Arithmétique nombre complexe fendus

[wince]

Bonjour, j'aurais aimé savoir si il y a eu des recherches sur l'arithmétique des nombres de la forme a+jb avec j*j=1 et a, b appartenants à Z.
Ce n'est pas un anneau intègre mais peut on quand même définir une division, des nombres premiers...
Si il y a une adresse sur le Web concernant cette problématique.
D'avance merci
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[Médiat]

Bonsoir,

Vous pouvez regarder le texte suivant (j'aime bien le nom nombres perplexes) cf.pdf (il s'agit des perplexes et non de l'équivalent des entiers de Gauss, les perplexes de Gauss (?))

Vous pouvez aussi trouver quelques idées là : ec.pdf

[Médiat]

Avec la définition du document ec.pdf, il est clair que les nombres de la forme a+jb avec a, b appartenant à Z est bien l'arithmétique perplexe. C'est un sujet intéressant ...

[wince]

Je pense que c'est plus simple que les entiers de Gauss , c'est peut être pour cela que c'est peu diffusé.

En s'inspirant de la démonstration : https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_premier_de_Gauss

Si p=2n+1 premier impair alors n+1+n*j premier.
En effet N(n+1+n*j)=(n+1)²-n²=2*n+1 est premier or si la norme est première le nombre aussi (comme pour Gauss).

2 est premier car si x*y=2 N(x)*N(y)=4 mais ni N(x) ni N(y) ne peuvent être égale à deux qui ne s'écrit pas comme différence de carrés. donc N(x)=1 ou N(y)=1 et 2 est premier.

C'est plus difficile de démontrer que ce sont les seuls car ils utilisent le lemme d'Euclide dans la démonstration pour les entiers de Gauss.

[A voir en vidéo sur Futura]