Valeur propres d'une matrice élevée à une puissance n

[Vador1397]

Bonjour,

Etes-vous d'accord avec le résultat suivant, que je pense avoir démontré :

les valeurs propres d'une matrice élevée à la puissance n sont les puissances n_èmes des valeurs propres de A

Voici ma justification :

A est triangularisable dans C, donc semblable à un matrice triangulaire dont la diagonale est constituée des valeurs propres de A
Alors est semblable à une matrice triangulaire dont la diagonale est constituée des valeurs propres de A, chacune élevée à la puissance n (on s'en convainc facilement en faisant le calcul)
d'où mon résultat...


Je viens poser la question ici car, si ce résultat est vrai, je suis surpris de ne le voir nulle part sur internet (j'ai cherché en tapant des mots-clef sur google).... ça me semble pourtant assez intéressant

Merci beaucoup pour votre aide et bonne soirée
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[pm42]

Ca se démontre plus simplement avec une récurrence, sans trigonaliser... Et si tu tapes "valeur propre puissance" dans Google, la 1ère réponse est un forum qui explique cela.

[stefjm]

https://en.wikipedia.org/wiki/Eigend...atrix#Examples

[leon1789]

Ca se démontre plus simplement avec une récurrence, sans trigonaliser... Et si tu tapes "valeur propre puissance" dans Google, la 1ère réponse est un forum qui explique cela.

si tu parles de cela, http://www.les-mathematiques.net/pho...ad.php?2,60843, alors la réponse est très très incomplète car Vador1397 demande à prouver que les puissances des valeurs sont exactement les valeurs propres des puissances : montrer la puissance d'une valeur propre est valeur propre de la puissance est facile par récurrence. Montrer qu'une valeur propre d'une puissance est la puissance d'une valeur propre est plus compliqué (et demande à travailler sur C par exemple, car le résultat est faux sur R).

[A voir en vidéo sur Futura]

[Tryss2]

Je pense que le plus simple c'est de montrer que les sous espaces propres sont stables par la puissance. Et comme on est dans C, l'espace tout entier est somme directe des sous espaces propres, et en regardant les dimensions, on prouve que l'on a toutes les valeurs propres ainsi

(je ne sais pas si je m'exprime clairement)

[Tryss2]

Edit : Jériendi

[Vador1397]

Merci beaucoup pour vos réponses, en tout cas o est d'accords sur le résultat apparemment.

leon1789, je ne comprends pas bien quand tu dis que le résultat est faux sur R, car il me semble que même si on ne s'intéresse qu'aux valeurs propres réelles d'une matrice, on peut toujours faire mon raisonnement de triangularisation dans C et montrer ainsi que les valeurs propres réelles de la matrice A élevée à une puissance sont les puissances des valeurs propres réelles de A

[Tryss2]

Merci beaucoup pour vos réponses, en tout cas o est d'accords sur le résultat apparemment.

leon1789, je ne comprends pas bien quand tu dis que le résultat est faux sur R, car il me semble que même si on ne s'intéresse qu'aux valeurs propres réelles d'une matrice, on peut toujours faire mon raisonnement de triangularisation dans C et montrer ainsi que les valeurs propres réelles de la matrice A élevée à une puissance sont les puissances des valeurs propres réelles de A

Non. Exemple : si A a pour valeurs propres i et -i, alors A² a pour valeur propre -1

[Vador1397]

Non. Exemple : si A a pour valeurs propres i et -i, alors A² a pour valeur propre -1

Euh je ne comprends pas bien en quoi ça contredit ce que je dis... justement les valeurs propres de A² sont bien les valeurs propres de A élevées au carré

[gg0]

Euh ... A n'ayant pas de valeurs propres réelles (on veut travailler sur R), sa valeur propre -1 n'est pas le carré d'une valeur propre.

Cordialement.

[Vador1397]

Ah oui très juste merci, donc dans R on peut juste dire que si est valeur propre réelle de A, alors est valeur propre réelle de , mais la réciproque est fausse

[leon1789]

Pour en revenir au problème posé au message #1 :
personnellement, je n'ai pas mieux que le coup de la matrice triangulaire semblable (proposé au message #1).