Calcul et topologie en Relativité Générale - Vérification exercice

[einate]

Bonjour,

J'ai des exams dans 2 jours j'ai fait 3 questions d'un exo pour m'entraîner mais n'ayant pas de corriger je voudrais savoir si quelqu'un pouvait me dire si j'ai juste ou non.
Voici les 3 questions :

On considère une fonction scalaire f, c'est-à-dire une application de M R définie sur une variété différentielle M de dimension n.
La variété est munie d'un système de coordonnées { }.

1) Dans quel espace vit , le gradient de f ?
2) Quel est l'espace dual de cet espace, et quels en sont les éléments ?
3) Comment se transforment les composantes de ces éléments sous la transformation de coordonnées général, , et inversible : ?


Mes réponses :

1) , le dual de M car où est la base duale de .
2) Le dual de est Les n-uplets sont des éléments de M.
3) Les composantes de M se transforment comme .

Merci de vos réponses.

Cordialement Thomas
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[invite02232301]

Bonjour,
Soit ta définition de variété differentielle est spéciale, soit tes deux premieres réponses sont totalement fausses.

[einate]

Je ne vois pourquoi les 2 premières questions sont fausses. Le gradient est covariant, c'est un tenseur de rang (0,1) et sa définition est bien :

[invite02232301]

C'est faux parce que le concept de dual d'une variété differentielle n'existe pas. Donc M^* n'a pas de sens.
Ensuite tu appelles gradient ce que les gens appellent en general differentielle, bon c'est pas grave en soi. Bref, la differentielle de f (ce que tu appelles "gradient" donc) en un point x est alors un element du dual de l'espace tangent de M en x.
Si M est simplement un ouvert de R^n (ce qui est peut etre le cas ou te place) alors \nabla(f)(x) (plutot df(x) encore une fois) est un element de (R^n)^*.
La réponse à ta troisème question est un peu bizarre, soit parce que tu as mal choisi tes notations, soit parce que c'est juste faux (au point de coord x_\alpha, il n'y a aucune raison que les coordonées du "gradient" (de la differentielle donc) d'une fonction dans la base de l'espace cotangent soient x_\alpha.)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite52487760]

Salut :

C'est faux parce que le concept de dual d'une variété differentielle n'existe pas. Donc M^* n'a pas de sens.

Puis-je savoir pourquoi la notion de dual d'une variété différentiable ,n'existe pas ? ça m'éviterait de rester longtemps plongé dans l'ignorance.
Le seul cas que je connais où la notion de dual existe est lorsque la variété est plongée dans un espace projectif. Qu'en est -t-il des autres cas ?
svp, n'hésitez pas à me répondre.
Merci d'avance.

[einate]

Merci pour ces précisions mais du coup quelle est la réponse à la question 2 ? Si on suppose que

[invite02232301]

C'est pas qui est dans (R^n)^* c'est pour x un point de M (toujours si M est un ouvert de R^n).
Et le dual de (R^n)^* c'est (R^n)^** qui est canoniquement identifié à R^n.

[invite52487760]

[einate]

Merci bcq j'y vois plus clair maintenant.

[Amanuensis]

Ensuite tu appelles gradient ce que les gens appellent en general differentielle, bon c'est pas grave en soi.

Sauf que la réponse à la question 1 n'est pas évidente du coup. L'usage étant d'appelé gradient le vecteur contravariant correspondant à df, l'espace demandé n'est pas le même (le vectoriel tangent plutôt que le cotangent...).

[einate]

Il me semble que le gradient est covariant et donc à l'espace cotangent à .

[Amanuensis]

C'est une question de définition. Si c'est un exo dans le cadre d'un cours, faut prendre la définition donnée par le prof

(Perso je note df l'élément du cotangent, i.e. la différentielle, et il me semble que MiPaMa aussi. Et bien d'autres...)