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un petit exo sympa pour l'agreg.

  1. pm42

    Date d'inscription
    juillet 2015
    Messages
    3 384

    Re : un petit exo sympa pour l'agreg.

    Citation Envoyé par iharmed Voir le message
    Non je ne suis pas sur, car personne n’est sur de rien, moi au mois je suis sur de ca.
    C'est une phrase contradictoire.

    Citation Envoyé par iharmed Voir le message
    Mais je sais qu’il y a des propositions non traitables c’est à dire non recevable on les rejette sans perte d’énergie.
    Si on commence à expliquer on commence déjà à perdre de l’énergie.
    Nawak.

    Citation Envoyé par iharmed Voir le message
    Et pour minimiser la perte d’énergie j’explique par une seul phrase « Les fonctions géométriques ne sont pas faites pour approcher l'infini » et j’ajoute pour un calcule raisonnable
    Nawak au carré.

    Citation Envoyé par iharmed Voir le message
    Avec les grand nombre la fonction (cos k^2) est un comportement presque aléatoire avec une limite à l’infinie indéterminée, voir ci-après pour les nombre de 1008 à, 1024
    Il n'y a pas de limite, cela s'appelle une fonction non convergente. Rien de nouveau.
    Cela ne prouve rien sur la convergence quand on divise par k.
    Par exemple, la série de terme cos(k^2)/k^2 est convergente.

    -----

     


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  2. Médiat

    Date d'inscription
    août 2006
    Âge
    67
    Messages
    16 675

    Re : un petit exo sympa pour l'agreg.

    Bonjour,

    Citation Envoyé par iharmed Voir le message
    Si on commence à expliquer on commence déjà à perdre de l’énergie.
    Et bien n'expliquez pas ce sera une économie d'énergie pour tout le monde !
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
     

  3. JB2017

    Date d'inscription
    février 2017
    Messages
    76

    Re : un petit exo sympa pour l'agreg.

    Rebonjour
    Avez vous bien lu mon message??
     

  4. iharmed

    Date d'inscription
    juillet 2014
    Messages
    559

    Re : un petit exo sympa pour l'agreg.

    Citation Envoyé par pm42 Voir le message
    cos(k^2)/k^2 est convergente.
    Lorsqu’on divise par k^2, c’est différent
    la série 1/k^2 est convergente
    si on remplace le 1 par cos (k^2) est toujours inférieur à un 1 et même négatif alors la convergence est plus que sur.
     

  5. Dattier

    Date d'inscription
    février 2017
    Localisation
    Enigmeland
    Âge
    39
    Messages
    335

    Re : un petit exo sympa pour l'agreg.

    salut,

    Citation Envoyé par JB2017 Voir le message
    Cela me semble divergeant puisque par linéarisation cette série est la somme d'une série convergente et d'une divergente
    plus de détaille cela serait mieux, merci.

    cordialement.
    Les dattes à Dattier : forum mathématique, pour les gens de bonnes volontés
     


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  6. 0577

    Date d'inscription
    avril 2012
    Messages
    332

    Re : un petit exo sympa pour l'agreg.

    Bonjour,

    Notons



    Par sommation d'Abel, on a



    Comme rappelé par Resartus, si les avaient une distribution aléatoire dans [-1,1], on aurait (par le théorème central limite)


    d'où convergence absolue de la série de terme général



    et donc convergence de la série initiale.

    Je ne sais pas prouver que



    mais on peut montrer (suivant Weyl) que



    ce qui suffit pour conclure la convergence.

    Il est plus simple de travailler avec des exponentielles qu'avec des fonctions trigonométriques et on considère



    On veut montrer que

    .

    Un principe général au sujet des sommes de gaussiennes est de prendre le carré.

    On a









    Majorant les modules des exponentielles quadratiques par 1 et sommant les exponentielles linéaires, on obtient



    où C est une constante. La quantité



    devient grande quand est proche d'un entier. Par le théorème d'approximation de Dirichlet, il existe p et q entiers premiers entre eux tels que



    avec q<2N.

    On en déduit une borne supérieure de par l'inverse de la distance de mp/q à l'entier le plus proche et donc par q/m et donc par 2N/m.

    On en déduit



    (remarque: on doit savoir que est irrationnel pour que l'agument ci-dessus ait un sens).
    Dernière modification par 0577 ; 11/06/2017 à 16h15.
     

  7. Resartus

    Date d'inscription
    octobre 2007
    Messages
    2 506

    Re : un petit exo sympa pour l'agreg.

    Bonjour,
    Genialissime, 0577!

    Je comprends maintenant pourquoi, à cause du racine(log(N)) en plus, prendre un dénominateur en racine(k) serait pousser le bouchon trop loin...

    Il reste à savoir si c'est par pure chance que l'exemple avec cos(k²)/racine(k) converge, ou bien si c'est un bug de calcul de wolfram qui s'arrête trop tôt....
    Je n'ai pas beaucoup d'outils. J'espère que la précision excel sera suffisante pour faire quelques tests...

    Juste une petite correction pour les futurs lecteurs : ce sont les angles qui sont à peu près équirépartis entre 0 et 2pi, de même que les exponentielles sur le cercle unité : leurs cosinus eux ne le sont pas (quoique il doit suffire qu'ils aient des probabilités symétriques par rapport à zero)
    Why, sometimes I've believed as many as six impossible things before breakfast
     

  8. iharmed

    Date d'inscription
    juillet 2014
    Messages
    559

    Re : un petit exo sympa pour l'agreg.

    Citation Envoyé par 0577 Voir le message
    Par sommation d'Abel, on a
    ................
    bonjour

    Abel.jpg
     

  9. JB2017

    Date d'inscription
    février 2017
    Messages
    76

    Re : un petit exo sympa pour l'agreg.

    Rebonjour
    Mon post a-t-il été supprimé?
    Par linéarisation la série est somme d'un série CV et d'une série DV donc elle diverge..
     

  10. Dattier

    Date d'inscription
    février 2017
    Localisation
    Enigmeland
    Âge
    39
    Messages
    335

    Re : un petit exo sympa pour l'agreg.

    @JB : tu ne fais que paraphraser ce que tu as déjà dit, pourrais-tu expliciter ces 2 séries ?

    Merci.
    Les dattes à Dattier : forum mathématique, pour les gens de bonnes volontés
     

  11. pm42

    Date d'inscription
    juillet 2015
    Messages
    3 384

    Re : un petit exo sympa pour l'agreg.

    Citation Envoyé par JB2017 Voir le message
    Rebonjour
    Mon post a-t-il été supprimé?
    Par linéarisation la série est somme d'un série CV et d'une série DV donc elle diverge..
    Ton post est là mais vu que tu sembles ne pas vouloir donner plus d'explications, pourquoi s'y intéresser ?
    Et tu pourrais remarquer que 0577 a donner une démonstration qui conclut l'inverse si j'ai bien compris et qui est un pouiem de chouia plus étayée...
     

  12. Resartus

    Date d'inscription
    octobre 2007
    Messages
    2 506

    Re : un petit exo sympa pour l'agreg.

    Bonjour,

    0577 a en effet démontré brillamment que la série cos(k²)/k^a est convergente dès que a est strictement supérieur à 1/2....
    Je soupçonne que JB2017 a mal lu et cru qu'on parlait de [cos(z)]²/z (qui vaut en effet [1+cos(2z)]/2z

    Pour information, j'ai fait quelques tests Excel sur le cas limite cos(k²)/racine(z), qui ont surtout mis en évidence les limites de mon outil numérique....

    Un examen de la courbe jusqu'à 10^6 montre de grands paliers de convergence suivis par des décrochages tous les 150000 environ, dont l'espacement très régulier est suspect, et est probablement lié au fait que le pi() des ordinateurs n'est évidemment pas irrationnel...

    A l'opposé d'ailleurs, si on met sous le cosinus la fonction ALEA, cela converge très rapidement, ce qui montre que celle-ci est bien trop régulière
    pour faire un aleatoire correct.

    Si j'ai un peu de temps, je téléchargerai des outils multiprécision, mais cela ne fera que reculer le problème...
    Dernière modification par Resartus ; 12/06/2017 à 08h43.
    Why, sometimes I've believed as many as six impossible things before breakfast
     

  13. bubulle_01

    Date d'inscription
    décembre 2007
    Âge
    25
    Messages
    531

    Re : un petit exo sympa pour l'agreg.

    0577 je suis pas persuadé par ta démonstration.
    Tu dis que 1/|sin(m)| est inférieur à 2N/m.
    En évaluant en N-1 on aurait de manière générale 1/|sin(N-1)| < 2N/(N-1) et donc la suite 1/sin(n) serait bornée (ce qui est faux).
     

  14. Resartus

    Date d'inscription
    octobre 2007
    Messages
    2 506

    Re : un petit exo sympa pour l'agreg.

    Bonjour,
    En effet, bubulle_01, il y a bien un bug dans la démo

    En relisant de plus près, le théorème de Dirichlet va dans le mauvais sens, et il démontre au contraire que la somme des 1/sin(kn) tend vers l'infini plus vite que N (il existe des m entre 1 et N t.q 1/sin(pi-m) est SUPERIEUR à N...

    C'est la majoration des exponentielles en exp(im²) par 1 qui est trop brutale, car elle conduit à un produit en N^2. Bien que cela suffise pour démontrer que la somme des cos(k2)/k converge, cela ne permet pas d'aller plus loin

    La question de savoir jusqu'à combien on peut réduire l'exposant du dénominateur reste donc ouverte
    Why, sometimes I've believed as many as six impossible things before breakfast
     

  15. bubulle_01

    Date d'inscription
    décembre 2007
    Âge
    25
    Messages
    531

    Re : un petit exo sympa pour l'agreg.

    Citation Envoyé par Resartus Voir le message
    Bien que cela suffise pour démontrer que la somme des cos(k2)/k converge
    Pourquoi ?
     


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