un petit exo sympa pour l'agreg.

[invite2309a58e]

Salut,

Oui, pourquoi ?

Cordialement.
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[0577]

Il semble en effet que j'ai commis une erreur et que ma démonstration est fausse.

Si je lis correctement l'article de Hardy et Littlewood qu'on peut trouver à

https://projecteuclid.org/euclid.acta/1485887376

on a:

1)



pour tout x irrationnel (Théorème 2.14).

2) Pour tout ,

pour presque tout x irrationnel (au sens de la théorie de la mesure)(Théorème 2.15).

3) En général, la qualité de la borne obtenue sur

dépend de la qualité d'approximation de x par des rationnels (croissance des coefficients du développement en fractions continues)(Théorème 2.141, 2.142, 2.143).

4) Il existe x irrationnel tel que

ne converge pas (fin page 224). En particulier, pour la question originale de ce fil avec , il faut utiliser plus d'hypothèses que l'irrationnalité de (ce qui fournit une autre raison pour laquelle ma tentative de preuve ne peut pas marcher).

5)Pour tout et pour tout x irrationnel, la série

est divergente (Théorème 2.27).

6)Pour tout , la série

est convergente pour presque tout x (conséquence de 2)).

La question originale de ce fil concerne le cas . Il semble nécessaire de connaitre des propriétés d'approximation diophantienne de pour pouvoir répondre à la question. Je ne sais pas si ces propriétés sont connues.

[invite2309a58e]

Salut,

@577 : sait-on prouver que la série n'est pas bornée ?

Cordialement.

[0577]

Bonjour,

@577 : sait-on prouver que la série n'est pas bornée ?

d'après le Théorème 2.22 de l'article de Hardy et Littlewood cité dans mon message précédent, pour tout x irrationnel (et donc en particulier pour x=1/pi),



n'est pas un , i.e. il existe une constante C et une infinité de valeurs de N telles que



En particulier, la suite



n'est pas bornée.

[invitedf3b174e]

Il semble en effet que j'ai commis une erreur et que ma démonstration est fausse.

bonjour

Et si vous corrigez l’erreur, c’est quoi la conclusion ?

La série converge ou pas ?


est pourquoi cos (k^2) est pas simplement cos(k) ? il n'aura pas de différence

[invite2309a58e]

@0577 : sais-tu expliquer pourquoi ?