut-être existe-t-il une autre démonstration du théorème d'Hermite-Lindemann n'utilisant pas l'infinitude des nombres premiers. Celle que je connais, voir pdf l'utilise.
Cordialement
Jérôme

[invite51d17075]

Il me semble que le théorème des nombres premiers ( utilisant la fonction Zeta ) ne fait pas intervenir la transcendance de pi.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Théorè...mbres_premiers

[0577]

Bonjour,

Garf: effectivement utiliser la transcendance de pi pour montrer l'infinitude des nombres premiers paraît très séduisant au premier abord.
Seulement, le bémol est que le théorème d'Hermite-Lindemann (celui qui permet de montrer la transcendance de pi) utilise dans sa preuve l'infinitude de l'ensemble des nombres premiers.

En fait, pour appliquer la remarque de Garf, il suffit de savoir que est irrationnel, ce qui est beaucoup plus facile que de prouver que est transcendant, et dont les preuves (fractions continues ou intégrales) ne mentionnent pas les nombres premiers.

[Médiat]

Bonsoir,

Est-ce que quelqu'un a déjà étudié la fraction continue (2, 3, 5, 7, 11, ....) ? Une façon sympa d'encoder tous les nombres premiers...

[invite51d17075]

divergente et prouvant indirectement l'infinité de ces nombres ?, mais dont on ne déduit qu'une version faible du théorème des nb premiers ?

[Médiat]

divergente et prouvant indirectement l'infinité de ces nombres ?, mais dont on ne déduit qu'une version faible du théorème des nb premiers ?

Convergente et dont la limite encode tous les premiers (mais d'une façon sans doute inutile et certainement peu performante)

[invite51d17075]

Convergente ?
"On" m'aurait menti ? :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Série_...mbres_premiers

[invite23cdddab]

Quel rapport entre cette série et la fraction continue proposée par Médiat?

[invite51d17075]

j'ai mal compris son post, tout simplement.
car la série à laquelle je faisais allusion m'est venu en tête ( plus en rapport avec le fil )

[invite1a642ef2]

0577: En effet, en se servant directement de pi irrationnel.
Seulement dans le message de Garf, il déduisait l'irrationnalité de pi de sa transcendance alors qu'elle peut être démontrée sans utiliser la transcendance.
La preuve du théorème d'Hermite-Lindeman démontrant la transcendance de pi que je connais utilise l'infinitude de l'ensemble des nombres premiers; donc cela une preuve en boucle de déduire l'infinitude des nombres premiers de la transcendance de pi.
Sinon, autre point: existe-t-il une preuve d'Hermite-Lindeman n'utilisant pas l'infinitude des nombres premiers?

[stefjm]

Est-ce que quelqu'un a déjà étudié la fraction continue (2, 3, 5, 7, 11, ....) ? Une façon sympa d'encoder tous les nombres premiers...

Jamais vu nul part mais cela m'intéresse.

[invite51d17075]

0577: En effet, en se servant directement de pi irrationnel.
Seulement dans le message de Garf, il déduisait l'irrationnalité de pi de sa transcendance alors qu'elle peut être démontrée sans utiliser la transcendance.
La preuve du théorème d'Hermite-Lindeman démontrant la transcendance de pi que je connais utilise l'infinitude de l'ensemble des nombres premiers; donc cela une preuve en boucle de déduire l'infinitude des nombres premiers de la transcendance de pi.
Sinon, autre point: existe-t-il une preuve d'Hermite-Lindeman n'utilisant pas l'infinitude des nombres premiers?

c'est ce point que je ne saisi pas.
dans mon souvenir, on montre la transcendance de e grâce à l'infinité des nb premiers, puis on en déduit celle de pi.
je n'ai rien lu qui "déduise" l'infinité des nb premiers depuis la transcendance de pi.
celle-ci ( pour les nb premiers ) se démontre par ailleurs, sans avoir à faire intervenir pi.

[Médiat]

Jamais vu nul part mais cela m'intéresse.

J'ai fait une recherche sur la valeur (approximée) de la limite : 0 résultat...

[stefjm]

J'ai fait une recherche sur la valeur (approximée) de la limite : 0 résultat...

Pareil...

[stefjm]

Peut-être
https://arxiv.org/pdf/1003.4015.pdf