exemple base duale

[fabio123]

Bonjour,

j'essaie d'appliquer un exemple tout simple à la définition d'une base duale. En partant de la proposition et définition suivantes :

Proposition :

Soit une base de . On note les formes linéaires coordonnées dans la base . Autrement dit, on a
Alors est une base de .

La base de est appelée base duale de la base de .

Définition :



Maintenant, si je prends par exemple la base , alors

la base réciproque est donc, d'après sa définition, formée des vecteurs suivants : , et

Comment alors retrouver avec la proposition ci-dessus l'expression de la forme linéaire de mon exemple : ?

D'une manière générale, comment retrouver l'expression d'une forme linéaire agissant sur une base de la manière suivante :



avec et

?
-----

[Amanuensis]

Maintenant, si je prends par exemple la base ,

??? Ce serait une base de quel espace ?

[fabio123]

ça serait une base de

[Amanuensis]

Une base de R^3 est composée de trois vecteurs, pas de trois nombres.

[A voir en vidéo sur Futura]

[fabio123]

oui je voulais dire la base

[gg0]

C'est quoi, et ?

Pourquoi compliquer et ne pas partir d'un système de trois triplets explicitement donnés et qui forment une famille libre (donc génératrice) ?

Cordialement.

NB : Difficile de parler de base duale si on n'a pas bien compris la notion de base.

[Amanuensis]

oui je voulais dire la base

La base duale de cette base là est , voyez-vous pourquoi ?

[fabio123]

oui parce que l'on a : ,

d'où :

idem pour les 2 autres.

c'est ça ?

désolé, je me suis emmelé les pinceaux avec la 2ème définition qui permet de retrouver l'expression d'une forme linéaire mais je ne voulais parler que de la première, c'est-à-dire :

[Amanuensis]

c'est ça ?

Oui (pour être rigoureux, fallait aussi donner les produits croisés, qui sont nuls, même si c'est assez évident). Et c'est un cas simple...

Maintenant vous pouvez essayer avec (e1+e2, e2, e3)...

[Amanuensis]

désolé, je me suis emmelé les pinceaux avec la 2ème définition qui permet de retrouver l'expression d'une forme linéaire

? Elle paraît correcte!