Z/nZ classe d'équivalence

[mehdi_128]

Si tu connais le théorème de Lagrange (un théorème qui parle des ordres des sous-groupes dans un groupe fini) alors c' est très rapide. Parce que si b est premier , que peux tu dire du nombre d' éléments dans Z/bZ ?

Par contre sans le théorème de Lagrange, en faisant de l' arithmétique toute simple, je vois pas trop. Peut etre quelque chose avec l' identité de Bezout ( parce qu' on a un 1, un b et un 10 ( mais c' est juste du pifomètre ça !))

Bonne chance !

Oui on a du voir ça en MPSI je reprends après plusieurs années d'arrêt de maths !

L'ordre d'un élément est le plus petit entier tel que Soit a appartient à G groupe fini alors l'ordre de a divise card(G) c'est ça ? Ou ?

Bah on a : il y a 0 barre, 1 barre, (b-1) barre ce qui fait b élément
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[mehdi_128]

(Z/bZ)* est un groupe fini donc :



Soit 10 barre un élément de (Z/bZ)* alors : donc 10^(b-1) est congru à 1 modulo b

C'est rapide

Y a une autre méthode en écrivant le produit d'éléments de (Z/bZ)* de 2 façons différentes mais je la comprends pas vous connaissez ?

[mehdi_128]

Si b n'est pas premier : (Z/bZ)* est il un groupe multiplicatif ?

[gg0]

Essaie avec b=6, par exemple.

[slivoc]

L'ordre d'un élément est le plus petit entier tel que Soit a appartient à G groupe fini alors l'ordre de a divise card(G) c'est ça ? Ou ?

Oui, et la première partie implique la seconde !

[slivoc]

Si b n'est pas premier : (Z/bZ)* est il un groupe multiplicatif ?

Tout dépend de ta définition de ((Z/bZ)*,x). Pour nous ( en cours cette année )les éléments de ((Z/bZ)*,x) étaient les classes d' équivalence dont les représentants étaient premiers avec b, donc nous n' avions pas besoins que b soit premier.

[mehdi_128]

Essaie avec b=6, par exemple.

(Z/6Z)* = {1,2,3,4,5}

Si je veux faire par exemple :

Je connais pas trop la méthode pour calculer le produit de 2 classes d'équivalence

[mehdi_128]

Sinon j'ai essayé une autre méthode :

f est injective et card(ensemble de départ)=card(ensemble d'arrivée) donc f est une bijection de (Z/bZ)* dans (Z/bZ)* ... Faire le produit des f(x) revient à faire le produit des x :



Donc :

J'ai bien le droit de sortir de 10 barre du produit vu qu'il dépend pas de a ?

[Tryss2]

Je connais pas trop la méthode pour calculer le produit de 2 classes d'équivalence

On défini en général . Reste à montrer que cette définition a bien un sens, c'est à dire qu'elle ne dépend pas des représentants des classes d'équivalences choisis.

[gg0]

(Z/6Z)* = {1,2,3,4,5}

Si je veux faire par exemple :

Je connais pas trop la méthode pour calculer le produit de 2 classes d'équivalence

A priori,


C'est un peu bizarre que tu manipules des notions (ici Z/nZ) sans savoir ce que c'est. Révise les bases.

[mehdi_128]

On défini en général . Reste à montrer que cette définition a bien un sens, c'est à dire qu'elle ne dépend pas des représentants des classes d'équivalences choisis.

J'arrive pas à comprendre pourquoi pour montrer que ça a un sens on doit faire :

et implique

[mehdi_128]

A priori,


C'est un peu bizarre que tu manipules des notions (ici Z/nZ) sans savoir ce que c'est. Révise les bases.

Dans (Z/6Z) on a : donc

[gg0]

J'arrive pas à comprendre pourquoi pour montrer que ça a un sens on doit faire :

A priori, c'est déjà fait dans les cours de base. Relis-les.

Mais c'est pour pouvoir définir comme étant

[mehdi_128]

A priori, c'est déjà fait dans les cours de base. Relis-les.

Mais c'est pour pouvoir définir comme étant

Mais je comprends pas à quoi ça sert ? Ca existe des applications tel que x = x' implique f(x) différent de x' ?

[slivoc]

Non, l' image d' un élément par une application est un unique élément de l' ensemble d' arrivée. Plus précisemment : https://fr.wikipedia.org/wiki/Applic....C3.A9finition

Sauf que dans Z/nZ, les éléments sont des classes d' équivalences et pas des nombres. Et à priori la somme ( ou le produit )entre deux classes n' est pas défini. Pour la définir, on voudrait bien que la loi + dans Z induise une loi + dans Z/nZ. Et c' est ce qui se passe, c' est à dire que si x et x' sont dans la même classe ( c' est à dire que x barre = x' barre) et y et y' sont dans la même classe, alors on a x+y qui est dans la même classe que x'+y'. Autrement dit, définir la loi + dans Z/nZ, comme étant xbarre + ybarre = (x+y) barre a du sens ( ne dépend pas des représentants choisis dans les classes de x barre et y barre).
Mais en fait, ce n' est qu' un cas particulier. Quand tu te donnes un groupe G et H un sous groupe distingué dans G, alors la loi + ( je la note + par défaut) de G induit une loi + sur G/H ( l' ensemble quotient) qui fait que G/H possède une structure de groupe !
Si tu veux plus de précisions ( et ça t' aidera sans doute à mieux comprendre Z/nZ ), va voir un cours sur les groupes quotient, je pense qu' il y en a pas mal sur internet, ou même dans les bouquins !