Z/nZ classe d'équivalence

[invite23cdddab]

Mais je comprends pas à quoi ça sert ? Ca existe des applications tel que x = x' implique f(x) différent de x' ?

Non, ici tu as une application barre, qui va de Z dans Z/nZ et qui a x associe sa classe d'équivalence.

Maintenant, tu as une application f: ZxZ -> Z, et tu te pose la question, est ce qu'on peut "faire passer f au quotient", c'est à dire est ce qu'il existe une application fbarre : Z/nZ x Z/nZ -> Z/nZ telle que quelque soit x et y dans Z,

barre( f(x,y) )= fbarre( barre(x), barre(y) )

Ici f(x,y) = x+y et on se demande si il existe une addition qui étend l'addition usuelle aux classes d'équivalences
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[mehdi_128]

Non, l' image d' un élément par une application est un unique élément de l' ensemble d' arrivée. Plus précisemment : https://fr.wikipedia.org/wiki/Applic....C3.A9finition

Sauf que dans Z/nZ, les éléments sont des classes d' équivalences et pas des nombres. Et à priori la somme ( ou le produit )entre deux classes n' est pas défini. Pour la définir, on voudrait bien que la loi + dans Z induise une loi + dans Z/nZ. Et c' est ce qui se passe, c' est à dire que si x et x' sont dans la même classe ( c' est à dire que x barre = x' barre) et y et y' sont dans la même classe, alors on a x+y qui est dans la même classe que x'+y'. Autrement dit, définir la loi + dans Z/nZ, comme étant xbarre + ybarre = (x+y) barre a du sens ( ne dépend pas des représentants choisis dans les classes de x barre et y barre).
Mais en fait, ce n' est qu' un cas particulier. Quand tu te donnes un groupe G et H un sous groupe distingué dans G, alors la loi + ( je la note + par défaut) de G induit une loi + sur G/H ( l' ensemble quotient) qui fait que G/H possède une structure de groupe !
Si tu veux plus de précisions ( et ça t' aidera sans doute à mieux comprendre Z/nZ ), va voir un cours sur les groupes quotient, je pense qu' il y en a pas mal sur internet, ou même dans les bouquins !

Mais pourquoi le x = x' et y=y' ? Pourquoi ne pas pas simplement faire x barre + y barre et vérifier que ça vaut (x+y) barre ?

[mehdi_128]

Très très mal expliqué l'application sur Wiki on y comprends rien jamais vu les applications comme ça en cours de prépa.

"La définition usuelle en mathématiques d'une fonction est donc ensembliste et présuppose essentiellement celle de couple et de produit cartésien. Une application ou fonction est un triplet f = (E, F, G) avec une relation binaire G ⊂ E × F, et qui vérifie que pour tout x de E il existe un unique y de F tel que le couple (x, y) appartienne à G. Exactement dans ce cas, une application fG donnée comme relation binaire G ⊂ E × F est dite bien définie. L'ordre des ensembles du triplet est arbitraire et on trouve d'ailleurs des variations suivant les ouvrages. La propriété caractéristique peut se décomposer en deux clauses16 :
Existence. ∀ x ∈ E ∃ y ∈ F (x, y) ∈ G ;
Unicité. ∀ x ∈ E ∀ y ∈ F ∀ y’ ∈ F ( [ (x, y) ∈ G et (x, y’) ∈ G] ⇒ y = y’ )."

[slivoc]

On ne peut pas simplement faire parce que ce ne sont pas des entiers, ce sont des classes d' équivalences d' entiers. Par définition,
.Les éléments de sont des classes d' équivalences, et pour y faire des addition (donc entre des ensembles qui sont les classes d' équivalences), on peut le faire en choisissant n' importe quel élément des classes , justement parce que la classe du résultat ne dépend pas des choix des représentants de .

Nous non plus, à la fac, on n' a jamais vu cette défintion. Où as-tu du mal à comprendre ? Elle dit simplement que la donnée d' une fonction , c' est la donnée pour tout x de E (l' antécédent ), d' un unique y ( l' image de de x par g) élément de F.

[slivoc]

Ps: Il y a une différence entre fonction et application, l' un est défini sur tout l' ensemble de départ, l' autre, sur une sous-partie. Il me semble ( mais je ne suis pas du tout sure) que l' application est définie sur tout l' ensemble de départ, alors que la fonction est définie sur un sous-ensemble.

[mehdi_128]

On ne peut pas simplement faire parce que ce ne sont pas des entiers, ce sont des classes d' équivalences d' entiers. Par définition,
.Les éléments de sont des classes d' équivalences, et pour y faire des addition (donc entre des ensembles qui sont les classes d' équivalences), on peut le faire en choisissant n' importe quel élément des classes , justement parce que la classe du résultat ne dépend pas des choix des représentants de .

Nous non plus, à la fac, on n' a jamais vu cette défintion. Où as-tu du mal à comprendre ? Elle dit simplement que la donnée d' une fonction , c' est la donnée pour tout x de E (l' antécédent ), d' un unique y ( l' image de de x par g) élément de F.

Fonction triplet ça m'a embrouillé.

Comment on montre que faire la somme des classes d'équivalence : x barre + y barre = (x+y) barre ne dépend pas des valeurs prises pour x et y ?

[slivoc]

Le triplet f=(E,F,G) dit juste que quand tu te donnes une fonction f qui va de E dans F, tu te donnes E l' ensemble de départ, F celui d' arrivée, et G un sous-ensemble de ExF qui te dit comment f envoie chaque x de E sur un unique élément y de F.

Deux éléments sont dans la même classe d' équivalence dans c' est à dire que ssi .

Pour montrer qu' il y a indépendance, tu peux te donner ( j' ai pris d' autres lettres que x et y pour les éléments des classes pour éviter que tu t' embrouilles, mais ça correspond aux x,x',y,y' des messages précédents). Puis tu montres que est dans la même classe d' équivalence que , c' est à dire que tu montres que
Mais dire que a,a' sont dans la même classe c' est exactement dire que , de même pour b et b'. Et tu sais aussi que la loi + est commutative dans donc et est un sous-groupe de donc on a bien . Donc si tu définis comme étant avec , tu as bien une loi sur qui est correctement définie et qui en plus fait que possède une structure de groupe.

[mehdi_128]

Le triplet f=(E,F,G) dit juste que quand tu te donnes une fonction f qui va de E dans F, tu te donnes E l' ensemble de départ, F celui d' arrivée, et G un sous-ensemble de ExF qui te dit comment f envoie chaque x de E sur un unique élément y de F.

Deux éléments sont dans la même classe d' équivalence dans c' est à dire que ssi .

Pour montrer qu' il y a indépendance, tu peux te donner ( j' ai pris d' autres lettres que x et y pour les éléments des classes pour éviter que tu t' embrouilles, mais ça correspond aux x,x',y,y' des messages précédents). Puis tu montres que est dans la même classe d' équivalence que , c' est à dire que tu montres que
Mais dire que a,a' sont dans la même classe c' est exactement dire que , de même pour b et b'. Et tu sais aussi que la loi + est commutative dans donc et est un sous-groupe de donc on a bien . Donc si tu définis comme étant avec , tu as bien une loi sur qui est correctement définie et qui en plus fait que possède une structure de groupe.

Merci j'ai tout compris la démonstration !

J'arrive juste pas à comprendre en quoi prendre 2 éléments qui sont égaux en terme de classe et obtenir la même image fait que il y a indépendance.

[slivoc]

Parce que si tu prends l' un ou l' autre pour pour faire des additions entre classes, le résultat est le même. Le résultat de la somme dans Z/nZ ne dépend pas du choix des représentants ( le résultat est donc indépendant du choix des représentants )

[mehdi_128]

Parce que si tu prends l' un ou l' autre pour pour faire des additions entre classes, le résultat est le même. Le résultat de la somme dans Z/nZ ne dépend pas du choix des représentants ( le résultat est donc indépendant du choix des représentants )

Ah je vois par exemple dans Z/3Z comme on a et on doit avoir si on note





C'est ça ?

[gg0]

Pas tout à fait !

Tu confonds dans une même notation f deux choses différentes. Soit f a pour ensemble de départ Z/(3Z), comme il semble au début de ton calcul, et alors le f(4,5) que tu écris à la fin n'a pas de sens, soit f s'applique à des entiers, et le premier terme de chaque ligne n'a pas de sens.

A ton niveau, ne pas contrôler ce qu'on écrit est rédhibitoire.

Cordialement.

[mehdi_128]

Pas tout à fait !

Tu confonds dans une même notation f deux choses différentes. Soit f a pour ensemble de départ Z/(3Z), comme il semble au début de ton calcul, et alors le f(4,5) que tu écris à la fin n'a pas de sens, soit f s'applique à des entiers, et le premier terme de chaque ligne n'a pas de sens.

A ton niveau, ne pas contrôler ce qu'on écrit est rédhibitoire.

Cordialement.

En effet j'applique f à une classe d'équivalence puis à un entier

[stefjm]

Pas tout à fait !

Tu confonds dans une même notation f deux choses différentes. Soit f a pour ensemble de départ Z/(3Z), comme il semble au début de ton calcul, et alors le f(4,5) que tu écris à la fin n'a pas de sens, soit f s'applique à des entiers, et le premier terme de chaque ligne n'a pas de sens.

A ton niveau, ne pas contrôler ce qu'on écrit est rédhibitoire.

Cordialement.

Bonjour,
Question pour ma culture personnelle :
L'usage du même symbole "+" pour deux opérations différentes (sur les entiers ou sur Z/nZ) est plus mieux admise que l'usage de la même lettre "f" pour des fonctions ayant des opérandes sur des ensembles différents?
Cordialement.

[Médiat]

Bonjour,

Question pour ma culture personnelle :
L'usage du même symbole "+" pour deux opérations différentes (sur les entiers ou sur Z/nZ) est plus mieux admise que l'usage de la même lettre "f" pour des fonctions ayant des opérandes sur des ensembles différents?

Lorsque l'une des opérations étend naturellement l'autre (comme l'addition sur IN et l'addition sur Z) pas de problème, pour des opérations présentant d'autres rapports, c'est "généralement admis" bien que moins "propre", écrire 13 + 25 = 0 sous prétexte que l'on calcule modulo 2 me gène un peu ; dans le cas général des classes d'équivalence il serait de bon ton d'écrire, pour définir la somme des classes (sous réserve qu'elle soit définie) , mais pour se simplifier la vie on abandonne (après la définition) la barre pour les opérations et même parfois pour les classes (mais il faut que le contexte soit clair).

Pour les fonctions, c'est la même chose, d'autant plus qu'une opération n'est qu'une fonction présentée de façon différente.

[stefjm]

Merci Médiat.

J'ai parfois un peu de mal avec les identifications admises ou pas entre classe et nombre.

[Médiat]

C'est souvent une question de contexte : dans un document sur les classes d'équivalence, il serait idiot de noter identiquement un élément et sa classe (cf. la définition que j'ai donnée, si on ne distingue pas élément et classe, opération sur les élément et sur les classes, la définition devient x + y = x + y (ce qui ne définit pas grand chose)).

Par contre dans un document sur Z/15Z, abandonner les éléments diacritiques n'est pas toxique et allège les notations et la lecture.

[gg0]

Ici, la fonction f avait justement été choisie pour différencier les deux additions. Si on l'utilise dans les deux cas, autant écrire + dans les deux cas.

Mehdi_128 ne fait pas trop d'effort de rigueur pour arriver à comprendre lui-même. Il attend que les autres le fassent pour lui. D'où des questions en enfilade vu qu'il essaie seulement de comprendre des explications sur des sujets auxquels il n'a pas réfléchi.

Cordialement.

[stefjm]

Ici, la fonction f avait justement été choisie pour différencier les deux additions. Si on l'utilise dans les deux cas, autant écrire + dans les deux cas.

Effectivement, J'avais raté le pourquoi de ce "f"!

Mehdi_128 ne fait pas trop d'effort de rigueur pour arriver à comprendre lui-même. Il attend que les autres le fassent pour lui. D'où des questions en enfilade vu qu'il essaie seulement de comprendre des explications sur des sujets auxquels il n'a pas réfléchi.

En 2014, Mehdi faisait de l'électronique de puissance et je l'ai pas mal aidé. Il lui manquait toujours pas mal de bases.
Aujourd'hui, il fait des maths.
Je ne sais pas s'il prépare des concours où le but n'est pas de comprendre mais de répondre la solution que l'examinateur a en tête...
Peut-être nous dira-t-il?

[mehdi_128]

Effectivement, J'avais raté le pourquoi de ce "f"!

En 2014, Mehdi faisait de l'électronique de puissance et je l'ai pas mal aidé. Il lui manquait toujours pas mal de bases.
Aujourd'hui, il fait des maths.
Je ne sais pas s'il prépare des concours où le but n'est pas de comprendre mais de répondre la solution que l'examinateur a en tête...
Peut-être nous dira-t-il?

Bah oui je suis issu d'une école d'ingé du coup on fait pas trop de maths et oui c'est pour préparer le CAPES. J'ai fais une prépa MPSI/MP mais ça date de 7 ans

En maths je suis à l'aise dans certains chapitres et y a des trucs que j'ai pas eu le temps de comprendre en prépa surtout en algèbre, topologie

[gg0]

J'espère que c'est un Capes d'électronique, car pour le capes de maths, il faut absolument comprendre de quoi on parle, pas se contenter d'avoir "su écrire les calculs". Sinon, comme un certain nombre de candidats chaque année, on vient pleurer sur les forums "j'ai tout fait, et j'ai eu 1,5 sur 20 à l'oral" !!! Pour le réussir actuellement, pas besoin d'un niveau très élevé (L2 ou prépa suffit), mais il faut bien comprendre ce niveau, pas se contenter des explications des autres : Pour pouvoir expliquer, il faut bien comprendre, être capable de voir de différentes façons ce qui se passe.

[mehdi_128]

Non CAPES de maths, je préfère les maths à l'électronique. Puis en prépa j'avais un niveau correct en maths, j'ai du avoir 12/20 aux 2 épreuves de maths au concours E3A.

Justement je pose plein de questions car j'ai envie de comprendre plein de choses que j'avais pas compris durant mes études car pas le tems ça allait trop vite.

[gg0]

Alors reprends à la base chaque notion que tu rencontres, en revenant aux définitions et pensant par toi-même. Évite de poser immédiatement la question aux autres, prends le temps de comprendre toi-même.
Le jury du capes ne te fera aucun cadeau, s'il sent que tu récites (oui, on peut obtenir de très bonnes notes en récitant sans rien comprendre), il va te titiller pour voir ce que tu comprends. Et si tu ne sais pas pourquoi ti écris ou dis cela, c'est automatiquement une note très très basse. Et même si tu passes par chance au concours, tes élèves et ceux qui te jugeront dans l'année de stage te "planteront".
Tu poses sur ce forum trop de questions quasi évidentes quand on a étudié vraiment les définitions, ça veut dire que tu ne fais pas ce travail de compréhension personnelle; tu cours à la catastrophe.

Cordialement.

[stefjm]

J'espère que c'est un Capes d'électronique, car pour le capes de maths, il faut absolument comprendre de quoi on parle, pas se contenter d'avoir "su écrire les calculs".

Ce sera pareil pour un Capes d'électronique! Exactement le même soucis.

@ Mehdi : Tu poses des questions désarmantes pour tes interlocuteur, en maths, comme en électronique avant.

Je ne serais pas aussi catégorique que gg0, mais il faut vraiment que tu fasses les choses par toi même. Tu peux te tromper tant que tu veux, à condition de t'en rendre compte.

Cordialement.