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un petit exo sympa pour l'agreg.

  1. invite34915237

    Date d'inscription
    février 2017
    Localisation
    Enigmeland
    Âge
    39
    Messages
    389

    un petit exo sympa pour l'agreg.

    Salut,




    Cordialement.

    -----

     


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  2. Resartus

    Date d'inscription
    octobre 2007
    Messages
    3 023

    Re : un petit exo sympa pour l'agreg.

    Bonjour,
    Avec k partant de zero, cela ne va pas le faire..
    Une fois corrigé, question intéressante en effet, car les critères de convergence usuels sont pris en défaut.
    Why, sometimes I've believed as many as six impossible things before breakfast
     

  3. Verdurin

    Date d'inscription
    décembre 2009
    Messages
    94

    Re : un petit exo sympa pour l'agreg.

    Bonsoir,
    il me semble que cette série n'est pas absolument convergente.

    Pour une démonstration, j'attends celle de Dattier.
     

  4. Resartus

    Date d'inscription
    octobre 2007
    Messages
    3 023

    Re : un petit exo sympa pour l'agreg.

    Bonjour,
    En appliquant le test de Dirichlet, https://fr.wikipedia.org/wiki/Test_de_Dirichlet,
    pour démontrer que la série est convergente, il suffit de montrer que les sommes partielles des cos(k^2) sont bornées
    Dans l'exercice plus classique où le numérateur est cos(k). cela se fait en transformant les sommes en produits, mais là, cela semble plus délicat...
    Je continue à chercher....
    Why, sometimes I've believed as many as six impossible things before breakfast
     

  5. invite34915237

    Date d'inscription
    février 2017
    Localisation
    Enigmeland
    Âge
    39
    Messages
    389

    Re : un petit exo sympa pour l'agreg.

    Je viens de me rendre compte qu'en fait mon explication n'est pas bonne.
    Donc je continue à chercher, et je relance le fil dés que j'en trouve une, si quelqu'un en trouve une, avant, il peut la mettre ici.

    Bonne soirée.
     


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  6. Resartus

    Date d'inscription
    octobre 2007
    Messages
    3 023

    Re : un petit exo sympa pour l'agreg.

    Rebonjour,

    A la reflexion, pour ce test de Dirichlet on ne peut pas se contenter d'utiliser simplement les cos(k²) multipliés par la fonction décroissante 1/k :

    La répartition des angles k² quand k est assez grand est assez proche de valeurs aléatoires. On arrive ainsi pour ces sommes partielles à l'équivalent d'une marche aléatoire à deux dimensions, dont on sait que les sommes partielles ne sont PAS majorées (l'écart moyen augmente comme la racine du nombre de termes). Donc, les sommes partielles des cos(k²) ne sont probablement pas bornées non plus.

    Je continue à chercher...
    Why, sometimes I've believed as many as six impossible things before breakfast
     

  7. invite34915237

    Date d'inscription
    février 2017
    Localisation
    Enigmeland
    Âge
    39
    Messages
    389

    Re : un petit exo sympa pour l'agreg.

    Salut,

    J'ai finalement trouvé.

    @Resartus (le premier participant) : je t'envoie la réponse, par MP.


    Cordialement.
     

  8. invite34915237

    Date d'inscription
    février 2017
    Localisation
    Enigmeland
    Âge
    39
    Messages
    389

    Re : un petit exo sympa pour l'agreg.

    En fait cela ne marche toujours pas...
     

  9. iharmed

    Date d'inscription
    juillet 2014
    Messages
    665

    Re : un petit exo sympa pour l'agreg.

    Citation Envoyé par Dattier Voir le message
    Salut,




    Cordialement.
    puisque vous utilisez le cos(k), est ce que K est en degré, en radian ou en grade ?


    exercice simplement intraitable
    Dernière modification par iharmed ; 10/06/2017 à 17h21.
     

  10. Resartus

    Date d'inscription
    octobre 2007
    Messages
    3 023

    Re : un petit exo sympa pour l'agreg.

    Bonjour,
    Il me semble intuitivement que la série cos(f(k))/k va être convergente dès que la fonction f(k) va donner des cosinus "suffisamment" aleatoires. (les cos(k²) en sont une assez bonne approximation, mais beaucoup de fonctions à l'intérieur du cosinus doivent marcher aussi

    On pourrait appeler ce problème celui de l'"ivrogne qui fatigue", c'est à dire qu'on a une marche aléatoire avec des pas de plus en plus réduits.

    Les sommes partielles des cosinus augmentent en racine(n), mais elles démarrent de plus en plus loin de l'origine, et sont donc réduites d'un facteur à peu près en 1/n, d'où la convergence

    Et sans doute pourrait-on aller plus loin et utiliser des exposants plus petits que 1 en dénominateur. En tout cas, d'après wolfram, la série
    cos(k²)/racine(k) converge également.

    Mais pour l'instant, macache pour arriver à formaliser cela sous forme d'inégalités quivontbien...
    Why, sometimes I've believed as many as six impossible things before breakfast
     

  11. JB2017

    Date d'inscription
    février 2017
    Messages
    130

    Re : un petit exo sympa pour l'agreg.

    Bonjour
    Cela me semble divergeant puisque par linéarisation cette série est la somme d'une série convergente et d'une divergente
     

  12. Resartus

    Date d'inscription
    octobre 2007
    Messages
    3 023

    Re : un petit exo sympa pour l'agreg.

    Bonjour,
    Tu parles bien de la série cos(k²)/racine(k)? On aurait pris le calculateur wolfram en défaut?
    Peux-tu expliciter STP ta méthode?
    Why, sometimes I've believed as many as six impossible things before breakfast
     

  13. iharmed

    Date d'inscription
    juillet 2014
    Messages
    665

    Re : un petit exo sympa pour l'agreg.

    Citation Envoyé par Resartus Voir le message
    .........La répartition des angles k² quand k est assez grand est assez proche de valeurs aléatoires. On arrive ainsi pour ces sommes partielles à l'équivalent d'une marche aléatoire à deux dimensions, ...

    Je continue à chercher...
    Bonjour
    Tu as bien vu le vif.
    Il n'y a rien à chercher, le sujet et non traitable tout simplement.

    Les fonctions geometriques ne sont pas faites pour approcher l'infini.
     

  14. pm42

    Date d'inscription
    juillet 2015
    Messages
    3 871

    Re : un petit exo sympa pour l'agreg.

    Citation Envoyé par iharmed Voir le message
    Il n'y a rien à chercher, le sujet et non traitable tout simplement.
    Les fonctions geometriques ne sont pas faites pour approcher l'infini.
    Tu es sur que cela veut dire quelque chose ?
     

  15. iharmed

    Date d'inscription
    juillet 2014
    Messages
    665

    Re : un petit exo sympa pour l'agreg.

    Citation Envoyé par pm42 Voir le message

    Citation Envoyé par iharmed Voir le message
    Il n'y a rien à chercher, le sujet et non traitable tout simplement.
    Les fonctions géométriques ne sont pas faites pour approcher l'infini.
    Tu es sur que cela veut dire quelque chose ?
    Bonjour
    Non je ne suis pas sur, car personne n’est sur de rien, moi au mois je suis sur de ca.

    Mais je sais qu’il y a des propositions non traitables c’est à dire non recevable on les rejette sans perte d’énergie.

    Si on commence à expliquer on commence déjà à perdre de l’énergie.

    Et pour minimiser la perte d’énergie j’explique par une seul phrase « Les fonctions géométriques ne sont pas faites pour approcher l'infini » et j’ajoute pour un calcule raisonnable

    Avec les grand nombre la fonction (cos k^2) est un comportement presque aléatoire avec une limite à l’infinie indéterminée, voir ci-après pour les nombre de 1008 à, 1024

    1008 -0,778
    1009 -0,713
    1010 0,964
    1011 -0,772
    1012 -0,876
    1013 0,679
    1014 -0,989
    1015 -0,814
    1016 -0,613
    1017 0,267
    1018 0,853
    1019 -0,223
    1020 0,326
    1021 -0,647
    1022 0,258
    1023 -0,084
    1024 0,944
    Dernière modification par iharmed ; 11/06/2017 à 15h50.
     


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