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un petit exo sympa pour l'agreg.

  1. invite34915237

    Date d'inscription
    février 2017
    Localisation
    Enigmeland
    Âge
    39
    Messages
    389

    Re : un petit exo sympa pour l'agreg.

    Salut,

    Oui, pourquoi ?

    Cordialement.

    -----

     


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  2. 0577

    Date d'inscription
    avril 2012
    Messages
    356

    Re : un petit exo sympa pour l'agreg.

    Il semble en effet que j'ai commis une erreur et que ma démonstration est fausse.

    Si je lis correctement l'article de Hardy et Littlewood qu'on peut trouver à

    https://projecteuclid.org/euclid.acta/1485887376

    on a:

    1)



    pour tout x irrationnel (Théorème 2.14).

    2) Pour tout ,

    pour presque tout x irrationnel (au sens de la théorie de la mesure)(Théorème 2.15).

    3) En général, la qualité de la borne obtenue sur

    dépend de la qualité d'approximation de x par des rationnels (croissance des coefficients du développement en fractions continues)(Théorème 2.141, 2.142, 2.143).

    4) Il existe x irrationnel tel que

    ne converge pas (fin page 224). En particulier, pour la question originale de ce fil avec , il faut utiliser plus d'hypothèses que l'irrationnalité de (ce qui fournit une autre raison pour laquelle ma tentative de preuve ne peut pas marcher).

    5)Pour tout et pour tout x irrationnel, la série

    est divergente (Théorème 2.27).

    6)Pour tout , la série

    est convergente pour presque tout x (conséquence de 2)).

    La question originale de ce fil concerne le cas . Il semble nécessaire de connaitre des propriétés d'approximation diophantienne de pour pouvoir répondre à la question. Je ne sais pas si ces propriétés sont connues.
    Dernière modification par 0577 ; 27/06/2017 à 20h22.
     

  3. invite34915237

    Date d'inscription
    février 2017
    Localisation
    Enigmeland
    Âge
    39
    Messages
    389

    Re : un petit exo sympa pour l'agreg.

    Salut,

    @577 : sait-on prouver que la série n'est pas bornée ?

    Cordialement.
     

  4. 0577

    Date d'inscription
    avril 2012
    Messages
    356

    Re : un petit exo sympa pour l'agreg.

    Bonjour,

    Citation Envoyé par Dattier Voir le message
    @577 : sait-on prouver que la série n'est pas bornée ?
    d'après le Théorème 2.22 de l'article de Hardy et Littlewood cité dans mon message précédent, pour tout x irrationnel (et donc en particulier pour x=1/pi),



    n'est pas un , i.e. il existe une constante C et une infinité de valeurs de N telles que



    En particulier, la suite



    n'est pas bornée.
     

  5. iharmed

    Date d'inscription
    juillet 2014
    Messages
    665

    Re : un petit exo sympa pour l'agreg.

    Citation Envoyé par 0577 Voir le message
    Il semble en effet que j'ai commis une erreur et que ma démonstration est fausse.
    bonjour

    Et si vous corrigez l’erreur, c’est quoi la conclusion ?

    La série converge ou pas ?


    est pourquoi cos (k^2) est pas simplement cos(k) ? il n'aura pas de différence
     


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  6. invite34915237

    Date d'inscription
    février 2017
    Localisation
    Enigmeland
    Âge
    39
    Messages
    389

    Re : un petit exo sympa pour l'agreg.

    @0577 : sais-tu expliquer pourquoi ?
     


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