Système d'EDP

[Dicolevrai]

Salut à tous !

Je bloque depuis sur un problème. Je cherche des fonctions différentiables de vérifiant le système

où est une matrice constante sur laquelle on pourra mettre des hypothèses à sa guise pour assurer l'existence ou non des solutions.
Je sais déjà que si la première ligne de ma matrice est nulle alors on a les solutions

Mais j'aimerais avoir des solutions autres que les fonctions affines.

Ce serait vraiment génial si quelqu'un m'aidait.
Merci d'avance !
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[Universus]

Voici un hyperlien motivant l'idée que seules les fonctions affines vérifient la première condition : http://mathoverflow.net/questions/11...rbolic-3-space

Évidemment, ce lien ne vaudrait rien sans l'argument que je t'ai donné en message privé selon lequel la première condition implique que F est harmonique (c'est-à-dire que son gradient est de divergence nulle).

Une autre piste de réflexion dans ce sens, peut-être plus directe : http://math.stackexchange.com/questi...-constant-norm

Remarque : les arguments menant à ces conclusions doivent avoir un aspect global : comme tu me l'as indiqué, la fonction vérifie la condition (1) partout sauf à l'origine, là où elle n'est pas différentiable.

[Dicolevrai]

Excusez, voici plutôt le système (il n' y a pas de petit f) :

[Dicolevrai]

Ah oui Universus, ton 1er lien traite de la question et montre que la condition 1 de mon système entraîne que est affine, si elle est définie et différentiable sur tout entier.

J'ajoute donc une précision. Moi j'aimerai juste que soit définie et différentiable sur un ouvert de . Comme l'exemple de la fonction dont le graphe est le cône et dont le gradient est de norme constante 1.

Merci de m'aider.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Universus]

Bonjour,

J'ai commis une erreur en disant qu'une fonction F telle que était harmonique. La fonction est un contre-exemple. Par contre, si nous montrons (comme dans le second lien de mon précédent message) qu'une fonction est affine si elle est différentiable sur tout et qu'elle vérifie la condition sur le gradient identiquement, alors elle est a posteriori harmonique. C'est une constatation bien moins pertinente cependant...

La condition s'écrit ; en prenant le gradient de ceci, le membre de droite devient nul, tandis que celui de gauche devient où est la matrice hessienne de F. Ainsi, est un vecteur propre (de valeur propre nulle) de . Ainsi, . Remarquons que .

En dimension 2, c'est-à-dire pour F fonction de (x,y), ceci a une interprétation intéressante : le graphe de F est une surface de courbure gaussienne nulle, soit une surface plate. Cependant, il s'agit d'une contrainte : ce n'est pas n'importe quelle surface plate qui satisfait .

Je n'ai pas le temps de vérifier, mais il me semble que la hessienne est lié à la seconde forme fondamentale de la surface-graphe de F ; il se pourrait bien que soit (la projection d')une direction propre (et asymptotique). Du moins en dimension 2 ; en dimension supérieure, ces dernières interprétations se généralisent peut-être.

[Universus]

Bonjour,

Je reviens sur l'idée d'hier, dans le cas d'une fonction différentiable sur son domaine.

En raison de la condition , la surface a pour vecteur normal .

Ceci implique d'une part que la seconde forme fondamentale , de sorte que (en raison de mon précédent message) est un vecteur propre de associée à la valeur propre 0 : c'est une direction propre (et asymptotique) de la surface. D'autre part, en vertu d'un résultat général (voir par exemple l'exercice 15(a) à la page 55 de des notes de cours de Shifrin), nous avons ici que le vecteur normal est constant le long de chaque ligne du flot gradient ; donc le gradient est constant ; donc il s'agit de droites.

Ainsi, au-dessus de , est une surface réglée.

Du coup, dans , considérons une courbe lisse plongée et considérons sur celle-ci un champ des deux champs vectoriels normaux et de norme 1, que nous notons N. Quitte à prendre plus petit, nous pouvons paramétrer cet ouvert comme une surface réglée : . Pour tout , nous construisons une fonction en posant . Cette fonction vérifie la condition , puisque .

(Cet argument résout d'ailleurs la question posée dans le deuxième hyperlien du message #2, puisque pour , le paramétrage X est régulier partout uniquement si N est un champ constant, c'est-à-dire si est affine.)

Nous savons maintenant quelle est la forme la plus générale de fonction satisfaisant la condition (1) du message initial.

Il y a des bonnes chances que tout l'argument ci-dessus se généralise en dimension supérieure à 2.

[Dicolevrai]

Bonsoir Universus !
Merci et déjà désolé du manque de spontanéité dans mes réaction mais je n'ai pas très souvent la connexion internet.

Ton développement me donne des idées ! Donc le graphe de ( vérifiant la condition (1)) est une hypersurface de type lumière de l'espace pseudo-euclidien et une hypersurface riemannienne de euclidien . On peut donc essayer de voir à quoi correspond le système vu dans l'espace euclidien, vu que la géométrie riemannienne est assez développée de nos jours.

J'ai suivi le 1er lien que tu as posté et la condition (1) entraine que est affine ou défini et différentiable sur un ouvert de borné dans au moins une direction.

Effectivement étant de gradient partout unitaire, ses lignes intégrales (flow-gradient) sont des droites, puisqu'on aura toujours une paramétrisation par la longueur d'arc. En ce qui concerne ton développement dans , il est bien connu que les hypersurfaces totalement géodésique de ce dernier sont des plan (ce qui correspond à affine). Totalement géodésique si je ne m'abuse, signifie que la seconde forme fondamentale est identiquement nulle. Tu as juste montré qu'on a une courbure principale nulle (de direction principale ). Que conclus-tu ?

Aussi je tiens à te signalé que j'ai compris la préoccupation que t'avais une fois. En fait, définie une hypersurface-graphe de type lumière de et des hypersurfaces-ligne de niveau semi-riemannienne de toujours.

[Universus]

Bonjour,

Ton développement me donne des idées ! Donc le graphe de ( vérifiant la condition (1)) est une hypersurface de type lumière de l'espace pseudo-euclidien et une hypersurface riemannienne de euclidien . On peut donc essayer de voir à quoi correspond le système vu dans l'espace euclidien, vu que la géométrie riemannienne est assez développée de nos jours.

Oui. Tu as déjà traduit les propriétés « pseudo-métriques » d'une hypersurface de en propriétés « analytiques » d'une fonction F ; nous pouvons traduire ces dernières en propriétés « métriques » d'une hypersurface de (qui est la même hypersurface d'un point de vue ensembliste).

J'ai suivi le 1er lien que tu as posté et la condition (1) entraine que est affine ou défini et différentiable sur un ouvert de borné dans au moins une direction.

Bien, d'après mes derniers messages, si nous ne souhaitons avoir F définies que localement, il n'est pas nécessaire que F soit affine ; en fait, il y a beaucoup de solutions à la condition (1).

Effectivement étant de gradient partout unitaire, ses lignes intégrales (flow-gradient) sont des droites, puisqu'on aura toujours une paramétrisation par la longueur d'arc.

Le « puisqu'on aura ... » ne m'apparaît pas comme la raison pour laquelle les lignes intégrales sont des droites. N'importe quel champ vectoriel (partout unitaire) possède un flot paramétrant ses lignes intégrales par longueur d'arc ; or, si un tel champ a un rotationnel non nul, il ne peut être le gradient d'une fonction. Il n'y a alors pas de « surfaces de niveau » feuilletant l'espace adéquatement.

C'est vraiment le fait que F ait un gradient de norme identiquement 1 qui explique cette « linéarité » des lignes intégrales.

En ce qui concerne ton développement dans , il est bien connu que les hypersurfaces totalement géodésique de ce dernier sont des plan (ce qui correspond à affine). Totalement géodésique si je ne m'abuse, signifie que la seconde forme fondamentale est identiquement nulle. Tu as juste montré qu'on a une courbure principale nulle (de direction principale ). Que conclus-tu ?

Si F n'est définie que sur un ouvert , je ne prétends pas que F est affine ; conséquemment, je ne prétends pas que son graphe est une hypersurface affine ou, de façon plus ou moins équivalente, qu'elle est totalement géodésique. Je dis seulement que F est de la forme (dans les notations de mon précédent message).

Il est facile de voir que les fonctions de la forme respectent la condition (1) ; c'est ce que j'ai noté à la fin de mon précédent message. Auparavant, j'ai montré la réciproque : la condition (1) implique que le graphe de F est une surface réglée (la règle étant une direction principale de courbure nulle, en effet) et il est facile d'en déduire que F est de la forme mentionnée.

Bref, nous savons maintenant de quelle forme sont toutes les fonctions satisfaisant la condition (1). Pour un ouvert général, il y a beaucoup de fonctions de cette forme. Cependant, si , les solutions sont bien précises : F est affine.

Aussi je tiens à te signalé que j'ai compris la préoccupation que t'avais une fois. En fait, définie une hypersurface-graphe de type lumière de et des hypersurfaces-ligne de niveau semi-riemannienne de toujours.

Je ne comprends pas cette phrase.