distance moyenne entre deux points, et densité !

[invite4b31cbd7]

Bonjour !

Bon, j'ai un plan rempli de points, et je peux supposé que tous mes points sont parfaitement espacé, de sorte qu'il existe une belle symétrie simplificant le problème.

On me donne la densité surfacique de mon plan, soit n, le nombre de point par unité de surface.

Je dois trouver la distance moyenne entre deux points. (c'est-à-dire la distance moyenne qu'il y a entre deux point les plus rapproché, et puisque je suppose que tous les points sont à la même distance, alors cette distance est la même pour chaque paire de point)

Je sais que la réponse serait idéalement d(moy)=2/(sqrt(Pi*n). Comment arriver à cette réponde ?
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[invite6b1e2c2e]

Bonjour,

Il ya un truc que je comprends pas :

Qu'est ce que c'est n ?

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rvz

[shokin]

Que signigies-tu par points "parfaitement espacés" ?

Shokin

[invite4b31cbd7]

n c'est la densité surfacique, soit le nombre de point par unité de surface. Genre 6 points/m^2.

Point parfaitement espacé : C'est sencé être une suppposition de base pour simplifié les calculs mais je viens de me rendre compte que la notion est en effet pas très clair. Avec 3 points, ont peut les positionné sur une triangle équilatérale. Mais la notion perd de son sens avec plus de 3 points. Donc finalement on peut s'imaginer une densité surfacique moyenne, avec une répartition des points non uniforme, mais un point a une distance moyenne avec son voisin le plus proche. Plus clair ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite986312212]

si ta question sous-entend une répartition aléatoire des points dans ton plan, alors le modèle le plus évident est celui du processus de Poisson. Si est l'intensité de ce processus (ce que tu appelles densité) alors la distance moyenne d'un point du processus à son plus proche voisin est

la référence sur ces question est: Stoyan, Kendall & Mecke Stochastic Geometry and its Applications

[invite4b31cbd7]

Ouin c'est pas vraiment à ce que je m'attendais. Il y a t-il une démonstration de ce résultat ?

[invite986312212]

Ouin c'est pas vraiment à ce que je m'attendais. Il y a t-il une démonstration de ce résultat ?

si ce qui te chagrine c'est qu'il n'y ait pas de sache que ce n'est vrai qu'en dimension 2 et que ça s'explique comme suit:

la probabilité pour qu'un disque de centre 0 et de rayon ne contienne aucun point du processus est . Par un raisonnement un peu subtil (en rapport avec ce qu'on appelle mesure de Palm) on montre que cette loi est aussi la loi de la distance entre un point du processus et le plus proche autre point. Sa moyenne est , tu peux le vérifier en calculant l'intégrale.

[invite986312212]

pour la petite histoire, ces questions de distances entre points aléatoires sont été beaucoup étudiées par les statisticiens qui travaillent sur les forêts. En effet c'est naturel de considérer les arbres comme des points répartis plus ou moins aléatoirement dans une portion du plan. Et on se pose plein de question comme: est-ce que les arbres sont agrégés? est-ce qu'il y a des variations de densité selon l'altitude, l'exposition? etc.

l'idéal est de disposer d'une carte montrant la position de tous les arbres. On peut l'obtenir soit à partir d'une photo aérienne, soit en allant sur le terrain avec un théodolite. Mais cette dernière méthode est très coûteuse en temps. Par contre, il est très facile sur le terrain de mesurer les distances entre arbres. C'est pourquoi ont été développées des méthodes statistiques qui ne prennent pas en compte les positions, seulement les distances.

[invite4b31cbd7]

Si les points sont en fait des noyau d'atome dans un cible, est-ce que ça change quelque chose ?

[matthias]

On peut supposer que pour des atomes dans un composé un peu ordonné, la modélisation par un processus de Poisson va assez mal rendre compte de la répartition des atomes. Si c'est un cristal, on risque d'en être assez loin.

[invite986312212]

Si les points sont en fait des noyau d'atome dans un cible, est-ce que ça change quelque chose ?

je ne sais pas ce que tu appelles une cible. Si c'est des atomes dans un solide (cristal) le processus de Poisson ne convient pas du tout. Si c'est un liquide (ou un verre)non plus je suppose. Pour les gaz parfaits je crois que ça a été utilisé, mais pour des gaz constitués de molécules un peu grosses, il faut passer à des processus plus compliqués, comme les processus de Gibbs. Je te conseille de regarder la littérature de physique statistique.

[invite4b31cbd7]

Est-ce que c'est parce que cette loi suppose un certain mouvement entre les particules ?

[invite986312212]

Est-ce que c'est parce que cette loi suppose un certain mouvement entre les particules ?

dans la définition du processus ponctuel de Poisson, la propriété importante est la suivante:
désignant le processus, si on se donne un entier et des boréliens disjoints, les v.i. ( est le cardinal de ) sont indépendantes. En d'autres termes, les nombres de points dans des parties du plan disjointes sont indépendants. Ca implique que deux points peuvent être aussi proches que l'on veut. C'est clairement faux si les points sont des idéalisations d'objets ayant une certaine taille (surface dans ce cas).
J'ai vu une application du processus de Poisson à la mesure de la pluie par radar. Les gouttes d'eau dans un volume sont vues comme réalisation d'un processus de Poisson. Pourtant les gouttes d'eau ont un volume non nul, on devine donc que ça ne marche (approximativement) que tant que la densité de gouttes est suffisament faible. Si les gouttes se rapprochent, elles vont commencer à interagir (on pourrait utiliser alors le modèle de Gibbs avec des intercations de paires).
C'est quelque-chose d'assez général: si la densité diminue, le modèle de Poisson convient (on peut donner un sens précis à cette assertion, en termes de loi asymptotique).