un petit exo sympa pour l'agreg.

[invite2309a58e]

Salut,




Cordialement.
-----

[Resartus]

Bonjour,
Avec k partant de zero, cela ne va pas le faire..
Une fois corrigé, question intéressante en effet, car les critères de convergence usuels sont pris en défaut.

[Verdurin]

Bonsoir,
il me semble que cette série n'est pas absolument convergente.

Pour une démonstration, j'attends celle de Dattier.

[Resartus]

Bonjour,
En appliquant le test de Dirichlet, https://fr.wikipedia.org/wiki/Test_de_Dirichlet,
pour démontrer que la série est convergente, il suffit de montrer que les sommes partielles des cos(k^2) sont bornées
Dans l'exercice plus classique où le numérateur est cos(k). cela se fait en transformant les sommes en produits, mais là, cela semble plus délicat...
Je continue à chercher....

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2309a58e]

Je viens de me rendre compte qu'en fait mon explication n'est pas bonne.
Donc je continue à chercher, et je relance le fil dés que j'en trouve une, si quelqu'un en trouve une, avant, il peut la mettre ici.

Bonne soirée.

[Resartus]

Rebonjour,

A la reflexion, pour ce test de Dirichlet on ne peut pas se contenter d'utiliser simplement les cos(k²) multipliés par la fonction décroissante 1/k :

La répartition des angles k² quand k est assez grand est assez proche de valeurs aléatoires. On arrive ainsi pour ces sommes partielles à l'équivalent d'une marche aléatoire à deux dimensions, dont on sait que les sommes partielles ne sont PAS majorées (l'écart moyen augmente comme la racine du nombre de termes). Donc, les sommes partielles des cos(k²) ne sont probablement pas bornées non plus.

Je continue à chercher...

[invite2309a58e]

Salut,

J'ai finalement trouvé.

@Resartus (le premier participant) : je t'envoie la réponse, par MP.


Cordialement.

[invite2309a58e]

En fait cela ne marche toujours pas...

[invitedf3b174e]

Salut,




Cordialement.

puisque vous utilisez le cos(k), est ce que K est en degré, en radian ou en grade ?


exercice simplement intraitable

[Resartus]

Bonjour,
Il me semble intuitivement que la série cos(f(k))/k va être convergente dès que la fonction f(k) va donner des cosinus "suffisamment" aleatoires. (les cos(k²) en sont une assez bonne approximation, mais beaucoup de fonctions à l'intérieur du cosinus doivent marcher aussi

On pourrait appeler ce problème celui de l'"ivrogne qui fatigue", c'est à dire qu'on a une marche aléatoire avec des pas de plus en plus réduits.

Les sommes partielles des cosinus augmentent en racine(n), mais elles démarrent de plus en plus loin de l'origine, et sont donc réduites d'un facteur à peu près en 1/n, d'où la convergence

Et sans doute pourrait-on aller plus loin et utiliser des exposants plus petits que 1 en dénominateur. En tout cas, d'après wolfram, la série
cos(k²)/racine(k) converge également.

Mais pour l'instant, macache pour arriver à formaliser cela sous forme d'inégalités quivontbien...

[invite6710ed20]

Bonjour
Cela me semble divergeant puisque par linéarisation cette série est la somme d'une série convergente et d'une divergente

[Resartus]

Bonjour,
Tu parles bien de la série cos(k²)/racine(k)? On aurait pris le calculateur wolfram en défaut?
Peux-tu expliciter STP ta méthode?

[invitedf3b174e]

.........La répartition des angles k² quand k est assez grand est assez proche de valeurs aléatoires. On arrive ainsi pour ces sommes partielles à l'équivalent d'une marche aléatoire à deux dimensions, ...

Je continue à chercher...

Bonjour
Tu as bien vu le vif.
Il n'y a rien à chercher, le sujet et non traitable tout simplement.

Les fonctions geometriques ne sont pas faites pour approcher l'infini.

[pm42]

Il n'y a rien à chercher, le sujet et non traitable tout simplement.
Les fonctions geometriques ne sont pas faites pour approcher l'infini.

Tu es sur que cela veut dire quelque chose ?

[invitedf3b174e]

Il n'y a rien à chercher, le sujet et non traitable tout simplement.
Les fonctions géométriques ne sont pas faites pour approcher l'infini.

Tu es sur que cela veut dire quelque chose ?

Bonjour
Non je ne suis pas sur, car personne n’est sur de rien, moi au mois je suis sur de ca.

Mais je sais qu’il y a des propositions non traitables c’est à dire non recevable on les rejette sans perte d’énergie.

Si on commence à expliquer on commence déjà à perdre de l’énergie.

Et pour minimiser la perte d’énergie j’explique par une seul phrase « Les fonctions géométriques ne sont pas faites pour approcher l'infini » et j’ajoute pour un calcule raisonnable

Avec les grand nombre la fonction (cos k^2) est un comportement presque aléatoire avec une limite à l’infinie indéterminée, voir ci-après pour les nombre de 1008 à, 1024

1008 -0,778
1009 -0,713
1010 0,964
1011 -0,772
1012 -0,876
1013 0,679
1014 -0,989
1015 -0,814
1016 -0,613
1017 0,267
1018 0,853
1019 -0,223
1020 0,326
1021 -0,647
1022 0,258
1023 -0,084
1024 0,944

[pm42]

Non je ne suis pas sur, car personne n’est sur de rien, moi au mois je suis sur de ca.

C'est une phrase contradictoire.

Mais je sais qu’il y a des propositions non traitables c’est à dire non recevable on les rejette sans perte d’énergie.
Si on commence à expliquer on commence déjà à perdre de l’énergie.

Nawak.

Et pour minimiser la perte d’énergie j’explique par une seul phrase « Les fonctions géométriques ne sont pas faites pour approcher l'infini » et j’ajoute pour un calcule raisonnable

Nawak au carré.

Avec les grand nombre la fonction (cos k^2) est un comportement presque aléatoire avec une limite à l’infinie indéterminée, voir ci-après pour les nombre de 1008 à, 1024

Il n'y a pas de limite, cela s'appelle une fonction non convergente. Rien de nouveau.
Cela ne prouve rien sur la convergence quand on divise par k.
Par exemple, la série de terme cos(k^2)/k^2 est convergente.

[Médiat]

Bonjour,

Si on commence à expliquer on commence déjà à perdre de l’énergie.

Et bien n'expliquez pas ce sera une économie d'énergie pour tout le monde !

[invite6710ed20]

Rebonjour
Avez vous bien lu mon message??

[invitedf3b174e]

cos(k^2)/k^2 est convergente.

Lorsqu’on divise par k^2, c’est différent
la série 1/k^2 est convergente
si on remplace le 1 par cos (k^2) est toujours inférieur à un 1 et même négatif alors la convergence est plus que sur.

[invite2309a58e]

salut,

Cela me semble divergeant puisque par linéarisation cette série est la somme d'une série convergente et d'une divergente

plus de détaille cela serait mieux, merci.

cordialement.

[0577]

Bonjour,

Notons



Par sommation d'Abel, on a



Comme rappelé par Resartus, si les avaient une distribution aléatoire dans [-1,1], on aurait (par le théorème central limite)


d'où convergence absolue de la série de terme général



et donc convergence de la série initiale.

Je ne sais pas prouver que



mais on peut montrer (suivant Weyl) que



ce qui suffit pour conclure la convergence.

Il est plus simple de travailler avec des exponentielles qu'avec des fonctions trigonométriques et on considère



On veut montrer que

.

Un principe général au sujet des sommes de gaussiennes est de prendre le carré.

On a









Majorant les modules des exponentielles quadratiques par 1 et sommant les exponentielles linéaires, on obtient



où C est une constante. La quantité



devient grande quand est proche d'un entier. Par le théorème d'approximation de Dirichlet, il existe p et q entiers premiers entre eux tels que



avec q<2N.

On en déduit une borne supérieure de par l'inverse de la distance de mp/q à l'entier le plus proche et donc par q/m et donc par 2N/m.

On en déduit



(remarque: on doit savoir que est irrationnel pour que l'agument ci-dessus ait un sens).

[Resartus]

Bonjour,
Genialissime, 0577!

Je comprends maintenant pourquoi, à cause du racine(log(N)) en plus, prendre un dénominateur en racine(k) serait pousser le bouchon trop loin...

Il reste à savoir si c'est par pure chance que l'exemple avec cos(k²)/racine(k) converge, ou bien si c'est un bug de calcul de wolfram qui s'arrête trop tôt....
Je n'ai pas beaucoup d'outils. J'espère que la précision excel sera suffisante pour faire quelques tests...

Juste une petite correction pour les futurs lecteurs : ce sont les angles qui sont à peu près équirépartis entre 0 et 2pi, de même que les exponentielles sur le cercle unité : leurs cosinus eux ne le sont pas (quoique il doit suffire qu'ils aient des probabilités symétriques par rapport à zero)

[invitedf3b174e]

Par sommation d'Abel, on a
................

bonjour

[invite6710ed20]

Rebonjour
Mon post a-t-il été supprimé?
Par linéarisation la série est somme d'un série CV et d'une série DV donc elle diverge..

[invite2309a58e]

@JB : tu ne fais que paraphraser ce que tu as déjà dit, pourrais-tu expliciter ces 2 séries ?

Merci.

[pm42]

Rebonjour
Mon post a-t-il été supprimé?
Par linéarisation la série est somme d'un série CV et d'une série DV donc elle diverge..

Ton post est là mais vu que tu sembles ne pas vouloir donner plus d'explications, pourquoi s'y intéresser ?
Et tu pourrais remarquer que 0577 a donner une démonstration qui conclut l'inverse si j'ai bien compris et qui est un pouiem de chouia plus étayée...

[Resartus]

Bonjour,

0577 a en effet démontré brillamment que la série cos(k²)/k^a est convergente dès que a est strictement supérieur à 1/2....
Je soupçonne que JB2017 a mal lu et cru qu'on parlait de [cos(z)]²/z (qui vaut en effet [1+cos(2z)]/2z

Pour information, j'ai fait quelques tests Excel sur le cas limite cos(k²)/racine(z), qui ont surtout mis en évidence les limites de mon outil numérique....

Un examen de la courbe jusqu'à 10^6 montre de grands paliers de convergence suivis par des décrochages tous les 150000 environ, dont l'espacement très régulier est suspect, et est probablement lié au fait que le pi() des ordinateurs n'est évidemment pas irrationnel...

A l'opposé d'ailleurs, si on met sous le cosinus la fonction ALEA, cela converge très rapidement, ce qui montre que celle-ci est bien trop régulière
pour faire un aleatoire correct.

Si j'ai un peu de temps, je téléchargerai des outils multiprécision, mais cela ne fera que reculer le problème...

[bubulle_01]

0577 je suis pas persuadé par ta démonstration.
Tu dis que 1/|sin(m)| est inférieur à 2N/m.
En évaluant en N-1 on aurait de manière générale 1/|sin(N-1)| < 2N/(N-1) et donc la suite 1/sin(n) serait bornée (ce qui est faux).

[Resartus]

Bonjour,
En effet, bubulle_01, il y a bien un bug dans la démo

En relisant de plus près, le théorème de Dirichlet va dans le mauvais sens, et il démontre au contraire que la somme des 1/sin(kn) tend vers l'infini plus vite que N (il existe des m entre 1 et N t.q 1/sin(pi-m) est SUPERIEUR à N...

C'est la majoration des exponentielles en exp(im²) par 1 qui est trop brutale, car elle conduit à un produit en N^2. Bien que cela suffise pour démontrer que la somme des cos(k2)/k converge, cela ne permet pas d'aller plus loin

La question de savoir jusqu'à combien on peut réduire l'exposant du dénominateur reste donc ouverte

[bubulle_01]

Bien que cela suffise pour démontrer que la somme des cos(k2)/k converge

Pourquoi ?