Bonjour,
Voici une question précise, comment y répondre ?
Et j'ajouterai : "Y a-t-il des méthodes pour le vérifier ?"Le hasard simulé par les ordinateurs, disons la fonction ALEA() d'un tableur vérifie la loi des grands nombres est-il un théorème mathématique ?
Je me souviens qu'il y a une vingtaine d'années, alors que j'encadrais une stagiaire dans une vie antérieure actuarielle, les examinateurs avaient fait des reproches à l'emploi d'excel qui ne simulait pas bien le hasard.
Tu nous as expliqué récemment que la loi des grands nombres n'était que théorique et pas vérifiable en pratique donc tu as la réponse à ta question.
Sinon, je pourrais expliquer des choses sur les générateurs pseudo-aléatoires, les tests, les techniques pour avoir du vrai hasard, etc mais j'ai l'impression que la question est biaisée...
Bonjour PM42,
D'abord, ce n'est pas moi qui ai posé cette question, c'est un copié/collé.
Ma question est "Méthodes de vérification ?".
Je n'ai certainement pas expliqué que la loi des grands nombres n'était que théorique, puisque je connais la démonstration de Bernoulli. Si je l'ai dit, ce ne pouvait être qu'à titre de boutade.
Les explications à propos des générateurs de nombres pseudo-aléatoires seront intéressantes et surtout les tests et "vrai hasard". (on trouve beaucoup de doc sur les générateurs).
"biais" : ce terme est employé dans toutes sortes de sens, donc si on veut être précis, il faut l'éviter, à moins d'en préciser le sens avant de l'employer.
En l'occurrence, cette question a effectivement été posée, cela reflète donc une préoccupation. Elle me parait suffisamment précise pour recevoir une réponse précise.
Tout dépend du générateur utilisé. On ne peut pas faire de généralités sur ce sujet...Le hasard simulé par les ordinateurs, disons la fonction ALEA() d'un tableur vérifie la loi des grands nombres est-il un théorème mathématique ?
Effectivement, dans d'anciennes versions d'excel, l'algorithme utilisé n'était pas de très bonne qualité (d'un point de vue pseudo-aléatoire). Un article qui fait un peu le point sur le cas Excel :Je me souviens qu'il y a une vingtaine d'années, alors que j'encadrais une stagiaire dans une vie antérieure actuarielle, les examinateurs avaient fait des reproches à l'emploi d'excel qui ne simulait pas bien le hasard.
http://blog.richpollock.com/2014/08/...ness-in-excel/
Bonjour Tryss,
La question a été posée d'une façon très générale. PM42 a proposé des explications sur les générateurs de nombres, de toute façon, il y beaucoup de doc sur le sujet.
Donc, supposons un générateur de nombres pseudo-aléatoires "parfait", c'est à dire de cycle infiniment grand et de formule incontestable. La fonction Alea() d'Excel n'était citée qu'à titre d'exemple.
Le terme important dans la question est "théorème".
Bonjour,
On peut théoriquement à l'aide de la complexité de Kolomogorov, vérifié qu'une suite finie est bien aléatoire.
Il suffit que les plus petits programmes (en taille) générant cette suite soit de taille au moins aussi grandes que la suite (dont on teste le caractère aléatoire).
@Dlzlogic : évidement c'est un trés mauvais indicateur hasardeux (de caractère aléatoire), à cause d'un fait pernicieux que le caractère non-calculable de cette complexité, je te laisse voir pourquoi...
Bonne journée.
Ça n'existe pas, ce qui règle le problème.Envoyé par Dlzlogic
@ Dattier,
Il ne s'agit pas de "suite aléatoire", mais de résultat de "tirage aléatoire".
La question posée est de savoir si ce résultat vérifie la loi des grands nombres et si c'est un théorème.
Question subsidiaire : comment le vérifier.
Bonjour,
La question posée, citée dans mon premier post, provoque de très nombreux échanges, là où elle a été posée. On y parle entre autres de "vrai hasard".
Malheureusement, l'exemple classique du jeu au casino est arrivé sur le tapis. Etant donné le côté un peu tabou de cet exemple, cela fausse un peu la discussion.
Je ne résiste pas au plaisir de copier une réponse d'un des intervenants :
J'ai relu les différentes réactions du présent fil, manifestement l'auteur de la question n'aurait pas eu sa réponse. Comme c'est au programme, que doit-il dire à ses élèves ?J'ai renoncé à essayer de comprendre le débat, je note cependant que les applications des probabilités (théorie purement mathématique) sont nombreuses et très efficaces, comme pas mal d'utilisation des maths (maths appliquées) de différents domaines. Donc aucune raison d'en faire une théorie particulière.
Bonsoir,
Pour ceux que ça intéresse quelqu'un a apporté une réponse parfaitement claire, c'est OUI.
et donc que les fréquences empiriques de bits égaux à 1 dans les fichiers Xm,Xgp sont (arrondies à 7 chiffres après la virgule):
emμ=0.5000816
egpγ=0.5000412
Je sais bien que ces trois lignes n'expliquent pas grand-chose. En fait il n'y a pas d'explication particulière à donner, juste une vérification, qui confirme la théorie.
Personellement je n'ai pas vu de question bien formulée, donc je ne vois pas comment il peut y avoir une réponse "claire".
Si la question est :
- est-ce que la moyenne (des n premiers termes) d'une suite de nombre produit par un générateur de nombres pseudo aléatoire tends vers 0.5 (les générateurs sont censés produire des va uniforme entre 0 et 1) la réponse est "ça dépends du générateur", et probablement "oui" pour un grand nombre de générateurs.
- est ce que la moyenne (des n premiers termes) d'une suite de nombre produit par un générateur de nombres pseudo aléatoire parfait tends vers 0.5, la réponse est ce que l'on veut puisque ça n'existe pas.
- est-ce que l'on peut considérer en pratique les générateurs pseudo aléatoires comme étant réellement aléatoires, la réponse est oui. Si on ajoute "peut-on quantifier la qualité du générateur" la réponse est "oui, il existe des méthodes pour".
J'aurai plutôt dit non. Le raisonnement : les générateurs usuels sont periodiques, donc la moyenne va tendre vers la moyenne sur une période. Il faut donc que la moyenne sur une période soit exactement égale à l'espérance, et mon petit doigt me dit que ça ne serra bien souvent pas le cas.- est-ce que la moyenne (des n premiers termes) d'une suite de nombre produit par un générateur de nombres pseudo aléatoire tends vers 0.5 (les générateurs sont censés produire des va uniforme entre 0 et 1) la réponse est "ça dépends du générateur", et probablement "oui" pour un grand nombre de générateurs.
Exemple simple : un générateur de période 2^p -1 à valeur dans {-1,1} ne peut, mathématiquement, pas vérifier la loi des grands nombres, simplement parce que 2^p-1 n'est pas divisible par 2 !
Au mieux, ça tendra vers 1/2^p, qui est différent de 0.
Alors oui, en pratique quand la période est grande, la différence est suffisamment petite pour que ça ne fasse aucune différence.
Parfaitement d'accord avec le fait que la moyenne tends avec la moyenne sur une période. Instinctivement j'aurais dis que c'est une propriété vérifiée par les générateurs courants, mais effectivement ça n'a pas l'air d'être le cas.
Juste une info.
Sauf erreur, tous les générateurs de nombres pseudo-aléatoires produisent un nombre entier entre 0 et max=2^qqch -1.
Si le nombre fourni par la fonction rand de certains logiciels, c'est tout simplement parce que le nombre produit est divisé par max.
On peut très bien faire un générateur qui ne produise des nombre entier entre 0 et 1000 !
En revanche si on veut comparer deux générateurs avec des max différents il est bien plus utile de les ramener sur [0,1] pour parler de leurs propriétés, au moins d'un point de vue théorique.
Bonjour,
La discussion sur les générateurs de nombres aléatoires est intéressante et fondamentale si on veut pouvoir répondre à la question initiale.
De tout ce que j'ai lu, la fonction rand fonctionne de la même façon , on produit, une somme et un modulo. Le résultat est en entier. Or la longueur d'un entier dépend, non pas d'un nombre en décimal, mais d'un nombre en binaire, c'est à dire une puissance de 2.
Après, chaque programment peut calculer, à partir de ce nombre, un nombre entier plus petit, ou un nombre flottant, avec les bornes dont il a besoin.
Pour ceux que ça intéresse, j'ai dans ma machine un générateur nommé GenRand qui fournit successivement des nombres tels que les lois "grand_nombre + TCL" soient toujours vérifiées. Ce module n'est plus disponible sur le NET. Il a été remplacé par quelque-chose que je n'ai pas réussi à faire tourner.
Bonjour,
Je ne comprends pas la signification de cette phrase.
La loi des grands nombres et le TCL sont des théorèmes, donc ils sont mathématiquement prouvés.
Que veux-tu dire par fournir successivement des nombres tels que deux théorèmes soient toujours vérifiés ?
Existerait-il des nombres qui mettent en défaut ces deux théorèmes (prouvés) ???
Dernière modification par bon prof math ; 21/03/2017 à 14h00.
Un générateur informatique qui fourni des réels, j'aimerais des explications ....
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Mais QUELLE FONCTION RAND!!!!De tout ce que j'ai lu, la fonction rand fonctionne de la même façon
Il y a des dizaines d'algorithmes différents, qui ne fonctionnent pas de la même façon !
Si on fait une suite de tirage avec un générateur que j'appelle "normal", c'est à dire que, sur un grand nombre de tirages, on vérifie la loi des grands nombres et le TCL. Là, tout va bien, nous sommes d'accord. Disons que c'est l'utilisation "honnête" d'un générateur. Il produit une suite de résultats conformes à la théorie.Que veux-tu dire par fournir successivement des nombres tels que deux théorèmes soient toujours vérifiés ?
Existerait-il des nombres qui mettent en défaut ces deux théorèmes (prouvés) ???
Par contre, si avec ce même générateur "normal" on calcul à chaque tirage la répartition (GN et TCL), on constatera des écarts avec la théorie. C'est comme ça, on n'y peut rien. Mais cela ne remet pas en cause la théorie.
Probablement à l'époque où le Poker en ligne a été autorisé, des gens ont imaginé un générateur qui, à chaque instant, produisait une répartition "parfaite". Donc, GenRand produit ce résultat. Le gag, et c'est peut-être la raison pour lequel il a disparu du NET, si on fait des tirages non successifs (j'ai fait des test avec 1 sortie sur 3), alors c'est la cata.
Salut,
J'avais vu il y a pas mal de temps une statistique comparative des différents algorithmes de rand (*). Mais je serais bien en peine de le retrouver. Je ne sais même plus où c'était.
Mais si quelqu'un a ça, ça peut être intéressant pour la discussion (car pour le moment c'est assez creux comme discussion, ça manque de "matière").
(*) plusieurs critères statistiques étaient comparés. Certains étant sans intérêts pour la plupart des usages. Mais parfois ils sont capital pour certaines applications pointues : simulations numériques, sécurité, etc...
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
@ Médiat,
Oui, un générateur produit des entiers. Certains logiciels produisent en base l'entier divisé par MAX, donc un réel (ou plutôt un flottant) compris entre 0 et 1.
@ Tryss,
J'ai lu tout ce que j'ai pu trouver à propos des générateurs, et à part ceux auquels j'ai fait allusion, la méthode est toujours la même. Si tu as un autre exemple, ça m'intéresse vraiment.
Donc non !
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
un classique est le générateur de Tausworthe, qui est basé sur une récurrence d'ordre 2.
J'ai aussi d'autres exemples, vers les années 80, en l'absence d'autre méthode, j'utilisais une ligne trigonométrique. Débile, je sais, mais c'était sur gros système (CDC). Puis on a eu un IBM et là il y avait une fonction. Elle ne marchait pas à base de module, mais de troncature par dépassement de capacité.
qu'entends-tu par à chaque tirage, calculer la répartition (GN et TCL) ?
des écarts avec la théorie : c'est-à-dire ?
