Z/nZ classe d'équivalence

[mehdi_128]

Bonjour, j'ai du mal avec Z/nZ donc si je pose des questions trivial ne soyez pas choqués j'ai beau lire et relire plein de cours je suis toujours perdu.

Soit b un nombre premier supérieur ou égal à 2 distinct de 2 et de 5. b est premier avec 10.
On note la classe d'un entier a dans

1/ Démontrer que l'application :

est bien définie et injective.

Déjà comment savoir que appartient à ?
Si b=3 par exemple :
Alors là je bloque puisque 10 barre n'y est pas ...

Pour l'injectivité je pense à calculer le noyau de f...

2/ En utilisant la question précédente, montrer que

Merci.
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[Médiat]

Bonjour

Déjà comment savoir que appartient à ?
Si b=3 par exemple :
Alors là je bloque puisque 10 barre n'y est pas ...

appartient à tous les , par exemple si b= 3,

[mehdi_128]

Bonjour


appartient à tous les , par exemple si b= 3,

Ah oui en effet : 10= 3*3 + 1 et le reste est la classe d'équivalence donc c'est bien 1 merci !

Ensuite comment montrer que le produit de 2 éléments de (Z/bZ)* qui sont et reste dans (Z/bZ)* ? J'en ai besoin pour montrer que f est bien définie.

[slivoc]

Salut !

En fait pour montrer qu' elle est bien définie, tu dois montrer que puis qu' elle est bien à valeurs dans
Si tu veux montrer qu' elle est est injective, tu dois dejà t' assurer d' avoir un morphisme de groupes (es-tu sure que f en est un ?). Sinon, plus généralement, quand tu as un groupe, que sais tu de la translation par un de ces éléments ? ( Si est un groupe, , que sais-tu de , )

Bonne journée !

[A voir en vidéo sur Futura]

[mehdi_128]

Salut !

En fait pour montrer qu' elle est bien définie, tu dois montrer que puis qu' elle est bien à valeurs dans
Si tu veux montrer qu' elle est est injective, tu dois dejà t' assurer d' avoir un morphisme de groupes (es-tu sure que f en est un ?). Sinon, plus généralement, quand tu as un groupe, que sais tu de la translation par un de ces éléments ? ( Si est un groupe, , que sais-tu de , )

Bonne journée !

Ah d'accord je pensais qu'il suffisait de vérifier que l'image appartient à (Z/bZ)* ... Votre méthode correspond à quoi ? Je comprends pas trop.

Je connais pas trop la théorie des groupes mais sinon ça marche comme ça ?

Soient et deux éléments de (Z/bZ)*. Supposons : donc :



Or 10 et b sont premiers entre eux car b différent de 2 et 5... Donc 10 barre est un élément inversible de (Z/bZ)* donc il existe c barre tel que :

D'où :

Enfin : donc f est injective.

C'est correct ?

[slivoc]

Salut !

En fait pour montrer qu' elle est bien définie, tu dois montrer que

En fait, c' est évident si tu sais dejà que (Z/bZ)* est un groupe ( parce que la multiplication y est bien définie ). Donc oui, il suffit de vérifier que l' image est bien dans (Z/bZ)*

[slivoc]

Or 10 et b sont premiers entre eux car b différent de 2 et 5...

si tu prends b=100, alors 100 est différent de 2 et 5, et pourtant 100 et 10 ne sont pas premiers entre eux !
La fin de la preuve me semble bonne !

[mehdi_128]

si tu prends b=100, alors 100 est différent de 2 et 5, et pourtant 100 et 10 ne sont pas premiers entre eux !
La fin de la preuve me semble bonne !

J'ai oublié de préciser que b est premier c''est ça ?

[slivoc]

oui! sinon 10barre n' appartient pas à (Z/bZ)*

[mehdi_128]

En fait, c' est évident si tu sais dejà que (Z/bZ)* est un groupe ( parce que la multiplication y est bien définie ). Donc oui, il suffit de vérifier que l' image est bien dans (Z/bZ)*

((Z/bZ)* , x ) est un groupe donc : appartient bien à (Z/bZ)* donc f est bien définie. C'est correct ?

[mehdi_128]

oui! sinon 10barre n' appartient pas à (Z/bZ)*

Ah si b n'est pas premier avec 10 alors peut être nul or on est dans (Z/bZ) \{0}

[slivoc]

((Z/bZ)* , x ) est un groupe donc : appartient bien à (Z/bZ)* donc f est bien définie. C'est correct ?

oui si tu sais que 10barre est dans (Z/bZ)*

[slivoc]

Ah si b n'est pas premier avec 10 alors peut être nul or on est dans (Z/bZ) \{0}

Oui! car si b n' est pas premier avec 10, mais qu' il est premier, alors ça ne peut etre que 2 ou 5, mais c' est exclu par l' énoncé !

[mehdi_128]

Oui! car si b n' est pas premier avec 10, mais qu' il est premier, alors ça ne peut etre que 2 ou 5, mais c' est exclu par l' énoncé !

Merci j'ai tout compris

Avez vous un indice pour la question 2 ? Je vois pas trop par où commencer.

[slivoc]

Si tu connais le théorème de Lagrange (un théorème qui parle des ordres des sous-groupes dans un groupe fini) alors c' est très rapide. Parce que si b est premier , que peux tu dire du nombre d' éléments dans Z/bZ ?

Par contre sans le théorème de Lagrange, en faisant de l' arithmétique toute simple, je vois pas trop. Peut etre quelque chose avec l' identité de Bezout ( parce qu' on a un 1, un b et un 10 ( mais c' est juste du pifomètre ça !))

Bonne chance !

[mehdi_128]

Si tu connais le théorème de Lagrange (un théorème qui parle des ordres des sous-groupes dans un groupe fini) alors c' est très rapide. Parce que si b est premier , que peux tu dire du nombre d' éléments dans Z/bZ ?

Par contre sans le théorème de Lagrange, en faisant de l' arithmétique toute simple, je vois pas trop. Peut etre quelque chose avec l' identité de Bezout ( parce qu' on a un 1, un b et un 10 ( mais c' est juste du pifomètre ça !))

Bonne chance !

Oui on a du voir ça en MPSI je reprends après plusieurs années d'arrêt de maths !

L'ordre d'un élément est le plus petit entier tel que Soit a appartient à G groupe fini alors l'ordre de a divise card(G) c'est ça ? Ou ?

Bah on a : il y a 0 barre, 1 barre, (b-1) barre ce qui fait b élément

[mehdi_128]

(Z/bZ)* est un groupe fini donc :



Soit 10 barre un élément de (Z/bZ)* alors : donc 10^(b-1) est congru à 1 modulo b

C'est rapide

Y a une autre méthode en écrivant le produit d'éléments de (Z/bZ)* de 2 façons différentes mais je la comprends pas vous connaissez ?

[mehdi_128]

Si b n'est pas premier : (Z/bZ)* est il un groupe multiplicatif ?

[gg0]

Essaie avec b=6, par exemple.

[slivoc]

L'ordre d'un élément est le plus petit entier tel que Soit a appartient à G groupe fini alors l'ordre de a divise card(G) c'est ça ? Ou ?

Oui, et la première partie implique la seconde !

[slivoc]

Si b n'est pas premier : (Z/bZ)* est il un groupe multiplicatif ?

Tout dépend de ta définition de ((Z/bZ)*,x). Pour nous ( en cours cette année )les éléments de ((Z/bZ)*,x) étaient les classes d' équivalence dont les représentants étaient premiers avec b, donc nous n' avions pas besoins que b soit premier.

[mehdi_128]

Essaie avec b=6, par exemple.

(Z/6Z)* = {1,2,3,4,5}

Si je veux faire par exemple :

Je connais pas trop la méthode pour calculer le produit de 2 classes d'équivalence

[mehdi_128]

Sinon j'ai essayé une autre méthode :

f est injective et card(ensemble de départ)=card(ensemble d'arrivée) donc f est une bijection de (Z/bZ)* dans (Z/bZ)* ... Faire le produit des f(x) revient à faire le produit des x :



Donc :

J'ai bien le droit de sortir de 10 barre du produit vu qu'il dépend pas de a ?

[invite23cdddab]

Je connais pas trop la méthode pour calculer le produit de 2 classes d'équivalence

On défini en général . Reste à montrer que cette définition a bien un sens, c'est à dire qu'elle ne dépend pas des représentants des classes d'équivalences choisis.

[gg0]

(Z/6Z)* = {1,2,3,4,5}

Si je veux faire par exemple :

Je connais pas trop la méthode pour calculer le produit de 2 classes d'équivalence

A priori,


C'est un peu bizarre que tu manipules des notions (ici Z/nZ) sans savoir ce que c'est. Révise les bases.

[mehdi_128]

On défini en général . Reste à montrer que cette définition a bien un sens, c'est à dire qu'elle ne dépend pas des représentants des classes d'équivalences choisis.

J'arrive pas à comprendre pourquoi pour montrer que ça a un sens on doit faire :

et implique

[mehdi_128]

A priori,


C'est un peu bizarre que tu manipules des notions (ici Z/nZ) sans savoir ce que c'est. Révise les bases.

Dans (Z/6Z) on a : donc

[gg0]

J'arrive pas à comprendre pourquoi pour montrer que ça a un sens on doit faire :

A priori, c'est déjà fait dans les cours de base. Relis-les.

Mais c'est pour pouvoir définir comme étant

[mehdi_128]

A priori, c'est déjà fait dans les cours de base. Relis-les.

Mais c'est pour pouvoir définir comme étant

Mais je comprends pas à quoi ça sert ? Ca existe des applications tel que x = x' implique f(x) différent de x' ?

[slivoc]

Non, l' image d' un élément par une application est un unique élément de l' ensemble d' arrivée. Plus précisemment : https://fr.wikipedia.org/wiki/Applic....C3.A9finition

Sauf que dans Z/nZ, les éléments sont des classes d' équivalences et pas des nombres. Et à priori la somme ( ou le produit )entre deux classes n' est pas défini. Pour la définir, on voudrait bien que la loi + dans Z induise une loi + dans Z/nZ. Et c' est ce qui se passe, c' est à dire que si x et x' sont dans la même classe ( c' est à dire que x barre = x' barre) et y et y' sont dans la même classe, alors on a x+y qui est dans la même classe que x'+y'. Autrement dit, définir la loi + dans Z/nZ, comme étant xbarre + ybarre = (x+y) barre a du sens ( ne dépend pas des représentants choisis dans les classes de x barre et y barre).
Mais en fait, ce n' est qu' un cas particulier. Quand tu te donnes un groupe G et H un sous groupe distingué dans G, alors la loi + ( je la note + par défaut) de G induit une loi + sur G/H ( l' ensemble quotient) qui fait que G/H possède une structure de groupe !
Si tu veux plus de précisions ( et ça t' aidera sans doute à mieux comprendre Z/nZ ), va voir un cours sur les groupes quotient, je pense qu' il y en a pas mal sur internet, ou même dans les bouquins !