Systeme linéaire

[yanou.v]

Bonjour,

Voici l'énoncer

Considérons le système différentiel suivant:
x'(t)=x(t) - y(t)
y'(t)=x(t) + y(t)

1- déterminer la solution du système vérifiant x(0)=y(0)=1

D’après l'énoncer je peux déterminer X'(t)=AX(t)
A= [[1,-1][1,1]]
Je regarder si elle est diagonale je trouve une solution au polynôme caractéristique P(LI2-A)=L²-2L+2
Je détermine L1=1 (Racine du polynôme) soit A non diagonalisable (car Nb racine ≠ deg(P(LI2-A)) soit 1≠2)
Donc X(t)=e^t(C1V+C2(tV+W))
Je calcule le vecteur propre V avec AX=XV j'ai le système suivant
x-y=x
x+y=y
x=0 et y=0 vecteur propre V=[0,0] donc W=[0,0] et X(t)=0

Est-ce possible ?

Cordialement.
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[gg0]

Bonjour.

Sans rentrer dans le détail, comme x(0)=1, la solution nulle ne convient pas.
Dans le détail, L²-2L+2 n'a pas 1 comme solution.

Cordialement.

[yanou.v]

Ok, du coup j'ai fini par résoudre le système et pour le coup j'ai une autre question:
A non diagonalisable (car Nb racine ≠ deg(P(LI2-A)) est correct ? (Or post précédent, mais, dans un cas général vu que mes valeurs sont fausses)

Merci d'avance, Cordialement.

[God's Breath]

Bonjour,

Il me semble que A est tout ce qu'il y a de plus diagonalisable.

[A voir en vidéo sur Futura]

[yanou.v]

Dans C, mais la question était est ce que cette énoncer "A non diagonalisable (car Nb racine ≠ deg(P(LI2-A))" est valide pour toute les matrices qu'ont peux rencontrer?
Exemple j'ai une racine mais deg(P) = 2
Ou j'ai deux racine mais deg(P) = 3
Donc finalement a partir du moment ou j'ai une racine double ma matrice est non diagonalisable.
Cordialement.

[gg0]

Yanou.v,

généralement, quand on compte ne nombre des racines, les racines doubles sont comptées pour 2, le racines triples pour3, etc.
Examine le cas de la matrice I2.

Une bonne réétude du cours sur la diagonalisation serait une bonne idée ...

Cordialement.