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montrer que 2014 n'est pas une somme de deux carrés

  1. duduch74

    Date d'inscription
    juin 2017
    Messages
    12

    montrer que 2014 n'est pas une somme de deux carrés

    Bonjour

    J'ai bien compris la solution de ce problème qu'on donne sur la plupart des ressources :
    Par l'absurde, on suppose qu'on peut écrire 2014 = n^2 + m^2, avec n et m dans N.
    Or 2014 est congru à 6 modulo 8, alors que n^2+m^2 est congru à 0, 1, 2, 4 ou 5 uniquement modulo 8.
    On conclut que 2014 ne peut pas s'écrire comme la somme de deux carrés.

    J'ai bien compris le raisonnement. Ma question est : comment a-t-on l'idée de raisonner modulo 8 ? J'ai testé avec un raisonnement modulo 5, il n'y a pas de contradiction. Donc avec cette méthode (je sait aussi qu'on peut utiliser le théorème des deux carrés de Fermat) est-ce qu'on teste différents modulo jusqu'à ce que l'un d'entre eux donne une contradiction ? Ou bien il existe un moyen de trouver le bon modulo ?

    Cordialement

    -----

    Dernière modification par duduch74 ; 02/07/2017 à 12h35.
     


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  2. minushabens

    Date d'inscription
    juillet 2014
    Messages
    4 972

    Re : montrer que 2014 n'est pas une somme de deux carrés

    Le choix de 8 n'est pas un hasard, regarde ici : https://en.wikipedia.org/wiki/Quadratic_residue
     

  3. skeptikos

    Date d'inscription
    janvier 2009
    Localisation
    Strasbourg
    Âge
    73
    Messages
    1 251

    Re : montrer que 2014 n'est pas une somme de deux carrés

    Bonsoir,
    A mon goût, passer par le théorème de Fermat serait plus rapide.
    @+
     

  4. duduch74

    Date d'inscription
    juin 2017
    Messages
    12

    Re : montrer que 2014 n'est pas une somme de deux carrés

    je n'ai pas tout compris, si ce n'est que le rédacteur de la correction n'est pas très pédagogue... mais merci. Un jour ça sera limpide.
     

  5. Seirios

    Date d'inscription
    mai 2005
    Localisation
    Dans le plan complexe
    Âge
    25
    Messages
    10 416

    Re : montrer que 2014 n'est pas une somme de deux carrés

    Il ne faut pas penser qu'il y a toujours une route toute tracée vers la solution d'un exercice. Parfois (souvent ?), appliquer des recettes toutes faites ne permet pas de résoudre un problème. La solution peut passer par l'intuition, l'expérience, et souvent beaucoup d'essais et d'échecs.
    If your method does not solve the problem, change the problem.
     


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  6. eudea-panjclinne

    Date d'inscription
    novembre 2012
    Messages
    403

    Re : montrer que 2014 n'est pas une somme de deux carrés

    Ce type de recherche n'est jamais simple au niveau élémentaire, il est normal de ne pas trouver d'emblée. Quelques réflexions qui pourront peut-être vous aider.
    Le problème est ici lié au nombre 2.
    2014 est multiple de 2 et pas de 4 : autrement dit 2 apparait à la puissance 1 dans la décomposition en facteurs premiers de 2014.
    D'autre part, regardez
    1) si n et m sont paires cela ne peut aller car leur somme est multiple de 4 et pas 2014.
    2) si n et m sont de parités différents la somme des carrés est impaire, donc cela ne peut aller
    3) il reste le cas n et m impaires qui pourraient à priori aller, mais, en fait, non:
    écrivez n=2k+1 et m=2l+1
    n²+m²=4(k²+k)+4(l²+l)+2
    or k²+k=k(k+1) produit de deux entiers consécutifs donc résultat pair, même chose pour l²+l par conséquent on peut écrire :
    n²+m²=8(k'+l')+2
    Eh bien le voici le modulo 8...
     

  7. Amanuensis

    Date d'inscription
    septembre 2010
    Messages
    20 766

    Re : montrer que 2014 n'est pas une somme de deux carrés

    Citation Envoyé par duduch74 Voir le message
    Ou bien il existe un moyen de trouver le bon modulo ?
    Le nombre de valeurs de carrés modulo n est au plus n/2+1. Mais pour certains n c'est moins que cela. Par exemple il n'y a que 3 valeurs modulo 8, ou encore 4 valeurs modulo 12. Si k est le nombre de modulos de carrés modulo n, le nombre de modulos de sommes de deux carrés est au plus k(k+1)/2. Pour n=8, k =3 et k(k+1)/2 = 6 < 8, donc il y a au moins deux valeurs modulo 8 impossibles pour la somme de deux carrés (il y en a 3 qui sont 3, 6, 7). De même, pour n=12, k=4 et k(k+1)/2=10<12, et il y a au moins deux valeurs interdites (il y en a 3, qui sont 3, 7 et 11).

    Il y a donc des valeurs de n ayant la propriété d'avoir des modulos de somme de carrés impossibles, les premiers n étant 4, 8, 12 et 16. Apparemment ce sont les multiples de 4, mais je ne sais pas s'il y a une règle générale.

    Les impossibles sont au moins: 3 mod 4, 6 mod 8, (rien de plus pour mod 12), 12 mod 16, etc. (On peut deviner une règle 3 2^k mod 2^{k+2}, ???)
    Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
     

  8. ansset

    Date d'inscription
    novembre 2009
    Localisation
    Fresnes
    Âge
    57
    Messages
    22 041

    Re : montrer que 2014 n'est pas une somme de deux carrés

    bjr,
    Citation Envoyé par duduch74 Voir le message
    je n'ai pas tout compris, si ce n'est que le rédacteur de la correction n'est pas très pédagogue... mais merci. Un jour ça sera limpide.
    tu ne la communiques pas.
    par contre
    Citation Envoyé par eudea-panjclinne Voir le message
    2014 est multiple de 2 et pas de 4 : autrement dit 2 apparait à la puissance 1 dans la décomposition en facteurs premiers de 2014.
    D'autre part, regardez
    1) si n et m sont paires cela ne peut aller car leur somme est multiple de 4 et pas 2014.
    2) si n et m sont de parités différents la somme des carrés est impaire, donc cela ne peut aller
    3) il reste le cas n et m impaires qui pourraient à priori aller, mais, en fait, non:
    écrivez n=2k+1 et m=2l+1
    n²+m²=4(k²+k)+4(l²+l)+2
    or k²+k=k(k+1) produit de deux entiers consécutifs donc résultat pair, même chose pour l²+l par conséquent on peut écrire :
    n²+m²=8(k'+l')+2
    Eh bien le voici le modulo 8...
    je trouve celle là très bien, ce qui n'enlève rien aux propositions plus générales qui ont été formulées par divers intervenants.
    Cdt
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
     

  9. Médiat

    Date d'inscription
    août 2006
    Âge
    67
    Messages
    16 675

    Re : montrer que 2014 n'est pas une somme de deux carrés

    Citation Envoyé par Amanuensis Voir le message
    Apparemment ce sont les multiples de 4
    Non, pas uniquement ; cela me semble lié aux diviseurs de zéro, mais pas seulement (peut-être faut-il que le modulo contienne 1 carré), et c'est évidemment lié à la présence de 2 dans les facteurs de n.

    les premiers n étant 4, 8, 12 et 16
    Ainsi que 9 (il manque 3 et 6 (des diviseurs de 0)
    Dernière modification par Médiat ; 03/07/2017 à 11h05.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
     

  10. AncMath

    Date d'inscription
    avril 2017
    Messages
    260

    Re : montrer que 2014 n'est pas une somme de deux carrés

    Conceptuellement il y a au moins une façon de comprendre cela. Cela vient du fait que principe de Hasse fonctionne pour de telles équations. C'est le théorème de Hasse-Minkowsi.

    Supposes que tu homogénises ton équation et que tu t’intéresses à trouver un zéro entier de la forme quadratique. Ceci te fournit toutes les solutions rationnelles à ton équation. C'est moins fort que les solutions entières mais c'est déjà un premier pas. Notamment si tu veux prouver qu'il n'y a pas de solution.
    Le principe de Hasse fonctionne pour de telles équations. C'est le théorème de Hasse-Minkowsi. Il te dit que cette équation a des solutions rationnelles si et seulement si elle a des solutions p-adiques pour tout p, y compris p infini.
    Grace au lemme d'Hensel l'existence de solutions locales revient peu ou prou à résoudre ton équation modulo p pour tout premier p impair.
    Pour p=2 c'est un poil plus compliqué parce que si tu vois ton équation comme une conique , alors modulo 2 cette conique dégénère : c'est une droite double. Il faut alors faire plus attention en utilisant le lemme de Hensel et pousser modulo 8 le critère local. C'est déjà ce qu'il se passe dans la loi de réciprocité quadratique modulo 2 si tu notes.

    Autrement dit si tout cela t'es étranger, ce qui est probable, on a un principe théorique pour les formes quadratiques à coefficients entiers : elles possèdent une solution rationnelle ssi elles possèdent une solution réelle, une solution modulo p pour tout p premier impair et une solution modulo 8.

    Tu peux aussi regarder ce qu'est le symbole de Hilbert, qui "encapsule" tout cela.
    Dernière modification par AncMath ; 03/07/2017 à 12h04.
     

  11. Médiat

    Date d'inscription
    août 2006
    Âge
    67
    Messages
    16 675

    Re : montrer que 2014 n'est pas une somme de deux carrés

    Bonjour,

    Citation Envoyé par AncMath Voir le message
    C'est le théorème de Hasse-Minkowsi. Il te dit que cette équation a des solutions rationnelles si et seulement si elle a des solutions p-adiques pour tout p, y compris p infini.

    [...]

    on a un principe théorique pour les formes quadratiques à coefficients entiers : elles possèdent une solution rationnelle ssi elles possèdent une solution réelle, une solution modulo p pour tout p premier impair et une solution modulo 8.
    Auriez-vous un exemple d'une forme quadratique à coefficients entiers ayant une racine dans IR et dans tous les Qp pour p premier, et qui n'ait pas de racine dans Q ? (Je connais l'exemple célèbre de degré 3, mais pas pour des formes quadratiques)
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
     

  12. AncMath

    Date d'inscription
    avril 2017
    Messages
    260

    Re : montrer que 2014 n'est pas une somme de deux carrés

    Et bien, ma foi, non ! Puisque le théorème de Hassse-Minkowski dit que ca ne peut arriver.

    Le modulo 8 dans mon "résumé" vient du fait que la recherche de racines non triviales à une forme quadratique dans n'est pas équivalente à la recherche de racines dans mais dans . Pour les autres premiers impairs la recherche de solutions non triviales dans est équivalent à la recherche dans .
     

  13. Médiat

    Date d'inscription
    août 2006
    Âge
    67
    Messages
    16 675

    Re : montrer que 2014 n'est pas une somme de deux carrés

    Citation Envoyé par AncMath Voir le message
    Et bien, ma foi, non ! Puisque le théorème de Hassse-Minkowski dit que ca ne peut arriver.
    C'est bien là où je voulais en venir

    Citation Envoyé par AncMath Voir le message
    Le modulo 8 dans mon "résumé" vient du fait que la recherche de racines non triviales à une forme quadratique dans n'est pas équivalente à la recherche de racines dans mais dans . Pour les autres premiers impairs la recherche de solutions non triviales dans est équivalent à la recherche dans .
    Et c'est cela que je n'avais pas vu
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
     

  14. AncMath

    Date d'inscription
    avril 2017
    Messages
    260

    Re : montrer que 2014 n'est pas une somme de deux carrés

    Comme on dit "Every prime number is odd, and 2 is the oddest one".
     

  15. duduch74

    Date d'inscription
    juin 2017
    Messages
    12

    Re : montrer que 2014 n'est pas une somme de deux carrés

    Citation Envoyé par eudea-panjclinne Voir le message
    Ce type de recherche n'est jamais simple au niveau élémentaire, il est normal de ne pas trouver d'emblée. Quelques réflexions qui pourront peut-être vous aider.
    Le problème est ici lié au nombre 2.
    2014 est multiple de 2 et pas de 4 : autrement dit 2 apparait à la puissance 1 dans la décomposition en facteurs premiers de 2014.
    D'autre part, regardez
    1) si n et m sont paires cela ne peut aller car leur somme est multiple de 4 et pas 2014.
    2) si n et m sont de parités différents la somme des carrés est impaire, donc cela ne peut aller
    3) il reste le cas n et m impaires qui pourraient à priori aller, mais, en fait, non:
    écrivez n=2k+1 et m=2l+1
    n²+m²=4(k²+k)+4(l²+l)+2
    or k²+k=k(k+1) produit de deux entiers consécutifs donc résultat pair, même chose pour l²+l par conséquent on peut écrire :
    n²+m²=8(k'+l')+2
    Eh bien le voici le modulo 8...
    En fait c'est un peu comme ça que j'avais résolu l'exercice dans un premier temps, mais je n'avais pas fait le rapprochement avec le modulo 8... je mérite une baffe
     


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