Transfert de propriétés entre R et C

[Lefebvre-Corentin]

Bonjour, j'espère trouver auprès de vous des pistes de recherche concernant ma question.

Voilà ce que je sais : À partir de l'ensemble C on peut définir des propriétés comme :
On voit ici un lien entre la fonction exp et cos et sin ...

Egalement dans l'ensemble des complexes, je sais que la fonction ln est intimement liée au cercle trigonométrique ... Et dans R, ln et exp sont clairement aussi liées...

Dans R, maintenant je pars d'une constatation :

et

et

À partir des développements limités en 0, on se rend compte que l'exponentielle en développement limité ressemble à une somme des développements limités de cos et sin (cas pair et cas impair)

Alors voici donc ma question :
Existe-t-il d'autres propriétés liant encore plus fortement R et C et également au lieu de partir de l'ensemble des complexes pour nous retrouver dans R en liant exp, cos et sin, peut-on uniquement partir de R et lier directement exp à cos et sin, même si possible, ln à cos et sin voire, peut-être, à d'autres fonctions trigonométriques.

Merci par avance des réponses que vous pourriez m'apporter
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[RoBeRTo-BeNDeR]

Bonjour,

en fait ce que tu as noté sont les définitions - si l'on remplace le n par un infini - des fonction exp, cos et sin une fois que l'on a fait l'étude des séries entières. Juste une chose, les fonctions sin et cos sont périodiques et bornées alors que exp ne l'est pas du tout sur lR, donc pour relier les unes aux autres, ce n'est pas simple en restant dans ce cadre. De plus ln n'est pas toute à fait équivalente à l'exp vis à vis de ses propriétés car si tu ne le savais pas on ne peut pas définir un Ln dans tout le plan complexe à la fois, en gardant quelques propriétés utiles de celle-ci.

Alors après il y a une propriété sur les séries entières qui te dis que si les deux fonctions définies par des séries entières - dans de bonnes conditions - sont égales sur un intervalle de lR alors elle le seront aussi sur une certaine partie de C.
Peut être donc que l'étude des séries entières t’intéresseras ainsi que la définition du logarithme principal. Peut être également le cosinus et le sinus hyperboliques.

[Lefebvre-Corentin]

Merci de ta réponse RoBeRTo-BeNDeR il est vrai que j'ai oublié de citer une contradiction que l'on a avec le ln dans l'ensemble des complexes, si je me rappelle, elle n'est pas une fonction holomorphe, par exemple heureusement par ailleurs car on aurait des relations étranges

Pour ce qui est des séries, je vais y jeter un oeil et m'y intéresser ainsi qu'à la définition du logarithme principal (Il est vrai que mon bagage mathématique n'est pas très important, mais je me passionne pour cette matière).

En tout cas, merci encore pour ces pistes que je vais étudier de plus près ainsi qu'au niveau des développements limités qui me semblent extrêmement puissants !

[Seirios]

Bonjour,

J'ajouterai qu'il ne s'agit pas vraiment de relations entre et , mais plutôt une propriété commune à toute algèbre normée complète ; par exemple, on peut définir l'exponentielle d'une matrice de la même manière que pour un nombre complexe, à l'aide d'une série.

[A voir en vidéo sur Futura]